電磁ポテンシャルとゲージ変換：場の裏にある「余分な自由度」

0. この記事の要点

• マクスウェル方程式のうち $\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0$ と $\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}$ の 2 本は、場そのものへの制約ではなく、場の表し方についての情報です。この 2 本はポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ を導入すると恒等的に満たされ、残る 2 本だけが解くべき方程式になります。
• $\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$ と書けることは、領域が星形（あるいは単連結で穴がない）ならば数学的に保証されます。この保証の中身がポアンカレの補題です。
• ポテンシャルは一意ではありません。同じ $(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ を与える $(\varphi,\boldsymbol{A})$ の全体は、任意関数 $\chi(\boldsymbol{x},t)$ によるゲージ変換 $\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi$、$\varphi\to\varphi-\partial_t\chi$ でちょうど尽くされます（不定性はこれ以上でも以下でもありません）。
• ローレンツゲージ $\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$ を課すと、$\varphi$ と $\boldsymbol{A}$ の方程式が 4 本の独立な波動方程式に分離します。クーロンゲージ $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ を課すと $\varphi$ は瞬間的なポアソン方程式に従います。どちらも常に実現できます。
• $A^\mu=(\varphi/c,\boldsymbol{A})$ は 4 元ベクトルであり、ローレンツゲージ条件はローレンツ変換で形を変えません。電磁気学が特殊相対論と一体であることは、ポテンシャルの言葉で最も見やすくなります。

1. 動機：場が分かっているのに、なぜポテンシャルを持ち出すのか

マクスウェル方程式まで到達した時点で、電磁場の理論は形式的には完成しています。$\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ が満たす 4 本の連立偏微分方程式があり、電荷と電流を与えれば場が決まる。それなら、わざわざ別の量を導入する理由はどこにあるのでしょうか。

理由は 3 つあります。

第 1 に、計算量が減ります。 マクスウェル方程式は $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ の 6 成分に対する 8 本のスカラー方程式です（発散の式が 2 本、回転の式が 6 本）。方程式の本数が未知関数より多いのは、方程式どうしが独立でないからです。ポテンシャルを使うと未知関数は 4 成分（$\varphi$ と $\boldsymbol{A}$）に減り、しかも後で見るようにゲージを適切に選べば、それらは互いに分離した波動方程式になります。手で解ける問題の範囲が一気に広がります。

第 2 に、静電ポテンシャルの自然な一般化になっています。 静電場では $\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$ から $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi$ と書け（電場はポテンシャルの勾配（Theorem 6.2）［Electrostatic Fields and Gauss's Law］）、$\varphi$ は単位電荷あたりの位置エネルギーという明確な意味を持っていました。ところが電磁誘導があると、ファラデーの法則の微分形（Theorem 4.1）［電磁誘導と変位電流］ により $\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{0}$ となり、この描像は壊れます。壊れた分をどう補えばよいのかという問いへの答えが、ベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ です。

第 3 に、そしてこれが最も重要ですが、ポテンシャルは他の物理学とのつなぎ目です。 ラグランジュ形式の力学で荷電粒子を扱うとき、ラグランジアンに現れるのは $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ ではなく $\varphi,\boldsymbol{A}$ です。量子力学のシュレーディンガー方程式に入るのも $\varphi,\boldsymbol{A}$ です。$(\varphi,\boldsymbol{A})$ は 4 元ベクトルとしてまとまり、特殊相対論の枠組みにそのまま乗ります。

歴史的には、この評価は揺れ動いてきました。マクスウェル自身は $\boldsymbol{A}$ を重視し「電磁運動量」と呼んでいましたが、19 世紀末のヘヴィサイドやヘルツは、ポテンシャルは一意に決まらない以上は計算の便宜にすぎないとして、方程式から追放しました。実際、ゲージ変換で自由に変えられる量が物理的実在だとは考えにくい。この評価が覆るのは 1959 年、アハラノフとボームが、磁場がゼロの領域を通る電子の干渉縞が $\boldsymbol{A}$ の周回積分で決まることを指摘してからです。この記事では古典論の範囲にとどまりますが、「不定性があるのに消せない」というポテンシャルの奇妙な地位は、最初から意識しておいてください。

2. 準備：マクスウェル方程式と 2 つのベクトル解析の補題

2.1. 出発点の方程式

真空中のマクスウェル方程式（真空中のマクスウェル方程式（微分形）（Definition 3.1）［マクスウェル方程式と電磁波］）を SI 単位で書きます。$\rho$ は電荷密度、$\boldsymbol{j}$ は電流密度、$c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ です。

$$\begin{aligned} \operatorname{div}\boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, &\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{B} &= \mu_0\boldsymbol{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t},\\[4pt] \operatorname{div}\boldsymbol{B} &= 0, &\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}. \end{aligned}$$

左列上と右列上、すなわち $\rho,\boldsymbol{j}$ が現れる 2 本を非斉次方程式、$\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0$ と $\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}$ の 2 本を斉次方程式と呼びます。この記事の主題は、斉次方程式の一般解を書き下すことです。

2.2. ポアンカレの補題

「回転がゼロなら勾配」「発散がゼロなら回転」という 2 つの事実を、証明つきで確認します。逆向き（$\operatorname{rot}\operatorname{grad}f=\boldsymbol{0}$ と $\operatorname{div}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=0$）は成分計算で直ちに従うので、問題は逆命題です。逆命題には領域の形についての仮定が要ります。

領域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ が点 $\boldsymbol{x}_0$ について星形であるとは、任意の $\boldsymbol{x}\in\Omega$ に対して線分 $\{\boldsymbol{x}_0+s(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)\mid 0\le s\le 1\}$ が $\Omega$ に含まれることをいいます。以下では記号を簡単にするため $\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{0}$ とします（一般の場合は平行移動するだけです）。全空間 $\mathbb{R}^3$、球、直方体はすべて星形です。

Lemma 2.1（回転がゼロなら勾配（ポアンカレの補題））

$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を原点について星形な開集合とし、$\boldsymbol{F}\colon\Omega\to\mathbb{R}^3$ を $C^1$ 級のベクトル場とする。$\Omega$ 上で $\operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$ ならば、$C^2$ 級のスカラー場 $f\colon\Omega\to\mathbb{R}$ で $\boldsymbol{F}=\operatorname{grad}f$ を満たすものが存在する。具体的には

$$f(\boldsymbol{x})=\int_0^1 \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}(s\boldsymbol{x})\,ds$$

