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常微分方程式の初等解法：変数分離・1 階線形・完全形と「解とは何か」変数分離形・1 階線形・完全微分方程式と積分因子を、解の公式だけでなく存在と一意性の範囲まで含めて証明し、最大解という概念で「どこまで解が延びるか」を定式化する。数学常微分方程式学部常微分方程式変数分離積分因子完全微分方程式最大解約 25 分
解の存在と一意性：Picard–Lindelöf・Peano・Gronwall と初期値への依存初期値問題の局所解の存在をBanachの不動点定理とEuler折れ線とArzelà–Ascoliで、一意性と連続・微分可能依存性をGronwallの不等式で証明し、解の延長とVolterra積分方程式までを扱う。数学常微分方程式学部常微分方程式Picard–LindelöfPeanoGronwall初期値依存性約 22 分
級数解と確定特異点：Frobenius 法から Bessel・Legendre・Hermite 方程式まで解析的な係数の線形2階方程式の冪級数解が係数と同じ収束半径をもつことを優級数で示し、確定特異点でのFrobenius法と決定方程式を証明して、Bessel・Legendre・Hermite方程式の解を導く。数学常微分方程式学部常微分方程式冪級数解Frobenius法Bessel関数Legendre多項式約 20 分