ボールウェイン積分：π/2 が 7 回続いて 8 回目に崩れる理由

0. この記事の要点

• $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$（ディリクレ積分）は絶対収束しない広義積分で、値はパラメータ付き積分と一様収束を使って求まります。
• $\operatorname{sinc}(a x) = \dfrac{\sin(ax)}{ax}$ は「幅 $2a$ の箱型関数のフーリエ変換」です。したがって sinc の積は箱型関数の畳み込みに対応します。
• 畳み込みは確率の言葉で書けます。$X_k$ を区間 $[-a_k, a_k]$ 上の一様分布とすると $\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \frac{\pi}{2a_0}\Pr\!\left(\left|\sum_{k=1}^{n} X_k\right| \le a_0\right).$
• この式から、値が $\pi/(2a_0)$ に等しくなるための必要十分条件は $a_1 + \cdots + a_n \le a_0$ だと分かります。$a_k = 1/(2k+1)$ のとき、この条件は $\frac13+\frac15+\cdots+\frac1{15} = 1.0218\ldots > 1$ で初めて破れます。だから 7 回続いて 8 回目に崩れます。
• 崩れ方は「はみ出した単体の体積」で正確に測れて、8 番目の積分は $\pi/2$ より $2.31 \times 10^{-11}$ だけ小さくなります。偶然でも計算誤差でもありません。

1. 動機：7 回続いた等式が 8 回目に崩れる

次の積分列を考えます。奇数 $1, 3, 5, \ldots$ で $x$ を割った sinc 関数を、順に掛け足していったものです。

$$\begin{aligned} I_0 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx, \\ I_1 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/3)}{x/3}\,dx, \\ I_2 &= \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdot\frac{\sin(x/5)}{x/5}\,dx, \\ &\ \ \vdots \\ I_n &= \int_0^\infty \prod_{k=0}^{n} \frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx. \end{aligned}$$

数値計算をすると、次の表が得られます。最後の列は小数第 10 位まで書いたものです。

$n$	最後に掛けた因子	$I_n$ の値
$0$	—	$1.5707963268 = \pi/2$
$1$	$\sin(x/3)\,/\,(x/3)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$2$	$\sin(x/5)\,/\,(x/5)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$3$	$\sin(x/7)\,/\,(x/7)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$4$	$\sin(x/9)\,/\,(x/9)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$5$	$\sin(x/11)\,/\,(x/11)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$6$	$\sin(x/13)\,/\,(x/13)$	$1.5707963268 = \pi/2$
$7$	$\sin(x/15)\,/\,(x/15)$	$1.5707963268 \ne \pi/2$

最後の行だけ「$\ne$」と書きました。小数第 10 位までは $\pi/2$ と一致していますが、実際には

$$I_7 = 1.5707963267717960\ldots, \qquad \frac{\pi}{2} = 1.5707963267948966\ldots$$

で、$I_7$ は $\pi/2$ よりおよそ $2.31\times 10^{-11}$ だけ小さいのです。

この差は倍精度浮動小数点数の有効桁（10 進で 16 桁程度）の内側にありますから、原理的には計算機で見えます。にもかかわらず見落とされやすいのは、被積分関数の性質のせいです。$\prod_{k}\sin(x/(2k+1))\big/\prod_k (x/(2k+1))$ は $x$ が大きいところで $|x|^{-8}$ 程度でしか減衰せず、しかも符号を細かく振動させながら $x = \infty$ まで効きます。台形則やシンプソン則で区間 $[0, X]$ を刻んで足し上げると、打ち切り誤差と丸め誤差がすぐに $10^{-11}$ を超えてしまうのです。振動積分に適した方法（周期ごとに区切って交項級数として加速する、あるいは多倍長で計算する）を使って初めて、この差ははっきり見えます。

この現象は D. ボールウェインと J. M. ボールウェインが 2001 年に発表した論文で詳しく調べられ、現在はボールウェイン積分と呼ばれています。単なる数値の偶然ではありません。「なぜ 7 回まで持ちこたえるのか」「なぜ 8 回目で崩れるのか」「崩れ幅がなぜ $2.31\times10^{-11}$ なのか」のすべてに、きれいな理由があります。

この記事のゴールは、その理由を完全に説明することです。道具は 2 つだけです。ひとつは $I_0 = \pi/2$ というディリクレ積分、もうひとつは「積のフーリエ変換は畳み込み」という関係です。後者を確率の言葉に翻訳すると、崩れる条件が一行で書けてしまいます。

Note

数式処理システムでこの積分列を計算すると、多くの環境で $n \le 6$ までは厳密に $\pi/2$ が返り、$n = 7$ で初めて $\pi/2$ でない値が返ります。以下で示すとおり、$I_7$ は具体的な有理数と $\pi$ の積として厳密に書けます。

2. 準備：sinc 関数と条件収束

Definition 2.1（sinc 関数）

実数 $a > 0$ に対し、関数 $\operatorname{sinc}_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を

$$\operatorname{sinc}_a(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(a x)}{a x} & (x \ne 0), \\[2mm] 1 & (x = 0)\end{cases}$$

で定めます。$a = 1$ のときは単に $\operatorname{sinc}(x) = \sin x / x$ と書きます。

$x \to 0$ で $\sin(ax)/(ax) \to 1$ ですから、$\operatorname{sinc}_a$ は $\mathbb{R}$ 全体で連続です。実際、$\sin$ のテイラー展開（sin x のマクローリン展開（Example 6.2）［Mean Value Theorems and Taylor's Theorem］）から $\dfrac{\sin(ax)}{ax} = 1 - \dfrac{(ax)^2}{6} + \dfrac{(ax)^4}{120} - \cdots$ となり、右辺は $\mathbb{R}$ 全体で収束する冪級数なので $\operatorname{sinc}_a$ は $C^\infty$ 級でもあります。また $\operatorname{sinc}_a$ は偶関数です。

$\operatorname{sinc}_a$ を無限区間で積分するとき、まず気をつけるべきなのは「どういう意味で積分するのか」です。

Proposition 2.2（条件収束）

広義積分 $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \lim_{R \to \infty}\int_0^R \frac{\sin x}{x}\,dx$ は収束します。しかし

$$\int_0^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = +\infty$$

であり、絶対収束はしません。さらに、任意の $1 \le R < R'$ に対して

$$\left|\int_R^{R'} \frac{\sin x}{x}\,dx\right| \le \frac{3}{R}$$

が成り立ちます。

Proof（Proposition 2.2）

（1）収束と評価。 $1 \le R < R'$ とします。$u(x) = 1/x$、$v(x) = -\cos x$ として部分積分します（部分積分と微積分の基本定理については 積分の基本定理と定積分、とくに 部分積分の公式（Theorem 6.2）［積分の基本定理と定積分］ を参照）。

$$\int_R^{R'} \frac{\sin x}{x}\,dx = \left[\frac{-\cos x}{x}\right]_R^{R'} - \int_R^{R'} \frac{\cos x}{x^2}\,dx = \frac{\cos R}{R} - \frac{\cos R'}{R'} - \int_R^{R'}\frac{\cos x}{x^2}\,dx .$$