がその 1 つである。

Proof（Lemma 2.1）

$f$ を上の式で定める（星形性より $s\boldsymbol{x}\in\Omega$ なので、この積分は意味を持ちます）。$l$ 成分を計算します。積分記号下の微分を行い、$\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{F}(s\boldsymbol{x})=x_jF_j(s\boldsymbol{x})$（$j$ について和）を $x_l$ で偏微分すると、積の微分法により

$$\frac{\partial}{\partial x_l}\bigl[x_jF_j(s\boldsymbol{x})\bigr] = F_l(s\boldsymbol{x}) + s\,x_j\,(\partial_l F_j)(s\boldsymbol{x}).$$

第 2 項は合成関数の微分（$\partial (s\boldsymbol{x})_l/\partial x_l = s$）から出ます。ここで仮定 $\operatorname{rot}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{0}$、すなわち $\partial_l F_j=\partial_j F_l$ を使うと

$$\frac{\partial f}{\partial x_l}(\boldsymbol{x}) =\int_0^1\Bigl[F_l(s\boldsymbol{x})+s\,x_j\,(\partial_j F_l)(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds .$$

被積分関数は $\dfrac{d}{ds}\bigl[s\,F_l(s\boldsymbol{x})\bigr]$ にほかなりません（実際、積の微分と連鎖律で $\frac{d}{ds}[sF_l(s\boldsymbol{x})]=F_l(s\boldsymbol{x})+s\,x_j(\partial_jF_l)(s\boldsymbol{x})$）。したがって

$$\frac{\partial f}{\partial x_l}(\boldsymbol{x})=\Bigl[s\,F_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]_{s=0}^{s=1}=F_l(\boldsymbol{x}).$$

$l=1,2,3$ で成り立つので $\operatorname{grad}f=\boldsymbol{F}$ です。

∎

Lemma 2.2（発散がゼロなら回転（ポアンカレの補題））

$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を原点について星形な開集合とし、$\boldsymbol{G}\colon\Omega\to\mathbb{R}^3$ を $C^1$ 級のベクトル場とする。$\Omega$ 上で $\operatorname{div}\boldsymbol{G}=0$ ならば、$C^2$ 級のベクトル場 $\boldsymbol{A}$ で $\boldsymbol{G}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}$ を満たすものが存在する。具体的には

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s\,\boldsymbol{G}(s\boldsymbol{x})\times\boldsymbol{x}\,ds$$

がその 1 つである。

Proof（Lemma 2.2）

成分で書くと $A_i(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s\,\varepsilon_{ijk}G_j(s\boldsymbol{x})x_k\,ds$ です（$\varepsilon_{ijk}$ はレヴィ＝チヴィタ記号、繰り返し添字は和）。回転を取ります。

$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\varepsilon_{lmi}\partial_m A_i =\int_0^1 s\,\varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}\,\partial_m\bigl[G_j(s\boldsymbol{x})x_k\bigr]ds .$$

括弧の中を積の微分法と連鎖律で展開すると

$$\partial_m\bigl[G_j(s\boldsymbol{x})x_k\bigr]=s\,(\partial_mG_j)(s\boldsymbol{x})\,x_k+G_j(s\boldsymbol{x})\,\delta_{mk}.$$

一方 $\varepsilon_{lmi}\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{ilm}\varepsilon_{ijk}=\delta_{lj}\delta_{mk}-\delta_{lk}\delta_{mj}$ です。これを代入して 2 つの項に分けます。

$\delta_{lj}\delta_{mk}$ の項：$s\,(\partial_kG_l)(s\boldsymbol{x})x_k+G_l(s\boldsymbol{x})\delta_{kk}=s\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+3G_l(s\boldsymbol{x})$（$\delta_{kk}=3$）。

$\delta_{lk}\delta_{mj}$ の項：$s\,(\partial_jG_j)(s\boldsymbol{x})x_l+G_j(s\boldsymbol{x})\delta_{jl}=s\,(\operatorname{div}\boldsymbol{G})(s\boldsymbol{x})\,x_l+G_l(s\boldsymbol{x})$。ここで仮定 $\operatorname{div}\boldsymbol{G}=0$ を使うと第 1 項が消え、$G_l(s\boldsymbol{x})$ だけが残ります。

両者の差を取ると

$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\int_0^1 s\Bigl[s\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+3G_l(s\boldsymbol{x})-G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds =\int_0^1\Bigl[s^2\,\boldsymbol{x}\cdot(\nabla G_l)(s\boldsymbol{x})+2s\,G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]ds .$$

被積分関数は $\dfrac{d}{ds}\bigl[s^2G_l(s\boldsymbol{x})\bigr]$ に一致します。よって

$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_l=\Bigl[s^2G_l(s\boldsymbol{x})\Bigr]_{s=0}^{s=1}=G_l(\boldsymbol{x}).$$

$l=1,2,3$ で成り立つので $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{G}$ です。

∎

Caution

星形という仮定は本質的です。Lemma 2.1 は、穴の開いた領域では成り立ちません。Example 3.5 でその実例を見ます。物理の教科書でこの仮定が省かれがちなのは、扱う領域がたいてい全空間だからにすぎません。

3. 2 つのポテンシャルの構成

3.1. 存在定理

Theorem 3.1（電磁ポテンシャルの存在）

$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を星形な開集合、$I\subset\mathbb{R}$ を開区間とする。$\Omega\times I$ 上の $C^2$ 級のベクトル場 $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ が斉次マクスウェル方程式

$$\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0,\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

を満たすとする。このとき $\Omega\times I$ 上の $C^1$ 級のスカラー場 $\varphi$ とベクトル場 $\boldsymbol{A}$ が存在して

$$\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

が $\Omega\times I$ の全体で成り立つ。逆に、任意の $C^2$ 級の $(\varphi,\boldsymbol{A})$ からこの 2 式で $(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ を定めれば、斉次マクスウェル方程式は恒等的に満たされる。

Proof（Theorem 3.1）

（存在） 各時刻 $t\in I$ を固定します。$\operatorname{div}\boldsymbol{B}(\cdot,t)=0$ なので、Lemma 2.2 により

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\int_0^1 s\,\boldsymbol{B}(s\boldsymbol{x},t)\times\boldsymbol{x}\,ds$$

とおけば $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ です。この式は $t$ を単なるパラメータとして含むだけなので、$\boldsymbol{B}$ が $t$ について $C^2$ 級なら $\boldsymbol{A}$ も $t$ について微分できます。

次に $\boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A}$ を考えます。回転と時間微分は独立変数についての偏微分なので順序交換ができ、

$$\operatorname{rot}\Bigl(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr) =\operatorname{rot}\boldsymbol{E}+\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}) =-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}=\boldsymbol{0}.$$

1 番目の等号で微分の順序交換、2 番目で仮定 $\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}$ と、いま作った $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$ を使いました。したがって各時刻で $\boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A}$ は回転がゼロなので、Lemma 2.1 により

$$\varphi(\boldsymbol{x},t)=-\int_0^1 \boldsymbol{x}\cdot\Bigl(\boldsymbol{E}+\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr)(s\boldsymbol{x},t)\,ds$$

