数学 › 微分幾何学 › 指数定理

シャムセディン・コンヌのスペクトル作用の漸近展開

定理 7.2（「指数定理」§7） ・ ※主張のみ

(A,H,D)(\mathcal{A}, H, D) を正則で、離散かつ単純な次元スペクトル Sd⁡\operatorname{Sd} をもつスペクトル三つ組とし、DD は可逆とします。f:[0,∞)→Rf : [0,\infty) \to \mathbb{R} を十分滑らかで急減少な関数（カットオフ関数）とし、Λ>0\Lambda > 0 をエネルギー・スケールとします。Sd⁡+:=Sd⁡∩ ]0,∞[\operatorname{Sd}^{+} := \operatorname{Sd}\cap\, ]0,\infty[、ζD(s)=Tr⁡(∣D∣−s)\zeta_{D}(s) = \operatorname{Tr}(|D|^{-s}) と書くとき、Λ→∞\Lambda\to\infty で

Tr⁡ f ⁣(DΛ)  ∼  ∑k∈Sd⁡+fk Λk res⁡(∣D∣−k)  +  f(0) ζD(0)  +  o(1),\operatorname{Tr}\,f\!\left(\frac{D}{\Lambda}\right) \;\sim\; \sum_{k\in\operatorname{Sd}^{+}} f_{k}\,\Lambda^{k}\,\operatorname{res}\bigl(|D|^{-k}\bigr) \;+\; f(0)\,\zeta_{D}(0) \;+\; o(1),fk=∫0∞f(v) vk−1 dvf_{k} = \int_{0}^{\infty} f(v)\,v^{k-1}\,dv

という漸近展開が成り立ちます。ここで res⁡\operatorname{res} は 定義 5.1 の非可換積分です。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。出典は 本文 を見てください。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。