$|\cos| \le 1$ なので第 1 項と第 2 項の絶対値はそれぞれ $1/R$、$1/R'$ 以下です。第 3 項は

$$\left|\int_R^{R'}\frac{\cos x}{x^2}\,dx\right| \le \int_R^{R'}\frac{dx}{x^2} = \frac1R - \frac1{R'} \le \frac1R .$$

$1/R' \le 1/R$ なので、合わせて $3/R$ 以下です。これが主張の評価です。

$R \to \infty$ で右辺は $0$ に行きますから、コーシーの判定条件（$\varepsilon > 0$ に対し $R_0 = \max(1,\,4/\varepsilon)$ を取れば $R_0 \le R < R'$ で差が $\varepsilon$ 未満）により $\lim_{R\to\infty}\int_0^R$ は存在します。なお $[0,1]$ 上では被積分関数は連続なので、そこでの積分は有限確定です。

（2）絶対発散。 $k \ge 1$ とし、区間 $[k\pi, (k+1)\pi]$ で評価します。この区間では $x \le (k+1)\pi$ なので $\dfrac{|\sin x|}{x} \ge \dfrac{|\sin x|}{(k+1)\pi}$ であり、

$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|\,dx = \frac{2}{(k+1)\pi}$$

となります（$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|\,dx = \int_0^\pi \sin x\,dx = 2$）。したがって

$$\int_\pi^{(N+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k+1}$$

となり、右辺は調和級数の部分和なので $N \to \infty$ で $+\infty$ に発散します（級数と収束判定 の 調和級数は発散する（Example 3.5）［級数と収束判定］ を参照）。

∎

Remark 2.3

Proposition 2.2 の後半は、$\sin x / x$ が $(0,\infty)$ 上でルベーグ可積分ではないことを意味します。以下では $\int_0^\infty$ や $\int_{-\infty}^{\infty}$ を、常に対称な広義リーマン積分

$$\int_{-\infty}^{\infty} f = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} f$$

の意味で使います。因子を 2 個以上掛けた $I_1, I_2, \ldots$ では被積分関数が $|x|^{-2}$ 以下で減衰するので絶対収束し、この区別は不要になります。区別が必要なのは $I_0$ と、後で使う「因子 1 個の積分」だけです。

3. ディリクレ積分

出発点となる等式を証明します。値そのものだけでなく、パラメータ $t$ を含む形まで示しておきます。後の議論で使うのはそちらです。

証明の鍵は、パラメータ $s$ を含む広義積分

$$F(s) = \int_0^\infty e^{-sx}\,\frac{\sin x}{x}\,dx \qquad (s \ge 0)$$

が $s \ge 0$ で一様収束することです。一様収束していれば、極限関数 $F$ が連続になり、$s \to 0^{+}$ の極限と $s = 0$ での値を結びつけられます。

Lemma 3.1（パラメータ付き広義積分の一様収束）

$s \ge 0$ とし、$F_R(s) = \displaystyle\int_0^R e^{-sx}\frac{\sin x}{x}\,dx$ と置きます。このとき任意の $1 \le R < R'$ と任意の $s \ge 0$ に対して

$$\left|F_{R'}(s) - F_R(s)\right| \le \frac{3}{R}$$

が成り立ちます。したがって $F_R$ は $R \to \infty$ で $[0,\infty)$ 上一様収束し、極限 $F$ は $[0,\infty)$ 上連続です。

Proof（Lemma 3.1）

$g(x) = \dfrac{e^{-sx}}{x}$ と置き、$1 \le R < R'$ 上で部分積分します（$v(x) = -\cos x$）。

$$\int_R^{R'} g(x)\sin x\,dx = \bigl[-g(x)\cos x\bigr]_R^{R'} + \int_R^{R'} g'(x)\cos x\,dx .$$

境界項は $|g(R)| + |g(R')| = \dfrac{e^{-sR}}{R} + \dfrac{e^{-sR'}}{R'} \le \dfrac1R + \dfrac1R = \dfrac2R$ 以下です（$s \ge 0$ より $e^{-sx}\le 1$、および $R' > R \ge 1$）。

積分項については

$$g'(x) = -e^{-sx}\left(\frac{s}{x} + \frac{1}{x^2}\right)$$

であり、$x > 0$、$s \ge 0$ のとき $g'(x) \le 0$ で符号が一定です。よって

$$\int_R^{R'}|g'(x)|\,dx = -\int_R^{R'} g'(x)\,dx = g(R) - g(R') = \frac{e^{-sR}}{R} - \frac{e^{-sR'}}{R'} \le \frac{1}{R},$$

したがって $\left|\int_R^{R'} g'(x)\cos x\,dx\right| \le 1/R$ です。合わせて $|F_{R'}(s) - F_R(s)| \le 3/R$ となり、この上界は $s$ に依りません。

これは一様コーシー条件そのものなので、$F_R$ は $[0,\infty)$ 上一様収束します。各 $F_R$ は $s$ の関数として連続です（有限区間 $[0,R]$ 上の積分で、被積分関数 $e^{-sx}\sin x / x$ は $(s,x)$ について連続、$[0,R]$ はコンパクトなので（有界閉区間上の連続関数は一様連続（Remark 6.3）［Limits and Continuity］）$s$ について一様連続性から極限が入れ替わります）。連続関数列の一様極限は連続なので（極限と連続性 (ε-δ論法) を参照）、$F$ は $[0,\infty)$ 上連続です。

∎

Theorem 3.2（ディリクレ積分）

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}.$$

Proof（Theorem 3.2）

Lemma 3.1 の $F$ を使います。示すべきは $F(0) = \pi/2$ です。

（1）$s > 0$ での微分。 $s_0 > 0$ を任意に固定し、$s \ge s_0$ の範囲を考えます。被積分関数を $s$ で偏微分すると

$$\frac{\partial}{\partial s}\left(e^{-sx}\frac{\sin x}{x}\right) = -e^{-sx}\sin x, \qquad \left|-e^{-sx}\sin x\right| \le e^{-s_0 x}$$

であり、$\int_0^\infty e^{-s_0x}dx = 1/s_0 < \infty$ です。優関数が $s$ に依らず可積分なので、積分記号下での微分が正当化され、$s \ge s_0$ で

$$F'(s) = -\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,dx .$$

$s_0 > 0$ は任意だったので、これは $s > 0$ のすべてで成り立ちます。

（2）右辺の計算。 $I = \int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,dx$、$J = \int_0^\infty e^{-sx}\cos x\,dx$ と置きます（$s>0$ なのでどちらも絶対収束）。部分積分して

$$I = \left[-\frac{e^{-sx}}{s}\sin x\right]_0^\infty + \frac1s\int_0^\infty e^{-sx}\cos x\,dx = \frac{J}{s},$$$$J = \left[-\frac{e^{-sx}}{s}\cos x\right]_0^\infty - \frac1s\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,dx = \frac1s - \frac{I}{s} .$$