とおけば $-\operatorname{grad}\varphi=\boldsymbol{E}+\partial_t\boldsymbol{A}$、すなわち $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$ が得られます。

（逆） $\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}$ とすると、恒等式 $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ から $\operatorname{div}\boldsymbol{B}=0$。これは成分で書けば $\partial_i\varepsilon_{ijk}\partial_jA_k=\varepsilon_{ijk}\partial_i\partial_jA_k$ で、$\varepsilon_{ijk}$ が $i,j$ の交換で符号を変え $\partial_i\partial_j$ が変えないため和がゼロになる、ということです。また $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$ の回転を取ると、恒等式 $\operatorname{rot}\operatorname{grad}=\boldsymbol{0}$（同じ理由で従います）により

$$\operatorname{rot}\boldsymbol{E}=-\operatorname{rot}\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\boldsymbol{A} =-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$$

となります。

∎

Definition 3.2（電磁ポテンシャル）

Theorem 3.1 の $\boldsymbol{A}$ をベクトルポテンシャル、$\varphi$ をスカラーポテンシャルと呼び、あわせて電磁ポテンシャルという。すなわち

$$\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad \boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

の関係にある $(\varphi,\boldsymbol{A})$ のことである。

flowchart TD
A["div B = 0"] --> B["B = rot A（ベクトルポテンシャル）"]
C["rot E = -∂B/∂t"] --> D["rot（E + ∂A/∂t）= 0"]
B --> D
D --> E["E = -grad φ - ∂A/∂t（スカラーポテンシャル）"]

斉次マクスウェル方程式からポテンシャルが出てくる筋道

Remark 3.3

$\boldsymbol{E}$ の表式が 2 項からなることに注意してください。第 1 項 $-\operatorname{grad}\varphi$ は静電場と同じ「坂を下る」寄与で、静電場とガウスの法則で学んだものです。第 2 項 $-\partial_t\boldsymbol{A}$ が誘導電場、つまり電磁誘導で現れた渦を巻く電場です。渦の部分をすべて $\boldsymbol{A}$ に押しつけることで、残りをスカラーの勾配で書けるようにした、というのがTheorem 3.1の証明の中身です。

3.2. 具体例

Example 3.4（一様磁場のベクトルポテンシャル）

$\boldsymbol{B}=B\boldsymbol{e}_z$（$B$ は定数）を与える $\boldsymbol{A}$ を求めます。Lemma 2.2 の公式に $\boldsymbol{G}=\boldsymbol{B}$（定数）を代入すると

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\int_0^1 s\,\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{x}\,ds=\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{x}$$

です。成分では $\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{e}_z\times(x,y,z)=B(-y,x,0)$ なので

$$\boldsymbol{A}_{\text{sym}}=\frac{B}{2}(-y,\;x,\;0).$$

これを対称ゲージと呼びます。検算します。

$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_{\text{sym}})_z=\partial_xA_y-\partial_yA_x=\frac{B}{2}-\Bigl(-\frac{B}{2}\Bigr)=B,$$

$x,y$ 成分は $A_z=0$ かつ $A_x,A_y$ が $z$ に依らないことから $0$ です。確かに $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_{\text{sym}}=B\boldsymbol{e}_z$ になりました。

一方 $\boldsymbol{A}_{\text{L}}=(0,\;Bx,\;0)$ でも $(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_{\text{L}})_z=\partial_x(Bx)-0=B$ となり、同じ磁場を与えます（ランダウゲージ）。同じ $\boldsymbol{B}$ に対して異なる $\boldsymbol{A}$ が存在することが、これで実例として確認できました。両者の差は

$$\boldsymbol{A}_{\text{L}}-\boldsymbol{A}_{\text{sym}}=\Bigl(\frac{By}{2},\;\frac{Bx}{2},\;0\Bigr)=\operatorname{grad}\Bigl(\frac{Bxy}{2}\Bigr)$$

と勾配の形をしています。これが次節のゲージ変換です。

Example 3.5（ソレノイドの外側：磁場はゼロでもポテンシャルは消せない）

$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長いソレノイドを考えます。定常電流と静磁場で見たとおり（無限に長いソレノイド（Example 6.6）［Steady Currents and Magnetostatic Fields］）、内部は一様磁場 $\boldsymbol{B}=B\boldsymbol{e}_z$、外部は $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$ です。

円筒対称性から $\boldsymbol{A}=A_\phi(r)\boldsymbol{e}_\phi$ の形を仮定します（ここでの $\phi$ は方位角で、スカラーポテンシャル $\varphi$ とは別の記号です）。半径 $r$ の円周にストークスの定理（Theorem 5.3）［Steady Currents and Magnetostatic Fields］を適用すると

$$\oint_{r}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=2\pi r\,A_\phi(r)=\int \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=\Phi(r)$$

なので、$\Phi(r)$ をその円が囲む磁束として

$$A_\phi(r)=\frac{\Phi(r)}{2\pi r}= \begin{cases} \dfrac{Br}{2}, & r\le a,\\[8pt] \dfrac{\Phi}{2\pi r}, & r\ge a, \end{cases} \qquad \Phi=\pi a^2B .$$

外側では $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$ なのに $\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{0}$ です。もちろん外側で $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ は成り立っています（円筒座標で $(\operatorname{rot}\boldsymbol{A})_z=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\phi)=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(\frac{\Phi}{2\pi}\bigr)=0$）。しかし外部領域で $\boldsymbol{A}=\operatorname{grad}\chi$ と書ける 1 価関数 $\chi$ は存在しません。もし存在すれば閉曲線に沿った周回積分が $0$ になるはずですが、実際には $\oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=\Phi\neq0$ だからです。

外部領域は $z$ 軸のまわりに穴が開いていて星形ではなく、Lemma 2.1 の仮定が破れています。ポテンシャルの理論が領域の位相に敏感であることの、最も分かりやすい例です。この $\oint\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}$ が量子力学で電子の干渉縞を動かす（アハラノフ＝ボーム効果）ことが、後にポテンシャルの地位を決定づけました。

4. ゲージ変換：不定性の正体

4.1. 定義と不変性

Definition 4.1（ゲージ変換）

$\chi(\boldsymbol{x},t)$ を $C^2$ 級の任意のスカラー場（ゲージ関数）とする。電磁ポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ に対する変換

$$\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi,\qquad \varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}$$

をゲージ変換という。

符号の組み合わせが重要です。$\boldsymbol{A}$ には $+\operatorname{grad}\chi$、$\varphi$ には $-\partial_t\chi$。この組でなければ $\boldsymbol{E}$ が変わってしまいます。

