外力つきの方程式の有限時間特異性（Córdoba–Martínez-Zoroa、Córdoba–Martínez-Zoroa–Zheng）

(i) （外力つき Euler）小さい $\epsilon\gt0$ に対し、$T\gt0$ と、$[0,T]$ 上一様に $C^{1,\frac12-\epsilon}\cap L^2$ に属する外力 $f$ があって、$\mathbb{R}^3\times[0,T)$ 上の外力つき 3 次元非圧縮 Euler 方程式の解 $u$ で、$t\lt T$ では原点以外で滑らか、かつ $\int_0^T\|\nabla u(t)\|_\infty dt=\infty$ となるものが存在する。

(ii) （弱散逸 Navier–Stokes）散逸を $-\nu|\nabla|^{\gamma}u$ に替えた方程式について、$0\le\gamma\lt\gamma_0=(22-8\sqrt7)/9$ ならば、$T\gt0$ と外力 $f\in L^1(0,T;C^{1,\epsilon})\cap L^\infty(0,T;L^2)$ があって、$t\lt T$ で滑らかかつエネルギー有限な解 $u$ で、$t\uparrow T$ のとき $\int_0^t\|\nabla u\|_\infty ds\to\infty$ となるものが存在する。