第 1 式に第 2 式を代入すると $I = \dfrac{1}{s^2} - \dfrac{I}{s^2}$、すなわち $I\left(1 + \dfrac{1}{s^2}\right) = \dfrac{1}{s^2}$ となり

$$\int_0^\infty e^{-sx}\sin x\,dx = \frac{1}{1+s^2}, \qquad\text{よって}\qquad F'(s) = -\frac{1}{1+s^2}\quad (s>0).$$

（3）積分定数の決定。 （2）より $F(s) = C - \arctan s$（$s > 0$、$C$ は定数）です。一方 $|\sin x / x| \le 1$ から

$$|F(s)| \le \int_0^\infty e^{-sx}\,dx = \frac1s \xrightarrow[s\to\infty]{} 0$$

であり、$\arctan s \to \pi/2$ なので $C = \pi/2$ です。したがって

$$F(s) = \frac{\pi}{2} - \arctan s \qquad (s > 0).$$

（4）$s \to 0^{+}$。 Lemma 3.1 より $F$ は $s = 0$ で連続なので

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = F(0) = \lim_{s\to 0^{+}} F(s) = \frac{\pi}{2} - \arctan 0 = \frac{\pi}{2}.$$

ここで一様収束が本質的でした。$s > 0$ ごとの計算だけでは $s = 0$ での値は分かりません。

∎

Corollary 3.3（符号付きディリクレ積分）

任意の実数 $c$ に対して

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(c x)}{x}\,dx = \pi\,\mathrm{sgn}(c) = \begin{cases} \ \ \pi & (c > 0), \\ \ \ 0 & (c = 0), \\ -\pi & (c < 0). \end{cases}$$

Proof（Corollary 3.3）

被積分関数 $\sin(cx)/x$ は偶関数なので $\int_{-\infty}^{\infty} = 2\int_0^\infty$ です。$c = 0$ なら被積分関数は恒等的に $0$ で、値は $0$ です。$c > 0$ なら $u = cx$ と置換して（置換積分（Theorem 6.1）［積分の基本定理と定積分］）

$$\int_0^\infty \frac{\sin(cx)}{x}\,dx = \int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\,du = \frac{\pi}{2}$$

（Theorem 3.2）。よって $\int_{-\infty}^{\infty} = \pi$ です。$c < 0$ なら $\sin(cx) = -\sin(|c|x)$ より符号が反転し $-\pi$ になります。

∎

Example 3.4（最初のボールウェイン積分）

Theorem 3.2 はそのまま $I_0 = \pi/2$ を与えます。つまり表の第 1 行は証明済みです。問題は「因子を掛けても $\pi/2$ のままなのはなぜか」です。試しに 2 個の場合を、後で作る道具を使わずに直接計算してみます。$a > 0$ に対し

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin(ax)}{ax}\,dx$$

で $0 < a \le 1$ とします。積和の公式 $\sin x \sin(ax) = \frac12\bigl[\cos((1-a)x) - \cos((1+a)x)\bigr]$ を使うと被積分関数は $\dfrac{\cos((1-a)x)-\cos((1+a)x)}{2ax^2}$ となります。ここで $\cos$ の差を積分するために、$\dfrac{1-\cos(bx)}{x^2}$ の積分を使う手もありますが、計算はやや込み入ります。次節で作る道具を使えば、この積分が $a \le 1$ のとき $\pi/2$、$a > 1$ のとき $\pi/(2a)$ になることが一瞬で分かります（Example 4.7）。

4. sinc の積を「窓と密度」に翻訳する

ここからが本題です。鍵になるのは次の観察です。

$$\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} e^{-i x t}\,dt = \frac{1}{2a}\cdot\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{ix} = \frac{\sin(ax)}{ax} = \operatorname{sinc}_a(x).$$

つまり $\operatorname{sinc}_a$ は「区間 $[-a,a]$ 上の一様な密度」のフーリエ変換です。フーリエ変換は積を畳み込みに移すので、$\operatorname{sinc}$ の積は一様密度の畳み込みに対応するはずです。以下ではこの筋書きを、フーリエ反転定理を持ち出さずに、Corollary 3.3 と積和の公式だけで直接証明します。

Definition 4.1（一様密度と畳み込み）

$a > 0$ に対して

$$h_a(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{2a} & (|t| \le a), \\[1mm] 0 & (|t| > a)\end{cases}$$

と定めます。これは区間 $[-a,a]$ 上の一様分布の確率密度で、$\int_{\mathbb{R}} h_a = 1$ です。有界可測かつ可積分な $f, g$ に対して畳み込みを

$$(f * g)(t) = \int_{\mathbb{R}} f(t-u)\,g(u)\,du$$

で定めます。特に $g = h_a$ のときは

$$(f * h_a)(t) = \frac{1}{2a}\int_{t-a}^{t+a} f(u)\,du$$

であり、これは「$f$ を幅 $2a$ の窓で移動平均する」操作です。

Definition 4.2（パラメータを含む積分）

$a_0, a_1, \ldots, a_n > 0$ を固定し、$n \ge 0$ と $t \in \mathbb{R}$ に対して

$$\Psi_n(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\left(\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\right)\cos(tx)\,dx$$

と定めます（$n = 0$ のときは Remark 2.3 の意味の対称広義積分、$n \ge 1$ のときは絶対収束します）。$\cos$ が偶関数なので $\Psi_n$ も偶関数です。

$\Psi_n(0)$ が求めたい積分の $2$ 倍であることに注意してください。被積分関数は偶関数なので

$$\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\,dx = \frac{1}{2}\Psi_n(0).$$

Lemma 4.3（出発点：因子が 1 個のときは箱型関数）

$$\Psi_0(t) = \begin{cases} \dfrac{\pi}{a_0} & (|t| < a_0), \\[2mm] \dfrac{\pi}{2a_0} & (|t| = a_0), \\[2mm] 0 & (|t| > a_0). \end{cases}$$

すなわち $|t| \ne a_0$ では $\Psi_0(t) = 2\pi\,h_{a_0}(t)$ です。

Proof（Lemma 4.3）

積和の公式 $\sin(a_0x)\cos(tx) = \frac12\bigl[\sin((a_0+t)x) + \sin((a_0-t)x)\bigr]$ を使うと

$$\operatorname{sinc}_{a_0}(x)\cos(tx) = \frac{1}{2a_0}\left[\frac{\sin((a_0+t)x)}{x} + \frac{\sin((a_0-t)x)}{x}\right].$$