Proposition 4.2（場のゲージ不変性）

Definition 4.1 のゲージ変換によって、$(\varphi,\boldsymbol{A})$ から定まる場は変わらない。すなわち

$$\operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad -\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}.$$

Proof（Proposition 4.2）

磁場については、恒等式 $\operatorname{rot}\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0}$ から

$$\operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}+\operatorname{rot}\operatorname{grad}\chi=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}.$$

電場については、$\chi$ が $C^2$ 級なので $\operatorname{grad}$ と $\partial_t$ が交換すること（シュワルツの定理（Theorem 7.1）［多変数関数の微分と偏微分］）を使って

$$-\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t} =-\operatorname{grad}\varphi+\operatorname{grad}\frac{\partial\chi}{\partial t} -\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{grad}\chi =-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

となり、$\operatorname{grad}\partial_t\chi$ と $\partial_t\operatorname{grad}\chi$ が打ち消し合います。

∎

4.2. 不定性はゲージ変換に尽きる

Proposition 4.2 は「ゲージ変換をしても場は変わらない」と言っています。逆に「場が同じなら必ずゲージ変換で移り合う」でしょうか。これが成り立つからこそ、不定性を完全に把握したと言えます。

Theorem 4.3（ゲージ自由度の完全性）

$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を星形な開集合、$I$ を開区間とする。$\Omega\times I$ 上の 2 組の $C^2$ 級ポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ と $(\varphi',\boldsymbol{A}')$ が同一の場を与える、すなわち

$$\operatorname{rot}\boldsymbol{A}'=\operatorname{rot}\boldsymbol{A},\qquad -\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}'}{\partial t}=-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

が成り立つとする。このとき $C^2$ 級のスカラー場 $\chi(\boldsymbol{x},t)$ が存在して

$$\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi,\qquad \varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}$$

が成り立つ。すなわち 2 組はゲージ変換で結ばれる。

Proof（Theorem 4.3）

$\boldsymbol{D}=\boldsymbol{A}'-\boldsymbol{A}$、$u=\varphi'-\varphi$ とおきます。仮定の第 1 式から $\operatorname{rot}\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0}$ です。各時刻 $t$ で Lemma 2.1 を適用すると、$\Omega$ が星形なので

$$\chi(\boldsymbol{x},t)=\int_0^1\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{D}(s\boldsymbol{x},t)\,ds$$

が $\boldsymbol{D}=\operatorname{grad}\chi$ を与えます。$t$ は積分の中でパラメータとしてしか現れないので、$\chi$ は $t$ について微分可能です。

次に仮定の第 2 式に $\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi$ を代入します。

$$-\operatorname{grad}\varphi'-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{grad}\chi =-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$$

より $\operatorname{grad}\bigl(\varphi'-\varphi+\partial_t\chi\bigr)=\boldsymbol{0}$。$\Omega$ は星形なので連結であり、勾配がゼロの関数は $\boldsymbol{x}$ に依りません。よってある関数 $g(t)$ があって

$$\varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+g(t).$$

最後に $g$ を吸収します。$h(t)$ を $h'(t)=g(t)$ を満たす関数（$g$ の原始関数、積分の基本定理により連続な $g$ に対して存在します）とし、$\tilde\chi(\boldsymbol{x},t)=\chi(\boldsymbol{x},t)-h(t)$ とおきます。$h$ は $\boldsymbol{x}$ に依らないので $\operatorname{grad}\tilde\chi=\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{D}$ は変わらず、一方

$$\varphi-\frac{\partial\tilde\chi}{\partial t}=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+h'(t)=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}+g(t)=\varphi' .$$

よって $\tilde\chi$ が求めるゲージ関数です。

∎

Proposition 4.2 と Theorem 4.3 をあわせると、次のように言えます。ポテンシャルの全体は、同じ物理的な場を与えるもの同士でグループ分けされ、各グループ（ゲージ軌道）はちょうど 1 つのゲージ関数 $\chi$ の分だけの自由度を持つ。 物理的に意味があるのはグループそのものであって、その中のどの代表元を選ぶかは私たちの都合です。

ポテンシャルの空間はゲージ軌道に分かれ、各軌道が 1 つの物理的な場に対応する

Example 4.4（スカラーポテンシャルはいつでも消せる）

$\varphi$ が物理量でないことを最もはっきり示す例です。任意の $(\varphi,\boldsymbol{A})$ に対して、時刻 $t_0$ を固定して

$$\chi(\boldsymbol{x},t)=\int_{t_0}^{t}\varphi(\boldsymbol{x},t')\,dt'$$

とおきます。微分積分学の基本定理（第一部（Theorem 5.2）［積分の基本定理と定積分］）から $\partial_t\chi=\varphi$ なので、このゲージ変換の結果は

$$\varphi'=\varphi-\frac{\partial\chi}{\partial t}=0,\qquad \boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\int_{t_0}^{t}\varphi\,dt' .$$

つまり、どんな電磁場でも $\varphi\equiv0$ となるポテンシャルの取り方が存在します（時間ゲージ、あるいはワイルゲージ）。このとき電場は $\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{A}'$ だけで表されます。静電気の問題ですら、$\varphi$ を消して $\boldsymbol{A}$ が時間とともに変化する記述に書き換えられるのです。「電位」に絶対的な意味がないことが、ここに極端な形で現れています。

Remark 4.5

ゲージ変換は力学の側でも整合します。電磁場中の質量 $m$、電荷 $q$ の粒子のラグランジアンは

$$L=\frac{1}{2}m|\dot{\boldsymbol{x}}|^2-q\varphi(\boldsymbol{x},t)+q\,\dot{\boldsymbol{x}}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)$$

です。ゲージ変換を施すと

$$L'=L+q\Bigl(\frac{\partial\chi}{\partial t}+\dot{\boldsymbol{x}}\cdot\operatorname{grad}\chi\Bigr)=L+q\frac{d\chi}{dt}$$

となり、$L$ は時間の全微分だけ変わります。ラグランジュ形式の力学で学んだとおり、全微分の付加はオイラー＝ラグランジュ方程式を変えません（全微分項による不定性（Proposition 4.4）［Lagrangian Mechanics］）。ゲージ変換が運動を変えないことが、力学の言葉でも保証されているわけです。なお正準運動量 $\boldsymbol{p}=m\dot{\boldsymbol{x}}+q\boldsymbol{A}$ はゲージに依存する量で、ハミルトン形式を使うときは注意が必要です。また、ゲージ変換のような連続的な内部対称性が電荷保存則と結びつくことは、ネーターの定理の枠組みで理解されます。

5. ゲージ固定：ローレンツゲージとクーロンゲージ

5.1. ポテンシャルの従う方程式

Theorem 3.1 により斉次方程式は自動的に満たされたので、残る非斉次方程式をポテンシャルで書き直します。

ガウスの法則 $\operatorname{div}\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0$ に $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$ を代入して

$$-\nabla^2\varphi-\frac{\partial}{\partial t}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

