タグ: 有限要素法

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• 固有値問題の離散化：差分・有限要素の固有値の収束と上界・下界微分作用素の固有値を行列の固有値で近似したときの誤差を扱う。3 点差分は下から、有限要素法の Ritz 値は上から O(h²) で収束すること、固有ベクトルの誤差とすき間の関係、領域の切断の指数的な誤差、偽の固有値が現れない範囲を証明する。情報科学偏微分方程式の離散化修士固有値問題Rayleigh–Ritz法有限要素法スペクトル汚染領域の切断約 61 分
• 有限要素法 I：Galerkin 近似・Céa の補題・1 次元の誤差評価変分問題を有限次元部分空間で解く Galerkin 近似について、適切性・Galerkin 直交性・Céa の補題を証明し、1 次元の区分 1 次要素で補間誤差、エネルギーノルムと L² ノルムの誤差評価（双対論法）、節点での厳密性、剛性行列の条件数を導く。情報科学偏微分方程式の離散化修士有限要素法Galerkin法Céaの補題補間誤差双対論法約 24 分
• 有限要素法 II：三角形要素・補間誤差・L² 評価と放物型問題多角形領域の三角形分割の上の区分 1 次要素について、補間誤差 O(h²)・O(h²/ρ) を定数つきで証明し、Poisson 方程式の誤差評価、L² での双対論法、逆不等式、余接の公式と離散最大値原理、熱方程式の半離散・全離散の誤差評価を導く。情報科学偏微分方程式の離散化修士有限要素法三角形要素補間誤差双対論法放物型方程式約 56 分
• 無限次元の固有値の包含：Rayleigh–Ritz の上界と Temple・Lehmann–Goerisch・有限要素法の下界自己共役作用素の固有値を上下から厳密に挟む方法を証明する。Rayleigh–Ritz の上界、Temple の不等式、Goerisch の補題による Lehmann–Goerisch の下界、要素ごとの Poincaré 不等式に基づく有限要素法の下界、Nyström 法と核の摂動を扱い、π² を有理数計算だけで包む。数学計算機援用証明修士固有値の包含Rayleigh–Ritz法Temple不等式Lehmann–Goerisch法有限要素法約 30 分