両辺を $\int_{-R}^{R}$ してから $R \to \infty$ とすると、右辺の各項は Corollary 3.3 で計算できて

$$\Psi_0(t) = \frac{1}{2a_0}\Bigl[\pi\,\mathrm{sgn}(a_0+t) + \pi\,\mathrm{sgn}(a_0-t)\Bigr].$$

あとは場合分けです。$|t| < a_0$ なら $a_0 + t > 0$ かつ $a_0 - t > 0$ なので括弧の中は $2\pi$、よって $\Psi_0(t) = \pi/a_0$。$t > a_0$ なら $a_0 + t > 0$、$a_0 - t < 0$ なので $\pi - \pi = 0$。$t < -a_0$ なら $-\pi + \pi = 0$。$t = a_0$ なら $\mathrm{sgn}(0) = 0$ が現れて括弧の中は $\pi$、よって $\pi/(2a_0)$。$t = -a_0$ も同様です。

∎

$|t| = a_0$ という 2 点だけ値が半分になりますが、これから $\Psi_0$ は必ず積分される（移動平均される）ので、この 2 点の値は結果に影響しません。

Theorem 4.4（因子を 1 つ増やすことは移動平均すること）

$n \ge 1$ とします。Definition 4.2 の $\Psi_n$ について

$$\Psi_n = \Psi_{n-1} * h_{a_n}, \qquad\text{すなわち}\qquad \Psi_n(t) = \frac{1}{2a_n}\int_{t-a_n}^{t+a_n} \Psi_{n-1}(u)\,du$$

がすべての $t \in \mathbb{R}$ で成り立ちます。

Proof（Theorem 4.4）

まず、$x \ne 0$ に対して

$$\frac{1}{a_n}\int_0^{a_n}\cos(sx)\,ds = \frac{1}{a_n}\cdot\frac{\sin(a_n x)}{x} = \operatorname{sinc}_{a_n}(x)$$

であり、$x = 0$ でも両辺 $1$ で一致します。これを $\Psi_n$ の被積分関数に代入し、$P(x) = \prod_{k=0}^{n-1}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)$ と略記すると

$$\left(\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\right)\cos(tx) = P(x)\cdot\frac{1}{a_n}\int_0^{a_n}\cos(sx)\cos(tx)\,ds .$$

積和の公式 $\cos(sx)\cos(tx) = \frac12\bigl[\cos((t+s)x) + \cos((t-s)x)\bigr]$ を使い、有界閉領域 $[-R,R]\times[0,a_n]$ 上で積分順序を交換します（被積分関数は連続、領域はコンパクトなので 連続関数に対するフビニの定理（Corollary 4.3）［重積分と累次積分］ が使えます。重積分と累次積分 を参照）。

$$\int_{-R}^{R}\left(\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}\right)\cos(tx)\,dx = \frac{1}{2a_n}\int_0^{a_n}\Bigl[\Phi_R(t+s) + \Phi_R(t-s)\Bigr]ds,$$

ただし

$$\Phi_R(u) = \int_{-R}^{R} P(x)\cos(ux)\,dx .$$

ここで $R \to \infty$ とします。各 $u$ について $\Phi_R(u) \to \Psi_{n-1}(u)$ です（$n-1 \ge 1$ なら絶対収束、$n-1 = 0$ なら Lemma 4.3 の議論）。さらに Appendix で示すとおり、$R$ と $u$ に依らない定数 $C$ があって $|\Phi_R(u)| \le C$ が成り立ちます。積分区間 $[0,a_n]$ は有限なので、有界収束定理（定数 $2C$ が優関数）により極限を積分の中に入れられて

$$\Psi_n(t) = \frac{1}{2a_n}\int_0^{a_n}\Bigl[\Psi_{n-1}(t+s) + \Psi_{n-1}(t-s)\Bigr]ds .$$

最後に $\Psi_{n-1}$ が偶関数であること、および変数変換 $s \mapsto -s$ を使うと

$$\int_0^{a_n}\Psi_{n-1}(t-s)\,ds = \int_{-a_n}^{0}\Psi_{n-1}(t+s)\,ds$$

なので、2 つの項を合わせて

$$\Psi_n(t) = \frac{1}{2a_n}\int_{-a_n}^{a_n}\Psi_{n-1}(t+s)\,ds = \frac{1}{2a_n}\int_{t-a_n}^{t+a_n}\Psi_{n-1}(u)\,du$$

が得られます。これは Definition 4.1 の $\Psi_{n-1} * h_{a_n}$ に他なりません。

∎

Corollary 4.5（ボールウェイン積分の確率表示）

$a_0, a_1, \ldots, a_n > 0$（$n \ge 1$）とし、$X_1, \ldots, X_n$ を独立で $X_k$ が区間 $[-a_k, a_k]$ 上の一様分布に従う確率変数、$S = X_1 + \cdots + X_n$ とします。このとき

$$\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \frac{\pi}{2a_0}\Pr\bigl(|S| \le a_0\bigr).$$

Proof（Corollary 4.5）

Lemma 4.3 より $\Psi_0 = 2\pi h_{a_0}$（2 点を除く）で、Theorem 4.4 を $n$ 回使うと

$$\Psi_n = 2\pi\, h_{a_0} * h_{a_1} * \cdots * h_{a_n} .$$

右辺を $2\pi H$ と書きます。$G = h_{a_1} * \cdots * h_{a_n}$ と置くと $H = h_{a_0} * G$ です。確率論の言葉では、独立な確率変数の和の密度は各密度の畳み込みなので、$G$ は $S = X_1 + \cdots + X_n$ の確率密度です。

$t = 0$ を代入します。Definition 4.1 より

$$H(0) = (h_{a_0} * G)(0) = \frac{1}{2a_0}\int_{-a_0}^{a_0} G(u)\,du = \frac{1}{2a_0}\Pr\bigl(|S| \le a_0\bigr).$$

一方 Definition 4.2 の直後に注意したとおり、求める積分は $\frac12\Psi_n(0) = \pi H(0)$ です。以上を合わせて主張を得ます。

∎

この系がこの記事の中心です。言葉で言い直すと、こうなります。

• $\operatorname{sinc}_{a_0}$ は「幅 $2a_0$ の窓 $[-a_0, a_0]$」を表す。
• 残りの因子 $\operatorname{sinc}_{a_1}, \ldots, \operatorname{sinc}_{a_n}$ を掛けることは、その窓を次々と移動平均でぼかすことに対応する。
• 積分の値は「ぼかした後の窓の中心の高さ」に比例する。窓の中心の高さは、ぼかしに使った質量のうち窓の中に残っている割合、つまり $\Pr(|S| \le a_0)$ である。