アンペール＝マクスウェルの法則には恒等式 $\operatorname{rot}\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}$ を使います。

$$\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A} =\mu_0\boldsymbol{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\operatorname{grad}\varphi-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}\Bigr)$$

を整理すると

$$\Bigl(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Bigr)\boldsymbol{A} -\operatorname{grad}\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\boldsymbol{j}$$

となります。以下、ダランベール演算子を

$$\Box\;\equiv\;\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$$

と書きます。2 本の方程式は $\varphi$ と $\boldsymbol{A}$ が絡み合っていて、このままでは扱いにくい。しかし両者に共通して現れる組み合わせ $\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi$ に目を付けると、道が開けます。Theorem 4.3 が保証するゲージ自由度は、まさにこの組み合わせを操作するために使えるのです。

5.2. ローレンツゲージ

Definition 5.1（ローレンツゲージ条件）

電磁ポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ が

$$\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0$$

を満たすとき、ローレンツゲージにあるという。

Note

この条件はデンマークの物理学者ルズヴィ・ローレンツ（Ludvig Lorenz, 1867）によるもので、ローレンツ変換のヘンドリック・ローレンツ（Hendrik Lorentz）とは別人です。長らく混同されてきた経緯が、ジャクソンとオクンの論文（参考文献）に詳しく整理されています。綴りは Lorenz です。

Theorem 5.2（ローレンツゲージはいつでも実現できる）

$(\varphi,\boldsymbol{A})$ を任意の電磁ポテンシャルとする。非斉次波動方程式

$$\Box\chi=-\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)$$

の解 $\chi$ を用いてゲージ変換すれば、得られる $(\varphi',\boldsymbol{A}')$ はローレンツゲージ条件を満たす。さらに、ローレンツゲージにあるポテンシャルどうしを結ぶゲージ変換は、$\Box\chi=0$ を満たす $\chi$ によるものに限る。

Proof（Theorem 5.2）

ゲージ変換 $\boldsymbol{A}'=\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi$、$\varphi'=\varphi-\partial_t\chi$ のもとで、ゲージ条件の左辺がどう変わるかを計算します。$\operatorname{div}\operatorname{grad}=\nabla^2$ に注意して

$$\operatorname{div}\boldsymbol{A}'+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi'}{\partial t} =\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\nabla^2\chi+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2} =\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)+\Box\chi .$$

したがって左辺をゼロにするには $\Box\chi$ が元のゲージ条件の左辺の符号を変えたものに等しければよく、それが定理の主張する方程式です。この非斉次波動方程式は、右辺が与えられた関数であるとき（適切な滑らかさと減衰のもとで）遅延解

$$\chi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi}\int \frac{S\bigl(\boldsymbol{x}',\,t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|/c\bigr)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x' \quad\bigl(S=\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi\bigr)$$

を持ちます。少なくとも 1 つ解が存在すればよいので、これで実現可能性が示せました。

後半も上の計算から直ちに従います。変換前後がどちらもローレンツゲージ条件を満たすなら、上の等式の両端がゼロなので $\Box\chi=0$ です。逆に $\Box\chi=0$ ならゲージ条件は保たれます。

∎

Corollary 5.3（ローレンツゲージにおける波動方程式）

ローレンツゲージ条件のもとで、マクスウェル方程式は

$$\Box\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$$

と同値である。すなわち $\varphi$ と $\boldsymbol{A}$ の 3 成分は、それぞれ独立な非斉次波動方程式に従う。

Proof（Corollary 5.3）

§5.1 で得た 2 本の式に条件 Definition 5.1 を代入します。

第 1 式について。$\operatorname{div}\boldsymbol{A}=-c^{-2}\partial_t\varphi$ を $-\nabla^2\varphi-\partial_t(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\rho/\varepsilon_0$ に入れると

$$-\nabla^2\varphi+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad\Longleftrightarrow\quad \Box\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$$

第 2 式について。$\Box\boldsymbol{A}-\operatorname{grad}(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi)=-\mu_0\boldsymbol{j}$ の第 2 項の括弧がゲージ条件によりゼロなので、$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$ です。

逆向きも同じ代入を逆にたどるだけです。

∎

これが電磁ポテンシャルを導入する実用上の最大の見返りです。6 成分・8 本の連立方程式が、同じ形をした 4 本の独立なスカラー波動方程式に化けました。しかもこの形から、$\rho$ と $\boldsymbol{j}$ が作る電磁場が速さ $c$ で伝わることが即座に読み取れます。

Remark 5.4

自由度を数えておきます。$(\varphi,\boldsymbol{A})$ は 4 成分。ローレンツゲージ条件が 1 本の拘束を課して 3。Theorem 5.2 の後半が言う残留ゲージ自由度（$\Box\chi=0$）がさらに 1 つの成分を物理的に無意味にして 2。真空中の電磁波の偏光が 2 種類しかないことと、この数え上げは一致しています。

5.3. クーロンゲージ

Definition 5.5（クーロンゲージ条件）

電磁ポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ が

$$\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$$

を満たすとき、クーロンゲージ（横波ゲージ、放射ゲージ）にあるという。

Proposition 5.6（クーロンゲージの実現と、そこでのスカラーポテンシャル）

任意の電磁ポテンシャル $(\varphi,\boldsymbol{A})$ に対し、ポアソン方程式 $\nabla^2\chi=-\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ の解 $\chi$ によるゲージ変換は $(\varphi',\boldsymbol{A}')$ をクーロンゲージに移す。さらにクーロンゲージのもとでスカラーポテンシャルは

$$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

を満たし、全空間で $\varphi\to0$（$|\boldsymbol{x}|\to\infty$）を課せば

$$\varphi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x'$$

と、同時刻の電荷分布で書ける。

Proof（Proposition 5.6）

ゲージ変換で $\operatorname{div}\boldsymbol{A}'=\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\nabla^2\chi$ ですから、これがゼロになる条件が $\nabla^2\chi=-\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ です。ポアソン方程式は（適切な条件下で）常に解を持ちます。

次に §5.1 の第 1 式 $-\nabla^2\varphi-\partial_t(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=\rho/\varepsilon_0$ に $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ を代入すると $\nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0$ となります。この形は静電場とガウスの法則で扱った静電ポテンシャルの方程式（ポアソン方程式（Theorem 6.5）［Electrostatic Fields and Gauss's Law］）とまったく同じで、時間 $t$ はパラメータとしてしか入りません。境界条件 $\varphi\to0$ のもとでの解が上のクーロン積分です。

