数学 › 微分幾何学 › 指数定理

アティヤの L2-指数定理

定理 6.1（「指数定理」§6） ・ ※主張のみ

MM を境界のないコンパクト多様体、M~→M\widetilde{M}\to M を離散群 Γ\Gamma をガロア群とする正規被覆、DD を MM 上の楕円型作用素、D~\widetilde{D} をその M~\widetilde{M} への持ち上げとします。D~\widetilde{D} の核は一般に無限次元ですが、Γ\Gamma が作用するので Γ\Gamma のフォン・ノイマン環 N(Γ)\mathcal{N}(\Gamma) の跡によるフォン・ノイマン次元 dim⁡Γ\dim_{\Gamma} が定義されます。このとき

ind⁡Γ(D~):=dim⁡Γker⁡D~+−dim⁡Γker⁡D~−  =  ind⁡(D)\operatorname{ind}_{\Gamma}(\widetilde{D}) := \dim_{\Gamma}\ker\widetilde{D}^{+} - \dim_{\Gamma}\ker\widetilde{D}^{-} \;=\; \operatorname{ind}(D)

が成り立ちます。とくに左辺は整数です。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 1 問