Remark 4.6（フーリエ変換の言葉で言い直す）

標準的なフーリエ解析の記号 $\widehat{f}(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)e^{-ixt}\,dt$ を使うと、この節でやったことは 3 行で書けます。まず節の冒頭の計算は $\widehat{h_a}(x) = \operatorname{sinc}_a(x)$ を意味します。次に「畳み込みの変換は変換の積」という基本性質から

$$\widehat{h_{a_0} * h_{a_1} * \cdots * h_{a_n}}(x) = \prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)$$

です。最後にフーリエ反転公式を $t = 0$ で使えば

$$H(0) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\widehat{H}(x)\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\,dx$$

となって Corollary 4.5 が出ます。

では、なぜ本文ではこの近道を通らなかったのでしょうか。反転公式を使うには $H$ と $\widehat{H}$ の両方が可積分であることなどを確認する必要があり、その道具立て（フーリエ解析）は微分積分学の範囲を出るからです。Theorem 4.4 の証明で使ったのは、積和の公式と Corollary 3.3、それに積分順序の交換と有界収束定理だけでした。同じ結論に、より少ない前提でたどり着けます。

flowchart TB
A["sinc の積 ∏ sin(a_k x)/(a_k x) の積分"] --> B["各因子は幅 2a_k の一様密度のフーリエ変換"]
B --> C["積は畳み込み: Ψ_n = 2π h_a0 * h_a1 * … * h_an"]
C --> D["h_a1 * … * h_an は S = X_1+…+X_n の密度"]
D --> E{"a_1+…+a_n ≤ a_0 か"}
E -->|"はい"| F["S は窓の中に必ず収まる → 値は π/(2a_0)"]
E -->|"いいえ"| G["はみ出した確率の分だけ減る → π/(2a_0) 未満"]

sinc の積の積分が確率に翻訳されるまでの流れ

次の図が、この記事全体の要約です。左は $S$ の密度が窓に収まる場合、右ははみ出す場合です。

窓 $[-a_0, a_0]$ と、和 $S = X_1+\cdots+X_n$ の密度。密度が窓に収まっている限り、積分の値は変わらない。

Example 4.7（因子 2 個の場合を計算しきる）

$n = 1$、すなわち $\displaystyle\int_0^\infty \operatorname{sinc}_{a}(x)\operatorname{sinc}_{b}(x)\,dx$ を Corollary 4.5 で計算します。$a_0 = a$、$a_1 = b$ と取ると $S = X_1$ は $[-b,b]$ 上の一様分布です。

$b \le a$ のとき、$|X_1| \le b \le a$ は確率 $1$ で成り立つので $\Pr(|S| \le a) = 1$、よって値は $\dfrac{\pi}{2a}$ です。

$b > a$ のとき、$\Pr(|X_1| \le a) = \dfrac{2a}{2b} = \dfrac{a}{b}$ なので値は $\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{a}{b} = \dfrac{\pi}{2b}$ です。

まとめると

$$\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{ax}\cdot\frac{\sin(bx)}{bx}\,dx = \frac{\pi}{2\max(a,b)} .$$

具体的に $a = 1, b = 3$ なら $\pi/6 = 0.5235987755\ldots$、$a=1, b=2$ なら $\pi/4$、$a = b = 1$ なら $\pi/2$ です。最後のケースは

$$\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}$$

という有名な等式にほかなりません。$b = a$ が「ちょうど境界」であることに注意してください。

5. ボールウェイン積分：崩れる条件と崩れ幅

Theorem 5.1（ボールウェインの定理）

$n \ge 1$ とし、$a_0, a_1, \ldots, a_n$ を正の実数、$B = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ とします。このとき

$$\int_0^\infty \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \frac{\pi}{2a_0} \quad\Longleftrightarrow\quad B \le a_0 .$$

さらに $B > a_0$ のときは、値は $\dfrac{\pi}{2a_0}$ より真に小さくなります。

Proof（Theorem 5.1）

Corollary 4.5 の記号を使います。$S = X_1 + \cdots + X_n$ の密度 $G$ の台（$G$ が $0$ でない点の閉包）を調べます。

（1）台は $[-B, B]$。 各 $X_k$ は $|X_k| \le a_k$ を満たすので $|S| \le a_1 + \cdots + a_n = B$ です。よって $G$ は $[-B,B]$ の外で $0$ です。

（2）$G$ は開区間 $(-B,B)$ 上で正。 $G$ は

$$G(u) = \frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(2a_k)}\cdot \mathrm{vol}_{n-1}\Bigl(\bigl\{\boldsymbol{x}\in \textstyle\prod_k (-a_k,a_k)\ :\ x_1+\cdots+x_n = u\bigr\}\Bigr)$$

と書けます（$n$ 次元の箱を超平面で切った断面の $(n-1)$ 次元体積）。$|u| < B$ なら、$x_k = \dfrac{u}{B}a_k$ と取れば $\sum_k x_k = u$ かつ $|x_k| < a_k$ なので断面は空でなく、しかも超平面の中で開集合を含むため断面の $(n-1)$ 次元体積は正です。$n = 1$ のときは $G = h_{a_1}$ で、$(-a_1,a_1)$ 上で正です。

（3）$B \le a_0$ の場合。 $[-B,B] \subseteq [-a_0,a_0]$ なので $\Pr(|S| \le a_0) = \Pr(|S| \le B) = 1$ です。Corollary 4.5 より値は $\dfrac{\pi}{2a_0}$ になります。

（4）$B > a_0$ の場合。 区間 $(a_0, B)$ は空でなく、（2）よりその上で $G > 0$ なので

$$\Pr(|S| > a_0) \ge \int_{a_0}^{B} G(u)\,du > 0 .$$

したがって $\Pr(|S| \le a_0) < 1$ で、値は $\dfrac{\pi}{2a_0}$ より真に小さくなります。

（3）と（4）で必要十分性が示されました。

∎

この定理は「掛ける因子の幅の合計が最初の因子の幅を超えるまでは、いくら掛けても値が変わらない」と言っています。$\operatorname{sinc}_{a_0}$ が作る窓を移動平均でぼかしていっても、ぼかしの総幅が窓の半分（片側 $a_0$）以内なら、中心の高さは削られないのです。

注意してほしいのは、この定理が「$\pi/2$ が続く」ことと「いつか崩れる」ことを同じ一つの不等式で説明している点です。よくある説明は前半だけを扱いますが、Theorem 5.1 は必要十分条件なので、$B$ が $a_0$ を超えた瞬間に必ず値が変わることまで保証します。したがって「$n$ をもっと増やせばまた $\pi/2$ に戻る」ということは起こりません。$B_n$ は単調増加なので、一度超えたら二度と戻らないからです。

