タグ: 自己共役作用素

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• 自由 Dirac 作用素：Clifford 代数の表現、自己共役性とスペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換本Dirac 行列の組がユニタリ同値を除いて一意であることから始め、自由 Dirac 作用素の自己共役性と絶対連続スペクトル、Foldy–Wouthuysen 変換による対角化、正・負エネルギー射影の非局所性を証明する。数学Dirac 作用素と相対論的量子力学の数理博士・研究Dirac作用素Clifford代数Foldy-Wouthuysen変換正エネルギー射影自己共役作用素約 36 分
• 対称作用素と自己共役拡大：不足指数と von Neumann の拡大理論対称・自己共役・本質的自己共役の違いを定義と例で整理し、Ran(T±i)=H と Ker(T*±i)=0 による自己共役性の基本判定を証明する。不足指数を導入して von Neumann の拡大定理を証明し、区間と半直線上の -i d/dx に適用する。数学関数解析と作用素論修士自己共役作用素対称作用素不足指数von Neumann の拡大定理境界条件約 47 分
• 自己共役性の判定 II：Kato の不等式・Faris–Lavine の定理・Carleman の条件・閉形式の単調収束Kato の不等式から非負の L²_loc ポテンシャルをもつ −Δ+V の本質的自己共役性を導き、下からの 2 次の増大を許す Faris–Lavine の定理、Jacobi 行列の Carleman 条件、閉形式の単調収束定理を証明つきで述べる。数学関数解析と作用素論修士自己共役作用素Kato の不等式Faris–Lavine の定理Jacobi 行列二次形式約 41 分
• 自己共役性の判定：Kato–Rellich・KLMN・Friedrichs 拡大・Nelson の可換子定理相対有界摂動に対する Kato–Rellich の定理、閉二次形式の表現定理と KLMN の定理、Friedrichs 拡大の構成、Nelson の可換子定理と解析ベクトル定理を証明つきで整理し、水素原子やデルタ型ポテンシャルに適用する。数学関数解析と作用素論修士自己共役作用素Kato–Rellich の定理二次形式Friedrichs 拡大Nelson の可換子定理約 44 分
• スペクトル定理と関数計算：非有界自己共役作用素を射影値測度で対角化する射影値測度とスペクトル積分を定義し、非有界自己共役作用素のスペクトル定理をケーリー変換で示す。関数計算、e^{itA} とレゾルベントの表示、強可換性と結合スペクトル測度、Nelson の反例まで扱う。数学関数解析と作用素論修士スペクトル定理射影値測度関数計算自己共役作用素ケーリー変換約 47 分