タグ: Mayer–Vietoris

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• Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する球面に埋め込まれた円板と球面の補集合のホモロジーを Mayer–Vietoris とコンパクト性で計算し、Jordan–Brouwer の分離定理、平面の Jordan 曲線定理、領域不変性を証明する。曲線の内部と外部、境界の性質まで扱う。数学代数的位相幾何学学部Jordan の曲線定理Jordan–Brouwer の分離定理領域不変性特異ホモロジーMayer–Vietoris約 20 分
• 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する特異単体の鎖複体からホモロジー群を定義し、ホモトピー不変性（柱体の鎖ホモトピー）、長完全列、重心細分による切除定理、Mayer–Vietoris 完全列を証明して、球面のホモロジーを計算する。数学代数的位相幾何学学部特異ホモロジー鎖複体長完全列切除定理Mayer–Vietoris約 43 分
• de Rham コホモロジー：閉形式と完全形式のずれが測る穴閉形式を完全形式で割った de Rham コホモロジーを定義し、ホモトピー不変性と Poincaré の補題を Cartan の公式から導く。Mayer–Vietoris 完全系列を証明し、球面のコホモロジーを具体的に計算する。数学多様体論学部多様体de Rham コホモロジーPoincaré の補題Mayer–Vietoris球面約 35 分