タグ: ホモロジー代数

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• 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで前加法圏・双積・加法圏からアーベル圏を定義し、像分解・平衡性・引き戻しと全射的射を示す。Mac Lane の「元」で図式追跡の規則を証明し、蛇の補題・五項補題・3×3 補題を一般のアーベル圏で導く。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数アーベル圏加法圏蛇の補題図式追跡約 68 分
• 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする乗法系による圏の局所化を分数の圏として構成し、Verdier 商と導来圏 D(A) が三角圏であることを証明する。下に有界な入射複体のホモトピー圏と D⁺(A) の圏同値、Hom と Ext の一致、全右導来関手の存在・合成公式、大域次元 1 以下での対象の分類を示す。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数導来圏局所化全導来関手三角圏約 81 分
• 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性アーベル圏で分解の比較定理と馬蹄補題を射と完全性だけで示し、右・左導来関手が普遍 δ 関手になることを Grothendieck の消去可能性の定理から導く。Ext の平衡性、Tor の平衡性の自然性、lim^1 の明示的な記述まで証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数導来関手δ 関手ExtTor約 89 分
• Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式アーベル圏の短完全列を拡大とみて引き戻し・押し出し・Baer 和で操作し、十分な射影対象があれば拡大の同値類が導来関手の Ext^1 と群として一致することを示す。Abel 群の Ext の計算と PID 上の代数的 Künneth 公式も証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数Ext拡大Baer 和Künneth の公式約 92 分
• Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで下に有界な複体の Cartan–Eilenberg 分解を作り、超導来関手の二つのスペクトル系列を導く。そこから合成関手の Grothendieck のスペクトル系列と 5 項完全列、群のコホモロジーの Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列、変化環のスペクトル系列を証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士スペクトル系列導来関手超コホモロジー群のコホモロジーホモロジー代数約 45 分
• 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包アーベル圏の射影対象・入射対象を Hom の完全性で特徴づけ、随伴と完全性の関係を示す。生成子と AB5 条件から Grothendieck 圏を定め、Baer 型の判定法と超限的な構成で十分な入射対象の存在を、さらに入射包と入射余生成子の存在を証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数射影対象入射対象Grothendieck 圏入射包約 67 分
• スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体アーベル圏のスペクトル系列を完全対の導来から組み立て、有界なフィルター付き複体のスペクトル系列がコホモロジーに収束することを示す。二重複体の二つのスペクトル系列、比較定理、エッジ写像と 5 項完全列、2 行・2 列の場合の長完全列まで証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士スペクトル系列完全対二重複体フィルター付き複体ホモロジー代数約 46 分