格子 Yang–Mills 理論の紫外安定性（Bałaban）

周期的な箱の上の Wilson 作用の格子純 Yang–Mills 理論に、ゲージ共変なブロック平均によるくりこみ群変換（1 回ごとに格子を $L$ 倍に粗くする）を $n$ 回行う。

1. （$d=3$）$G$ をコンパクト半単純 Lie 群（$SU(N)$ など。Lie 環の中心が $0$ の群）、裸の結合定数を定数 $g\gt0$、ブロックの倍率 $L$ を十分大きい奇数とする。$\varepsilon_0\gt0$ を $g$ に応じて十分小さくとり、格子間隔を $a=\varepsilon_0L^{-n}$（$n=1,2,\dots$）、箱の一辺 $\ell$ を $\varepsilon_0$ の整数倍で、$\ell/\varepsilon_0$ がある下限（$g\varepsilon_0^{1/2}$ の対数の冪で決まる数）以上のものとする。このとき、$n$ によらない定数 $C$（$g$、$\varepsilon_0$、$L$、$G$ による）と、$a$ に依存する規格化定数 $\mathcal N(a)$（真空エネルギーの指数）があって $$e^{-C(\ell/\varepsilon_0)^3}\le\frac{Z(a)}{\mathcal N(a)}\le e^{C(\ell/\varepsilon_0)^3}$$ が成り立つ（定義 2.2 の 1 の意味の紫外安定性。$E_\pm=\pm C\varepsilon_0^{-3}$）。さらに、くりこみ群変換を $k$ 回行って得られる有効密度は、小場の配位（最小作用の背景場のプラケット変数がすべて閾値より小さい配位）の上で、下から $\exp[-(\text{背景場の作用})-C\cdot(\text{その段の格子点の数})]$ で抑えられる。
2. （$d=4$）裸の結合定数を、漸近的自由の式に従って $a$ とともに $0$ に近づく $g(a)$ に取る。Bałaban の論文の仮定のもとで、小場の領域の有効作用は $n$ によらない評価をもつ局所的な項の和で表され、大場の領域の評価と合わせて、適切に規格化した分配関数は $a$ によらない正の定数で上下から評価される（同じ意味の紫外安定性）。