Example 5.2（なぜ 7 回で止まるのか）

$a_k = \dfrac{1}{2k+1}$ の場合を Theorem 5.1 に当てはめます。$a_0 = 1$ なので、条件は

$$B_n = \frac13 + \frac15 + \cdots + \frac{1}{2n+1} \le 1$$

です。順に足していきます。

$n$	$B_n$ の厳密値	$B_n$ の近似値	$B_n \le 1$ か
$1$	$1/3$	$0.3333333$	はい
$2$	$8/15$	$0.5333333$	はい
$3$	$71/105$	$0.6761905$	はい
$4$	$248/315$	$0.7873016$	はい
$5$	$3043/3465$	$0.8782107$	はい
$6$	$43024/45045$	$0.9551338$	はい
$7$	$46027/45045$	$1.0218004$	いいえ

$n = 6$ での $B_6 = 0.9551\ldots$ は $1$ にかなり近く、そこに $1/15 = 0.0667$ を足すと $1.0218\ldots$ になって初めて $1$ を超えます。したがって $I_0, I_1, \ldots, I_6$ の 7 個はすべて $\pi/2$ で、8 個目の $I_7$ で初めて崩れます。表の第 1 行から第 7 行までが $\pi/2$、第 8 行だけ違う、という §1 の観察の理由がこれです。

超過分はわずか $B_7 - 1 = \dfrac{982}{45045} = 0.0218004\ldots$ です。「ぎりぎりはみ出した」ことが、崩れ幅が $10^{-11}$ という極小の値になる原因です。

Proposition 5.3（8 番目の積分の厳密値）

$$\int_0^\infty \prod_{k=0}^{7}\frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx = \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\,\pi$$

であり、これは

$$\frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\,\pi = 1.57079632677179604\ldots$$

に等しく、$\pi/2$ との差はおよそ $2.3100573 \times 10^{-11}$ です。

Proof（Proposition 5.3）

Corollary 4.5 より、求める値は $\dfrac{\pi}{2}\Pr(|S| \le 1)$、ただし $S = \sum_{k=1}^{7} X_k$、$X_k \sim U[-a_k, a_k]$、$a_k = 1/(2k+1)$ です。$S$ の分布は原点対称なので $\Pr(|S| \le 1) = 1 - 2\Pr(S > 1)$ であり、$\Pr(S > 1)$ を計算すれば済みます。

（1）はみ出し確率は単体の体積。 $n = 7$ とし、$y_k = a_k - x_k$ と変数変換します。$x_k \in [-a_k, a_k]$ は $y_k \in [0, 2a_k]$ に対応し、

$$\sum_{k=1}^{n} x_k > 1 \iff \sum_{k=1}^{n}(a_k - y_k) > 1 \iff \sum_{k=1}^{n} y_k < B - 1$$

となります（$B = \sum a_k$）。よって

$$\Pr(S > 1) = \frac{\mathrm{vol}\Bigl(\bigl\{\boldsymbol{y} : 0 \le y_k \le 2a_k,\ \sum_k y_k < B-1\bigr\}\Bigr)}{\prod_{k=1}^{n}(2a_k)} .$$

（2）箱の制約が効かないこと。 いま $B - 1 = \dfrac{982}{45045} = 0.02180\ldots$ であり、一方 $2\min_k a_k = \dfrac{2}{15} = 0.1333\ldots$ です。$B - 1 \le 2a_k$ がすべての $k$ で成り立つので、$y_k \ge 0$ かつ $\sum y_k < B-1$ という条件からすでに $y_k < B - 1 \le 2a_k$ が従い、上限の制約 $y_k \le 2a_k$ は自動的に満たされます。したがって積分領域は単体 $\{\boldsymbol{y} \ge 0,\ \sum y_k < B-1\}$ そのもので、その体積は $\dfrac{(B-1)^n}{n!}$ です。

（3）代入。 $\prod_{k=1}^{7}(2a_k) = 2^7 \prod_{k=1}^{7}a_k = \dfrac{2^7}{3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15} = \dfrac{128}{2027025}$ なので

$$\Pr(S>1) = \frac{(982/45045)^7}{7!}\cdot\frac{2027025}{128} = \frac{982^7 \cdot 2027025}{45045^7 \cdot 5040 \cdot 128} = \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}.$$

これは約 $7.3531 \times 10^{-12}$ です。

（4）結論。 求める値は

$$\frac{\pi}{2}\bigl(1 - 2\Pr(S>1)\bigr) = \frac{\pi}{2} - \pi\Pr(S>1)$$

であり、$\pi \Pr(S>1) = 2.3100572\ldots\times 10^{-11}$ です。分数を通分して整理すると本文の表示になります。

∎

Remark 5.4（なぜこんなに長く持ちこたえるのか）

$B_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2k+1}$ は $n \to \infty$ で発散します。実際、調和数 $H_m = \sum_{j=1}^{m}1/j$ を使うと

$$B_n = H_{2n+1} - \frac12 H_n - 1$$

と書けて、$H_m = \log m + \gamma + O(1/m)$（$\gamma$ はオイラー定数）から

$$B_n = \frac12\log n + \log 2 + \frac{\gamma}{2} - 1 + O\!\left(\frac1n\right)$$

となります。つまり $B_n$ は $\log$ の速さでしか増えません。だからしきい値 $1$ を超えるまでに 7 ステップもかかるのです。

裏返せば、$B_n$ が発散する以上、しきい値がいくつであってもいつかは必ず崩れます。「$\pi/2$ が何回も続く」ことと「いつかは崩れる」ことは、どちらも調和級数の対数発散という同じ事実の表れです（級数と収束判定 の コーシーの積分判定法（Theorem 5.1）［級数と収束判定］ は、この $\log$ の速さを与える道具でもあります）。有限個の数値実験から「常に $\pi/2$ だろう」と結論するのが危険な理由が、ここに具体的な形で現れています。

6. 変奏：余弦因子を掛けるともっと長く持つ

Theorem 5.1 の証明を見ると、崩れる原因は「窓の外に確率がはみ出すこと」だけでした。ならば、窓を広げてやればもっと長く持つはずです。それを実現するのが $2\cos x$ という因子です。

Proposition 6.1（余弦因子を掛けた版）

$n \ge 1$、$a_0 = 1$ とし、$a_1, \ldots, a_n > 0$、$B = a_1 + \cdots + a_n$ とします。$S = X_1 + \cdots + X_n$（$X_k \sim U[-a_k, a_k]$、独立）とすると

$$\int_0^\infty 2\cos x \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin(a_k x)}{a_k x}\,dx = \pi\Pr\bigl(0 \le S \le 2\bigr).$$

特に $B \le 2$ ならばこの値は $\dfrac{\pi}{2}$ です。

Proof（Proposition 6.1）

被積分関数 $2\cos x\prod_{k}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)$ は偶関数の積なので偶関数です。したがって $\int_0^\infty$ は $\int_{-\infty}^{\infty}$ の半分であり、Definition 4.2 の $\Psi_n$ を $t = 1$ で読むと

$$\int_0^\infty 2\cos x \prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} 2\left(\prod_{k=0}^{n}\operatorname{sinc}_{a_k}(x)\right)\cos(1\cdot x)\,dx = \Psi_n(1).$$