∎

Caution

この結果は一見すると相対論に反します。遠方の電荷を今この瞬間に動かすと、$\varphi$ は同じ瞬間に変化してしまうからです。しかし観測されるのは $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$ であり、$\boldsymbol{A}$ の側に現れる寄与が $\varphi$ の瞬間的な変化を正確に打ち消して、$\boldsymbol{E}$ は光速で伝わります。因果性はゲージ不変な量についてだけ問えばよい、というのがこの例の教訓です。詳しい機構は Appendix で見ます。

5.4. 2 つのゲージの使い分け

	ローレンツゲージ	クーロンゲージ
条件	$\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$	$\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$
$\varphi$ の方程式	$\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$（波動）	$\nabla^2\varphi=-\rho/\varepsilon_0$（瞬間的）
$\boldsymbol{A}$ の方程式	$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$	$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}}$（Appendix 参照）
ローレンツ変換	形を変えない	形を変える（慣性系ごとに条件が違う）
得意な場面	電磁波の放射、相対論的な計算	束縛電子系、量子光学、非相対論的な近似

Example 5.7（静止した点電荷）

原点に静止した点電荷 $q$ を考えます。$\rho(\boldsymbol{x})=q\delta^3(\boldsymbol{x})$、$\boldsymbol{j}=\boldsymbol{0}$ です。Proposition 5.6 の積分公式から

$$\varphi(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{q\delta^3(\boldsymbol{x}')}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x'=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}|}, \qquad \boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$$

です（$\boldsymbol{A}$ については $\Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ の解で無限遠でゼロかつ時間に依らないものを取りました）。この組はクーロンゲージ条件 $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ を満たし、同時に $\varphi$ が時間に依らないのでローレンツゲージ条件 $\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$ も満たします。静的な問題では 2 つのゲージが一致するわけです。得られる場は

$$\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad}\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3},\qquad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$$

で、クーロンの法則が再現されました。

Example 5.8（真空中の平面電磁波）

$\rho=0$、$\boldsymbol{j}=\boldsymbol{0}$ の真空を考えます。Corollary 5.3 により $\Box\varphi=0$、$\Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ です。Example 4.4 と Theorem 5.2 の残留自由度を使うと、真空では $\varphi\equiv0$ かつ $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ を同時に課せます（放射ゲージ）。そこで

$$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=A_0\,\boldsymbol{\epsilon}\cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t),\qquad \boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k}=0,\ |\boldsymbol{\epsilon}|=1$$

とおきます。$\operatorname{div}\boldsymbol{A}=-A_0(\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k})\sin(\cdots)=0$ は条件 $\boldsymbol{\epsilon}\cdot\boldsymbol{k}=0$ から従い、$\Box\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ は $-|\boldsymbol{k}|^2+\omega^2/c^2=0$、すなわち $\omega=c|\boldsymbol{k}|$ を要求します。場を計算します。

$$\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}=-A_0\omega\,\boldsymbol{\epsilon}\sin(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t),$$$$\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=-A_0\sin(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t)\,\boldsymbol{k}\times\boldsymbol{\epsilon}.$$

（2 番目は $\operatorname{rot}(f\boldsymbol{\epsilon})=(\operatorname{grad}f)\times\boldsymbol{\epsilon}$ と $\operatorname{grad}\cos(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}-\omega t)=-\boldsymbol{k}\sin(\cdots)$ から出ます。）大きさの比は

$$\frac{|\boldsymbol{E}|}{|\boldsymbol{B}|}=\frac{A_0\omega}{A_0|\boldsymbol{k}|}=\frac{\omega}{|\boldsymbol{k}|}=c$$

で、$\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\boldsymbol{k}$ も見て取れます。マクスウェル方程式と電磁波で場から直接導いた性質が、ポテンシャルからは 1 つのベクトル $\boldsymbol{\epsilon}$ の選び方（偏光）として整理されました。$\boldsymbol{\epsilon}$ は $\boldsymbol{k}$ に直交する 2 次元平面の中で選べるので、独立な偏光は 2 種類。Remark 5.4 の数え上げと一致します。

6. 相対論への入り口：4 元ポテンシャル

ここまで $\varphi$ と $\boldsymbol{A}$ を別々の量として扱ってきましたが、両者は 1 つの対象の成分です。特殊相対論の記法を最小限だけ導入して、それを見ます。計量は $\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、座標は $x^\mu=(ct,\boldsymbol{x})$、微分は $\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu=(c^{-1}\partial_t,\nabla)$ とします。

Definition 6.1（4 元ポテンシャルと 4 元電流）

$$A^\mu=\Bigl(\frac{\varphi}{c},\ \boldsymbol{A}\Bigr),\qquad J^\mu=(c\rho,\ \boldsymbol{j})$$

をそれぞれ4 元ポテンシャル、4 元電流密度という。また

$$F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$$

を電磁場テンソルという。

Theorem 6.2（マクスウェル方程式の共変形）

Definition 6.1 の記法のもとで、次が成り立つ。

1. 斉次マクスウェル方程式は $F^{\mu\nu}$ の定義から恒等的に従う。実際、$\partial^\lambda F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\lambda}+\partial^\nu F^{\lambda\mu}=0$ が $A^\mu$ の $C^2$ 級性のみから成り立つ。
2. ゲージ変換は $A^\mu\to A^\mu-\partial^\mu\chi$ と書け、$F^{\mu\nu}$ を変えない。
3. ローレンツゲージ条件は $\partial_\mu A^\mu=0$ と書ける。
4. ローレンツゲージのもとで非斉次マクスウェル方程式は $\partial_\mu\partial^\mu A^\nu=\mu_0 J^\nu$ となる。ここで $\partial_\mu\partial^\mu=c^{-2}\partial_t^2-\nabla^2=-\Box$ である。

Proof（Theorem 6.2）

1. $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ を巡回和に代入すると、$\partial^\lambda\partial^\mu A^\nu$ の形の項が 6 個現れ、偏微分の順序交換（シュワルツの定理）により符号違いで 2 個ずつ打ち消し合います。これは第 2 節で見た $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$、$\operatorname{rot}\operatorname{grad}=\boldsymbol{0}$ を 4 次元でまとめた形です。

2. $\partial^\mu=(c^{-1}\partial_t,-\nabla)$ なので $\partial^\mu\chi=(c^{-1}\partial_t\chi,\,-\operatorname{grad}\chi)$ です。よって

$$A^\mu-\partial^\mu\chi=\Bigl(\frac{\varphi}{c}-\frac{1}{c}\frac{\partial\chi}{\partial t},\ \boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi\Bigr) =\Bigl(\frac{\varphi'}{c},\ \boldsymbol{A}'\Bigr)$$

となり、Definition 4.1 のゲージ変換に一致します。$F^{\mu\nu}$ の変化分は $-(\partial^\mu\partial^\nu-\partial^\nu\partial^\mu)\chi=0$ です。

