数学 › 微分幾何学 › 指数定理

Atiyah–Patodi–Singer の指数定理（主張のみ）

定理 3.17（「指数定理」§3） ・ ※主張のみ

MM を境界 N=∂MN=\partial M をもつ偶数次元のコンパクトなスピン多様体とし、計量は境界の近傍 [0,ϵ)×N[0,\epsilon)\times N（uu は内向きの法線方向の座標）で直積であるとする。EE をエルミート接続付きの複素ベクトル束で、境界の近傍で uu によらないものとする。このとき境界の近くで DE+=c(∂u)(∂u+A)D_E^+=c(\partial_u)\bigl(\partial_u+A\bigr) と書け、AA は NN 上の自己共役な Dirac 型作用素である。AA の非負の固有空間への射影を P≥0P_{\ge0} とし、境界条件 P≥0(ψ∣N)=0P_{\ge0}(\psi|_N)=0 を課すと、DE+D_E^+ はフレドホルムで

ind⁡DE+=∫MA^(TM)ch⁡(E)−h+η(A)2,h=dim⁡ker⁡A\operatorname{ind}D_E^+=\int_M\hat A(TM)\operatorname{ch}(E)-\frac{h+\eta(A)}2,\qquad h=\dim\ker A

が成り立つ。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。