つまり「$2\cos x$ を掛ける」ことは「$\Psi_n$ を原点ではなく $t = 1$ で評価する」ことに等しいのです。

Corollary 4.5 の証明で見たとおり $\Psi_n = 2\pi H$、$H = h_{a_0} * G$、$G$ は $S$ の密度です。$a_0 = 1$ より $h_1(1-u) = \frac12$ となるのは $|1-u| \le 1$、すなわち $0 \le u \le 2$ のときで、それ以外では $0$ です。よって

$$H(1) = \int_{\mathbb{R}} h_1(1-u)G(u)\,du = \frac12\int_0^2 G(u)\,du = \frac12\Pr(0 \le S \le 2),$$

したがって $\Psi_n(1) = 2\pi H(1) = \pi \Pr(0 \le S \le 2)$ です。

$B \le 2$ のときは $|S| \le B \le 2$ が確率 $1$ で成り立つので、$\Pr(0 \le S \le 2) = \Pr(S \ge 0)$ です。$S$ の分布は原点対称かつ連続（$n \ge 1$ なので $\Pr(S = 0) = 0$）だから $\Pr(S \ge 0) = 1/2$ となり、値は $\pi/2$ です。

∎

しきい値が $1$ から $2$ に倍増しました。Remark 5.4 の $B_n$ が $2$ を超えるのはいつでしょうか。$B_n \approx \frac12\log n + \log 2 + \gamma/2 - 1$ を $2$ と等置すると $\log n \approx 4.04$、つまり $n \approx 57$ あたりです。実際に厳密に計算すると

$$B_{55} = 1.9944375\ldots \le 2 < B_{56} = 2.0032871\ldots$$

なので、$a_k = 1/(2k+1)$ に対して

$$\int_0^\infty 2\cos x\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\bigl(x/(2k+1)\bigr)}{x/(2k+1)}\,dx = \frac{\pi}{2}$$

は $n = 0, 1, \ldots, 55$ で成り立ち、$n = 56$（最後の因子が $\sin(x/113)/(x/113)$、sinc の因子は全部で 57 個）で初めて崩れます。

崩れ幅も Proposition 5.3 と同じ単体の計算で求まります。$B_{56} - 2 = 0.0032870\ldots$ は $2\min_k a_k = 2/113 = 0.0177\ldots$ 以下なので箱の制約は効かず、

$$\pi\Pr(S > 2) = \pi\cdot\frac{(B_{56}-2)^{56}}{56!}\cdot\frac{1}{2^{56}\prod_{k=1}^{56}a_k} \approx 2.33\times 10^{-138}$$

だけ $\pi/2$ より小さくなります。倍精度どころか、通常の多倍長計算でも意識しないと見えない差です。「数値実験で 100 桁一致した」ことが証明にならない、という教訓のもっとも劇的な例のひとつだと思います。

Remark 6.2（積分ではなく和にしても同じことが起きる）

積分を等間隔の和に置き換えた

$$\sum_{m=-\infty}^{\infty}\ \prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\bigl(m/(2k+1)\bigr)}{m/(2k+1)}$$

（$m = 0$ の項は $1$ と読む）についても、対応する積分と一致する範囲・一致しなくなる範囲が調べられています。R. Baillie、D. Borwein、J. M. Borwein による Monthly の論文にまとまっています。和と積分が長く一致するのは、この記事の議論をポアソン和公式と組み合わせると説明できます。

7. 演習

Exercise 7.1易

$\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx$ を、(a) Corollary 4.5 を使う方法と、(b) 部分積分して Theorem 3.2 に帰着させる方法の 2 通りで求めてください。

Solution

(a) $\dfrac{\sin^2x}{x^2} = \operatorname{sinc}_1(x)\cdot\operatorname{sinc}_1(x)$ なので $a_0 = a_1 = 1$、$n = 1$ の場合です。$S = X_1$ は $[-1,1]$ 上の一様分布なので $\Pr(|S| \le 1) = 1$、よって

$$\int_0^\infty \frac{\sin^2x}{x^2}dx = \frac{\pi}{2\cdot 1}\cdot 1 = \frac{\pi}{2}.$$

$B = a_1 = 1 = a_0$ でちょうど境界（等号成立）なので、Theorem 5.1 の条件 $B \le a_0$ は満たされています。

(b) $0 < \delta < R$ 上で $u = \sin^2 x$、$dv = x^{-2}dx$（$v = -1/x$）として部分積分すると

$$\int_\delta^R \frac{\sin^2x}{x^2}dx = \left[-\frac{\sin^2x}{x}\right]_\delta^R + \int_\delta^R \frac{2\sin x\cos x}{x}dx = \frac{\sin^2\delta}{\delta} - \frac{\sin^2 R}{R} + \int_\delta^R\frac{\sin 2x}{x}dx .$$

$\delta \to 0^{+}$ で $\dfrac{\sin^2\delta}{\delta} = \delta\left(\dfrac{\sin\delta}{\delta}\right)^2 \to 0$、$R \to \infty$ で $\dfrac{\sin^2R}{R} \to 0$ です。残る積分は $u = 2x$ と置換して

$$\int_0^\infty \frac{\sin 2x}{x}dx = \int_0^\infty\frac{\sin u}{u}du = \frac{\pi}{2}$$

（Theorem 3.2）。よって値は $\pi/2$ で、(a) と一致します。

Exercise 7.2標準

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\cdot\left(\frac{\sin(2x/3)}{2x/3}\right)^2 dx$$

の値を厳密に求めてください。$\pi/2$ になりますか。

Solution

$a_0 = 1$、$a_1 = a_2 = 2/3$、$n = 2$ です。$B = a_1 + a_2 = 4/3 > 1 = a_0$ なので、Theorem 5.1 より値は $\pi/2$ より真に小さくなります。厳密値を Proposition 5.3 の証明と同じ手順で求めます。

$S = X_1 + X_2$（$X_k \sim U[-2/3, 2/3]$）とし、$\Pr(S > 1)$ を計算します。$y_k = a_k - x_k \in [0, 4/3]$ と置くと、$x_1 + x_2 > 1$ は $y_1 + y_2 < B - 1 = 1/3$ と同値です。$B - 1 = 1/3$ は $2\min_k a_k = 4/3$ 以下なので上限の制約は効かず、領域は直角二等辺三角形 $\{y_1, y_2 \ge 0,\ y_1 + y_2 < 1/3\}$ で、その面積は $\dfrac{(1/3)^2}{2!} = \dfrac{1}{18}$ です。全体の体積は $\prod_k (2a_k) = (4/3)^2 = 16/9$ なので

$$\Pr(S > 1) = \frac{1/18}{16/9} = \frac{9}{288} = \frac{1}{32}.$$

対称性から $\Pr(|S| \le 1) = 1 - 2\cdot\dfrac{1}{32} = \dfrac{15}{16}$ で、Corollary 4.5 より

