モジュラー性定理（谷山・志村予想）

$\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線はモジュラーである。より詳しく、$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とし、$N$ をその導手とすると、次を満たす新形式 $f = \sum_{n \ge 1} a_n(f) q^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ が（ただ一つ）存在する。

• すべてのフーリエ係数 $a_n(f)$ は有理整数である。
• $N$ を割らないすべての素数 $p$ に対し $$a_p(f) = a_p(E) = p + 1 - \#\tilde{E}(\mathbb{F}_p).$$

これは次の条件と同値である。

1. $L(E,s) = L(f,s)$。とくに $L(E,s)$ は全複素平面に解析接続され、関数等式を満たす。
2. $\mathbb{Q}$ 上定義された全射な射 $X_0(N) \to E$ が存在する（$E$ はモジュラー曲線の商である）。
3. $E$ に付随する $\ell$ 進ガロア表現 $\rho_{E,\ell} : \mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ が、あるモジュラー形式から来る表現と同型である。