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導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性アーベル圏で分解の比較定理と馬蹄補題を射と完全性だけで示し、右・左導来関手が普遍 δ 関手になることを Grothendieck の消去可能性の定理から導く。Ext の平衡性、Tor の平衡性の自然性、lim^1 の明示的な記述まで証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数導来関手δ 関手ExtTor約 89 分
Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式アーベル圏の短完全列を拡大とみて引き戻し・押し出し・Baer 和で操作し、十分な射影対象があれば拡大の同値類が導来関手の Ext^1 と群として一致することを示す。Abel 群の Ext の計算と PID 上の代数的 Künneth 公式も証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士ホモロジー代数 Ext拡大Baer 和Künneth の公式約 92 分
Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで射影分解の比較定理から Tor と Ext を定義し、長完全列・Tor の平衡性・平坦性の Tor 判定を示す。正則列と深さを Ext で特徴づけ、Koszul 複体と極小自由分解を使って Auslander–Buchsbaum の公式 pd M + depth M = depth A を証明する。数学可換環論修士TorExt深さ射影次元Koszul 複体約 81 分