数学 › 微分幾何学 › 指数定理

コンヌ・モスコヴィッチの局所指数公式

定理 5.2（「指数定理」§5） ・ ※主張のみ

(A,H,D,γ)(\mathcal{A}, H, D, \gamma) を偶かつ正則な有限可総スペクトル三つ組とし、次元スペクトルは離散かつ単純であるとします（簡単のため DD は可逆とします）。∇(T):=[D2,T]\nabla(T) := [D^{2}, T]、T[k]:=∇k(T)T^{[k]} := \nabla^{k}(T)、多重指数 k=(k1,…,kn)∈Nnk = (k_{1},\ldots,k_{n}) \in \mathbb{N}^{n} に対し ∣k∣=k1+⋯+kn|k| = k_{1}+\cdots+k_{n}、k!=k1!⋯kn!k! = k_{1}!\cdots k_{n}! と書きます。偶コチェイン ϕ=(ϕn)n even\phi = (\phi_{n})_{n\ \mathrm{even}} を

ϕ0(a0):=Res⁡z=0 z−1Tr⁡(γ a0∣D∣−2z),\phi_{0}(a^{0}) := \operatorname{Res}_{z=0}\ z^{-1}\operatorname{Tr}\bigl(\gamma\,a^{0}|D|^{-2z}\bigr),ϕn(a0,…,an):=∑k∈Nncn,k Res⁡z=0Tr⁡(γ a0 [D,a1][k1]⋯[D,an][kn] ∣D∣−n−2∣k∣−2z)(n≥2)\phi_{n}(a^{0},\ldots,a^{n}) := \sum_{k \in \mathbb{N}^{n}} c_{n,k}\ \operatorname{Res}_{z=0}\operatorname{Tr}\Bigl(\gamma\,a^{0}\,[D,a^{1}]^{[k_{1}]}\cdots[D,a^{n}]^{[k_{n}]}\,|D|^{-n-2|k|-2z}\Bigr)\quad (n \ge 2)

で定めます。ここで

cn,k=(−1)∣k∣ Γ(∣k∣+n2)k! (k1+1)(k1+k2+2)⋯(k1+⋯+kn+n).c_{n,k} = \frac{(-1)^{|k|}\ \Gamma\bigl(|k| + \tfrac{n}{2}\bigr)}{k!\,(k_{1}+1)(k_{1}+k_{2}+2)\cdots(k_{1}+\cdots+k_{n}+n)} .

このとき ϕ\phi は A\mathcal{A} の (b,B)(b,B)-双複体における偶コサイクルであり、上の和は有限和になります。さらに [ϕ]∈HP0(A)[\phi] \in HP^{0}(\mathcal{A}) はスペクトル三つ組のチャーン指標に一致し、したがって任意の冪等元 e∈Mq(A)e \in M_{q}(\mathcal{A}) に対して

ind⁡(eD+e)=⟨[e],[ϕ]⟩\operatorname{ind}\bigl(e D^{+} e\bigr) = \bigl\langle [e], [\phi]\bigr\rangle

が成り立ちます。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。