長時間での厚い部分と薄い部分（Perelman）

$(M,g_0)$ を向き付けられた閉 $3$ 次元 Riemann 多様体とし、定理 2.4 の手術つき Ricci flow が有限時間で消滅しないとする。時刻 $t$ の多様体の点 $x$ に対し、球 $B(x,t,\rho)$ の上の断面曲率の下限がちょうど $-\rho^{-2}$ となる半径を $\rho(x,t)$ とし、$w\gt0$ に対して $\operatorname{vol}B(x,t,\rho(x,t))\lt w\,\rho(x,t)^3$ となる点の全体を薄い部分 $M^-(w,t)$、その補集合を厚い部分 $M^+(w,t)$ という。このとき、有限個（$0$ 個でもよい）の完備で体積有限な双曲多様体 $H_1,\dots,H_i$（断面曲率 $-\frac14$）があって、十分小さい $w$ と十分大きい $t$ について次が成り立つ。

1. 厚い部分は、計量を $t^{-1}$ 倍すると、$H_j$ のカスプを切り落としたコンパクトな部分 $H_j(w)$ のほぼ等長な埋め込みで覆われる。
2. $H_j(w)$ の境界のトーラスは、時刻 $t$ の多様体の中で非圧縮である。
3. $H_j(w)$ の埋め込みの補集合（薄い部分）は、グラフ多様体に微分同相である。

したがって、十分大きい $t$ で、時刻 $t$ の多様体の各成分は、グラフ多様体であるか、閉双曲多様体であるか、有限個の交わらない非圧縮トーラスで、グラフ多様体と体積有限の非コンパクトな完備双曲多様体とに切り分けられる。