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多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性までUFD とガウスの補題、アイゼンシュタインの判定法、ヒルベルトの基底定理を証明し、代数拡大・分解体・正規拡大・分離拡大、有限体の存在と一意性、作図不能性まで一本の道筋で示す。数学代数学（群・環・体）学部多項式環UFDアイゼンシュタインの判定法体の拡大有限体約 55 分
有限体上の多項式：最小多項式・円分剰余類・トレースとノルムFrobenius 写像の軌道として最小多項式と円分剰余類を定め、x^n − 1 の有限体上の分解を証明する。トレースとノルム、Hilbert の定理 90 の有限体版、正規基底定理、Berlekamp の分解法、Wedderburn の小定理まで扱う。数学有限体と符号学部有限体円分剰余類円分多項式トレースとノルム正規基底約 27 分
有限体の構造：部分体・Frobenius 自己同型・既約多項式の個数有限体の元が x^q − x の根全体であることから出発し、部分体の束、Frobenius 自己同型が生成する Galois 群、既約多項式の根と個数の公式、平方元、代数閉包を根の数え上げだけで証明する。数学有限体と符号学部有限体Frobenius 自己同型既約多項式原始元代数閉包約 48 分