3. $\partial_\mu A^\mu=\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{\varphi}{c}\Bigr)+\operatorname{div}\boldsymbol{A}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}\boldsymbol{A}$ で、Definition 5.1 と同じです。

4. $\nu=0$ 成分を確かめます。Corollary 5.3 の $\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$ を $c$ で割ると $\Box(\varphi/c)=-\rho/(c\varepsilon_0)$。$\partial_\mu\partial^\mu=-\Box$ なので $\partial_\mu\partial^\mu A^0=\rho/(c\varepsilon_0)$。ここで $c^2=1/(\varepsilon_0\mu_0)$ より $1/(c\varepsilon_0)=\mu_0 c$ なので、右辺は $\mu_0 c\rho=\mu_0J^0$ です。空間成分は $\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$ をそのまま書き換えて $\partial_\mu\partial^\mu\boldsymbol{A}=\mu_0\boldsymbol{j}$ です。

∎

Remark 6.3

Theorem 6.2 の 3 が本質的です。$\partial_\mu A^\mu$ はローレンツ変換に対するスカラーなので、ある慣性系でローレンツゲージ条件が成り立てば、すべての慣性系で成り立ちます。これに対しクーロンゲージ条件 $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ は $\partial_\mu A^\mu$ の一部分だけを取り出した形で、慣性系を 1 つ選ばないと書けません。相対論的な計算でローレンツゲージが好まれる理由がこれです。

さらに、$F^{\mu\nu}$ の成分に $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ が混ざって入っていることから、慣性系を変えると電場と磁場が互いに移り変わることが読み取れます。「電場と磁場は別の現象である」という素朴な描像は、相対論の水準では成り立ちません。この点は特殊相対論の記事に譲ります。

7. 演習

Exercise 7.1易

一様磁場 $\boldsymbol{B}=B\boldsymbol{e}_z$（$B$ は定数）について、次に答えてください。

(1) $\boldsymbol{A}_1=\frac{1}{2}\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{x}$ が $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_1=\boldsymbol{B}$ を満たすことを、成分計算で確かめてください。

(2) $\boldsymbol{A}_2=(-By,\,0,\,0)$ も同じ磁場を与えることを確かめ、$\boldsymbol{A}_2=\boldsymbol{A}_1+\operatorname{grad}\chi$ となるゲージ関数 $\chi$ を 1 つ求めてください。

Solution

(1) $\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{e}_z\times(x,y,z)$ を計算します。$\boldsymbol{e}_z\times(x,y,z)=(-y,x,0)$ なので $\boldsymbol{A}_1=\frac{B}{2}(-y,x,0)$。回転の各成分は

$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_1)_x=\partial_yA_{1z}-\partial_zA_{1y}=0-0=0,\quad (\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_1)_y=\partial_zA_{1x}-\partial_xA_{1z}=0-0=0,$$$$(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_1)_z=\partial_xA_{1y}-\partial_yA_{1x}=\frac{B}{2}-\Bigl(-\frac{B}{2}\Bigr)=B .$$

よって $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_1=B\boldsymbol{e}_z=\boldsymbol{B}$ です。

(2) $\boldsymbol{A}_2=(-By,0,0)$ について $(\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_2)_z=\partial_x\cdot0-\partial_y(-By)=B$、他の成分は $0$ なので $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}_2=\boldsymbol{B}$ です。差を取ると

$$\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1=\Bigl(-By+\frac{By}{2},\ -\frac{Bx}{2},\ 0\Bigr)=\Bigl(-\frac{By}{2},\ -\frac{Bx}{2},\ 0\Bigr).$$

$\chi=-\frac{B}{2}xy$ とおけば $\operatorname{grad}\chi=\bigl(-\frac{By}{2},-\frac{Bx}{2},0\bigr)$ となり、これが求めるゲージ関数です。$\chi$ に $\boldsymbol{x}$ に依らない任意の関数を足しても構いません。

Exercise 7.2標準

任意の電磁ポテンシャルが $\varphi\equiv0$ となるようにゲージ変換できることを示し（Example 4.4 の復習）、その条件 $\varphi=0$ を保つゲージ変換をすべて決定してください。

Solution

$\chi(\boldsymbol{x},t)=\int_{t_0}^{t}\varphi(\boldsymbol{x},t')\,dt'$ とおくと、被積分関数が $t'$ について連続なら微分積分学の基本定理により $\partial_t\chi(\boldsymbol{x},t)=\varphi(\boldsymbol{x},t)$ です。よってゲージ変換後は $\varphi'=\varphi-\partial_t\chi=0$ となります。

残留自由度を求めます。$\varphi'=0$ からさらにゲージ関数 $\psi$ で変換して $\varphi''=\varphi'-\partial_t\psi=-\partial_t\psi$。これが $0$ に等しい条件は $\partial_t\psi=0$、すなわち $\psi$ が時間に依らないことです。したがって $\varphi\equiv0$ を保つゲージ変換は

$$\boldsymbol{A}\to\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\psi(\boldsymbol{x}),\qquad \psi \text{ は } t \text{ に依らない}$$

に限られます。時間ゲージを課してもなお、時間に依らないゲージ関数 1 つ分の自由度が残ることになります。

Exercise 7.3標準

ローレンツゲージにおける波動方程式 Corollary 5.3 から、電荷保存則

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\boldsymbol{j}=0$$

が従うことを示してください。（ヒント：ゲージ条件の左辺に $\Box$ を作用させます。）

Solution

$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}$ の両辺の発散を取ります。$\Box$ は定数係数の微分作用素なので $\operatorname{div}$ と交換し、

$$\Box(\operatorname{div}\boldsymbol{A})=-\mu_0\operatorname{div}\boldsymbol{j}.$$

また $\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$ の両辺を $t$ で微分し $c^{-2}$ を掛けると

$$\Box\Bigl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\frac{1}{c^2\varepsilon_0}\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\mu_0\frac{\partial\rho}{\partial t}$$

（最後の等号で $c^2=1/(\varepsilon_0\mu_0)$、すなわち $1/(c^2\varepsilon_0)=\mu_0$ を使いました）。両者を足すと

$$\Box\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}\Bigr)=-\mu_0\Bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr).$$

左辺の括弧はローレンツゲージ条件 Definition 5.1 によりゼロなので、左辺は $0$ です。$\mu_0\neq0$ より $\operatorname{div}\boldsymbol{j}+\partial_t\rho=0$ が得られます。

電荷が保存しない状況ではローレンツゲージの波動方程式が矛盾する、ということでもあります。ゲージ不変性と電荷保存則が表裏の関係にあることの、初等的な現れです。

Exercise 7.4難

Example 3.5 のソレノイド外部領域 $\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2>a^2\}$ を考えます。

