Uhlenbeck のゲージ固定とコンパクト性

$G$ をコンパクト Lie 群とする。

1. （局所 Coulomb ゲージ）4 次元の単位球 $B^4$ 上の自明束について、定数 $\varepsilon\gt0$ と $C\lt\infty$（$G$ だけで決まる）があって次が成り立つ。Sobolev 空間 $W^{1,2}$ に属する接続 $A$ が $\|F_A\|_{L^2(B^4)}\lt\varepsilon$ を満たすなら、$W^{2,2}$ に属するゲージ変換 $h$ があって、$A'=A^h$ は $\sum_\mu\partial_\mu A'_\mu=0$、境界で法線成分が $0$、かつ $\|A'\|_{W^{1,2}(B^4)}\le C\|F_A\|_{L^2(B^4)}$ を満たす。
2. （弱コンパクト性）$M$ をコンパクトな 4 次元 Riemann 多様体、$P\to M$ を主 $G$ 束、$p\gt2$ とする。$P$ の $W^{1,p}$ 接続の列 $A_n$ が $\sup_n\|F_{A_n}\|_{L^p}\lt\infty$ を満たすなら、部分列とゲージ変換 $h_n$ があって $A_n^{h_n}$ は $W^{1,p}$ で弱収束する。