数学 › 微分幾何学 › 指数定理

コンヌ：フレドホルム加群の指数定理

定理 4.8（「指数定理」§4） ・ ※主張のみ

(H,F,γ)(H, F, \gamma) を代数 AA 上の pp-可総な偶フレドホルム加群とし、nn を n≥pn \ge p なる偶数とします。このとき

ch⁡Fn(a0,a1,…,an):=λnTr⁡(γ a0[F,a1][F,a2]⋯[F,an])\operatorname{ch}^{n}_{F}(a^{0}, a^{1},\ldots,a^{n}) := \lambda_{n}\operatorname{Tr}\bigl(\gamma\,a^{0}[F,a^{1}][F,a^{2}]\cdots[F,a^{n}]\bigr)

（λn\lambda_{n} は nn のみに依る正規化定数）は well-defined な巡回 nn-コサイクルであり、その巡回コホモロジー類は SS を法として nn に依りません。この類 ch⁡∙(H,F,γ)∈HP0(A)\operatorname{ch}^{\bullet}(H,F,\gamma) \in HP^{0}(A) をフレドホルム加群のチャーン指標と呼びます。さらに、任意の冪等元 e=e2∈Mq(A)e = e^{2} \in M_{q}(A) に対し eF+e:eH+→eH−e F^{+} e : eH^{+}\to eH^{-}（F+F^{+} は FF の H+→H−H^{+}\to H^{-} 成分）はフレドホルムで

ind⁡(eF+e)=⟨[e], ch⁡∙(H,F,γ)⟩\operatorname{ind}\bigl(eF^{+}e\bigr) = \bigl\langle [e],\ \operatorname{ch}^{\bullet}(H,F,\gamma)\bigr\rangle

が成り立ちます。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。