(1) $\Omega$ 上で $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{0}$、したがって $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ であるにもかかわらず、$\boldsymbol{A}$ をゲージ変換で恒等的に $\boldsymbol{0}$ にはできないことを示してください。

(2) $\Omega$ の点 1 つを固定し、そこを含む十分小さい球体 $U\subset\Omega$ に制限すれば、$U$ 上では $\boldsymbol{A}$ をゲージ変換で $\boldsymbol{0}$ にできることを示してください。(1) と矛盾しない理由を述べてください。

Solution

(1) 背理法で示します。ゲージ関数 $\chi$ があって $\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0}$、すなわち $\boldsymbol{A}=-\operatorname{grad}\chi$ が $\Omega$ 全体で成り立ったとします。$\chi$ は $\Omega$ 上で定義された 1 価の $C^2$ 級関数です。半径 $r>a$ の円 $C$（$z=$ 一定、中心は $z$ 軸上）に沿って線積分すると、勾配場の閉曲線に沿う積分は始点と終点が同じなので

$$\oint_C\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=-\oint_C\operatorname{grad}\chi\cdot d\boldsymbol{l}=-\bigl[\chi\bigr]_{\text{始点}}^{\text{終点}}=0 .$$

ところが Example 3.5 の計算から

$$\oint_C\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l}=2\pi r\cdot\frac{\Phi}{2\pi r}=\Phi=\pi a^2B\neq0$$

（$B\neq0$ のとき）。矛盾です。したがってそのような $\chi$ は存在しません。

(2) $U$ は球体なので星形です。$U$ 上で $\operatorname{rot}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{0}$ ですから、Lemma 2.1 により $U$ 上で $\boldsymbol{A}=\operatorname{grad}f$ となる $f$ が存在します。$\chi=-f$ とすれば $U$ 上で $\boldsymbol{A}+\operatorname{grad}\chi=\boldsymbol{0}$ です。

矛盾しない理由は、(2) で得た $\chi$ が局所的にしか定義されていないことです。$\Omega$ を球体で覆って各所で $\chi$ を作っても、$z$ 軸のまわりを 1 周する間に値が $\Phi$ だけずれてしまい、$\Omega$ 全体で 1 価な関数として貼り合わせられません。「回転がゼロなら勾配」という主張は局所的には常に正しく、大域的には領域の位相（ここでは縮められないループの存在）に依存する、というのがポアンカレの補題の正確な内容です。物理的には、$\boldsymbol{A}$ の周回積分すなわち磁束が、外部領域だけを見ていても消せない情報として残ります。

参考文献

• 砂川重信『理論電磁気学（第 3 版）』紀伊國屋書店、1999 — 電磁ポテンシャルとゲージ変換、遅延ポテンシャルを扱う章。
• 太田浩一『マクスウェル理論の基礎 ― 相対論と電磁気学』東京大学出版会、2002 — ポテンシャルの導入と 4 元形式の関係を丁寧に扱っています。
• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley, 1999 — 第 6 章（ゲージ変換、ローレンツゲージとクーロンゲージ、横成分電流）、第 11 章（特殊相対論と共変形式）。
• L. D. ランダウ・E. M. リフシッツ『場の古典論（原書第 6 版）』東京図書 — 第 3 章「場の中の電荷」。4 元ポテンシャルとゲージ不変性を出発点に据えた構成です。
• J. D. Jackson and L. B. Okun, “Historical roots of gauge invariance”, Reviews of Modern Physics 73 (2001), 663–680. DOI: 10.1103/RevModPhys.73.663 — ローレンツゲージの命名を含むゲージ不変性の歴史。
• Y. Aharonov and D. Bohm, “Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory”, Physical Review 115 (1959), 485–491. DOI: 10.1103/PhysRev.115.485
• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 15 “The Vector Potential” — オンライン版

Appendix: クーロンゲージでベクトルポテンシャルが従う方程式

横成分と縦成分への分解。 クーロンゲージで $\varphi$ が瞬間的に決まってしまう（Proposition 5.6）のに、なぜ因果性が壊れないのか。その仕組みを見ておきます。全空間で十分速く減衰する電流密度 $\boldsymbol{j}$ は、ヘルムホルツ分解により

$$\boldsymbol{j}=\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}},\qquad \operatorname{rot}\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}=\boldsymbol{0},\quad \operatorname{div}\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}}=0$$

と一意に分けられます。$\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}$ を縦成分、$\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}}$ を横成分といいます。Lemma 2.1 により $\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}=\operatorname{grad}\psi$ と書け、両辺の発散を取ると $\nabla^2\psi=\operatorname{div}\boldsymbol{j}$ です。無限遠で減衰する解は

$$\psi(\boldsymbol{x},t)=-\frac{1}{4\pi}\int\frac{(\operatorname{div}'\boldsymbol{j})(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\,d^3x'$$

です（$\nabla^2\bigl(-\frac{1}{4\pi|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}\bigr)=\delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}')$ を使いました）。

$\varphi$ の時間変化がちょうど縦成分を作る。 Proposition 5.6 のクーロン積分を $t$ で微分し、電荷保存則 $\partial_t\rho=-\operatorname{div}\boldsymbol{j}$ を代入すると

$$\varepsilon_0\frac{\partial\varphi}{\partial t} =\frac{1}{4\pi}\int\frac{\partial_t\rho(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' =-\frac{1}{4\pi}\int\frac{(\operatorname{div}'\boldsymbol{j})(\boldsymbol{x}',t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}'|}d^3x' =\psi(\boldsymbol{x},t).$$

したがって $\varepsilon_0\operatorname{grad}\partial_t\varphi=\operatorname{grad}\psi=\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}}$ です。

結論。 §5.1 で得た一般の $\boldsymbol{A}$ の方程式 $\Box\boldsymbol{A}-\operatorname{grad}\bigl(\operatorname{div}\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi\bigr)=-\mu_0\boldsymbol{j}$ に $\operatorname{div}\boldsymbol{A}=0$ を代入し、$c^{-2}=\varepsilon_0\mu_0$ を使うと

$$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{j}+\mu_0\varepsilon_0\operatorname{grad}\frac{\partial\varphi}{\partial t} =-\mu_0\boldsymbol{j}+\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{L}} =-\mu_0\boldsymbol{j}_{\mathrm{T}} .$$

つまりクーロンゲージでは、$\boldsymbol{A}$ は電流の横成分だけを源とする波動方程式に従います。$\varphi$ の瞬間的な部分は $\boldsymbol{A}$ の方程式から縦成分を差し引く形で正確に相殺されており、両者を組み合わせて作る $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ は光速でしか伝わりません。ゲージに依存する量が非因果的に見えても、ゲージ不変な量が因果的であればよい。Theorem 4.3 が保証する「物理はゲージ軌道の上でだけ定義される」という見方が、ここで具体的に働いています。