タグ: 圏論

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• 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る随伴の三つの定義（Hom の自然な全単射・普遍射・単位と余単位）の同値、左随伴の一意性、右随伴が極限を保つこと、圏同値の随伴同値への取り替えを証明し、Freyd の一般随伴関手定理から自由群の存在と群の圏の余完備性を導く。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論随伴関手随伴関手定理自由群Galois 接続約 44 分
• 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にするGrothendieck 宇宙の公理で小さい集合を定め、圏・関手・自然変換・関手圏を定義する。始対象の一意性、自然同型の成分判定、水平合成の交換法則、充満忠実かつ本質的全射による圏同値の判定、骨格の存在を証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論関手自然変換圏同値Grothendieck 宇宙約 29 分
• Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る要素の圏を使って前層が表現可能前層の余極限であること（稠密性定理）を示し、各点 Kan 拡張の公式、神経と実現の随伴、エンド・コエンドと co-Yoneda の補題、前層の圏のデカルト閉性と部分対象分類子、誘導表現と Frobenius の相互律を証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論Kan 拡張前層エンド部分対象分類子約 73 分
• 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで図式の極限・余極限を表現可能関手として定義し、積と等化子からすべての極限が作れること、集合・加群・位相空間の圏の完備性、関手圏の極限が各点で計算できること、集合の圏でフィルター余極限が有限極限と交換することを証明する。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論極限余極限フィルター余極限逆極限約 46 分
• モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す随伴がモナドを定め、Eilenberg–Moore 圏が終対象・Kleisli 圏が始対象になることを証明し、モノイドと G 集合をモナドの代数として特徴づける。モノイダル圏・閉モノイダル圏の基本性質と、加群・超ベクトル空間・前層の圏の例を扱う。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論モナドモノイダル圏デカルト閉圏超ベクトル空間約 66 分
• 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る前層の圏と表現可能関手を定義し、米田の補題とその自然性、米田埋め込みの充満忠実性、表現と普遍元・普遍射の対応を証明する。パラメータ付きの表現可能性から関手を組み立て、Cayley の定理とテンソル積をその例として読む。数学圏論・ホモロジー代数修士圏論米田の補題表現可能関手普遍性前層約 41 分