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\left(\frac{\sin(2x/3)}{2x/3}\right)^2 dx = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{15}{16} = \frac{15\pi}{32} = 1.4726215563\ldots$$

となり、$\pi/2 = 1.5707963268\ldots$ より明らかに小さい値です。因子を「太く」すると、崩れ幅は $10^{-11}$ のような微差ではなく、はっきり見える差になります。

Exercise 7.3標準

$B_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ について、調和数 $H_m = \sum_{j=1}^{m}\dfrac1j$ を使った表示

$$B_n = H_{2n+1} - \frac12 H_n - 1$$

を示し、$B_n \to \infty$ を結論してください。さらに、これを使って「どんな $a_0 > 0$ を取っても、$a_k = 1/(2k+1)$ の積を十分たくさん掛ければ Theorem 5.1 の等号は必ず破れる」ことを説明してください。

Solution

$1$ から $2n+1$ までの逆数の和 $H_{2n+1}$ を、偶数の項と奇数の項に分けます。偶数の項は $j = 2k$（$k = 1, \ldots, n$）で

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k} = \frac12 H_n$$

です。奇数の項は $j = 1, 3, 5, \ldots, 2n+1$ なので

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1} = H_{2n+1} - \frac12 H_n .$$

左辺から $k = 0$ の項 $1$ を引けば $B_n = H_{2n+1} - \frac12 H_n - 1$ です。

発散を見るには $H_m = \log m + \gamma + O(1/m)$ を使います。

$$B_n = \bigl(\log(2n+1) + \gamma\bigr) - \frac12\bigl(\log n + \gamma\bigr) - 1 + O\!\left(\frac1n\right) = \frac12\log n + \log 2 + \frac{\gamma}{2} - 1 + O\!\left(\frac1n\right)$$

であり、$\frac12\log n \to \infty$ なので $B_n \to \infty$ です。（$\log$ の漸近公式を使わなくても、$B_n \ge \frac12\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$ から調和級数の発散に帰着させても構いません。$\frac{1}{2k+1} \ge \frac{1}{2k+2} = \frac12\cdot\frac{1}{k+1}$ です。）

したがって、どんな $a_0 > 0$ に対しても $B_n > a_0$ となる $n$ が存在します。その $n$ 以降では Theorem 5.1 の条件 $B \le a_0$ が破れ、積分の値は $\pi/(2a_0)$ より真に小さくなります。$a_0$ を大きくすれば「持ちこたえる回数」は増えますが、$B_n$ の増え方が $\frac12\log n$ なので、その回数は $a_0$ について指数的に増えます。$a_0 = 1$ で 7 回、$a_0 = 2$（$2\cos x$ 版）で 56 回、というのがまさにその現象です。

Exercise 7.4難

Theorem 5.1 の証明の（2）では「$G$ は $(-B,B)$ 上で正」を断面の体積で示しました。これを、$n$ についての帰納法で示し直してください。すなわち、$G_n = h_{a_1} * \cdots * h_{a_n}$、$B_{(n)} = a_1 + \cdots + a_n$ と置いたとき、$G_n$ は連続（$n \ge 2$）で、$(-B_{(n)}, B_{(n)})$ 上で正であることを示してください。

Solution

$n = 1$。 $G_1 = h_{a_1}$ は $(-a_1, a_1)$ 上で値 $\dfrac{1}{2a_1} > 0$ です（連続性は主張していません）。

帰納段階。 $G_{n}$ が $(-B_{(n)}, B_{(n)})$ 上で正、その外で $0$ と仮定します。Definition 4.1 より

$$G_{n+1}(t) = (G_n * h_{a_{n+1}})(t) = \frac{1}{2a_{n+1}}\int_{t-a_{n+1}}^{t+a_{n+1}} G_n(u)\,du .$$

まず連続性です。$G_n$ は有界（$G_1$ は $1/(2a_1)$ で抑えられ、移動平均は最大値を増やしません）かつ可積分なので、$t \mapsto \int_{t-a}^{t+a}G_n$ は $t$ の連続関数です。実際、$|t - t'| < \eta$ なら 2 つの積分区間の差は長さ $2\eta$ 以下の集合上の積分なので、差は $\|G_n\|_\infty \cdot 2\eta \cdot \dfrac{1}{2a_{n+1}}$ 以下で、$\eta \to 0$ とすれば $0$ になります。よって $G_{n+1}$ は連続です（$n + 1 \ge 2$）。

次に正値性です。$B_{(n+1)} = B_{(n)} + a_{n+1}$ と置きます。$|t| < B_{(n+1)}$ とし、対称性から $0 \le t < B_{(n+1)}$ としてよいです。区間 $J = (t - a_{n+1},\ t + a_{n+1})$ と区間 $(-B_{(n)}, B_{(n)})$ が交わることを言えば十分です（交わればそこで $G_n > 0$、しかも交わりは開区間なので正の長さを持ち、積分は正になります）。

2 つの開区間が交わらないのは、$t - a_{n+1} \ge B_{(n)}$ または $t + a_{n+1} \le -B_{(n)}$ のときです。前者は $t \ge B_{(n)} + a_{n+1} = B_{(n+1)}$ を意味し、仮定 $t < B_{(n+1)}$ に反します。後者は $t \le -B_{(n+1)} < 0$ で、$t \ge 0$ に反します。よって交わり、$G_{n+1}(t) > 0$ です。

$|t| \ge B_{(n+1)}$ では、区間 $J$ と $(-B_{(n)},B_{(n)})$ は（内部で）交わらないので $G_{n+1}(t) = 0$ です。以上で帰納法が完成します。

これで Theorem 5.1 の（4）、すなわち $B > a_0$ のとき $\int_{a_0}^{B}G > 0$ が、断面の体積の議論を使わずに示せました。

参考文献

• David Borwein and Jonathan M. Borwein, “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, The Ramanujan Journal 5 (2001), 73–89. — ボールウェイン積分の原論文。一般の $a_k$ に対する閉じた表示も与えられています。
• Robert Baillie, David Borwein and Jonathan M. Borwein, “Surprising sinc sums and integrals”, The American Mathematical Monthly 115 (2008), 888–901. — Remark 6.2 で触れた和の版。
• Hanspeter Schmid, “Two curious integrals and a graphic proof”, Elemente der Mathematik 69 (2014), 11–17. — この記事の §4 と同じ「窓を移動平均でぼかす」図解による説明。
• Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003 — 第 5 章（$\mathbb{R}$ 上のフーリエ変換）。畳み込みと反転公式の標準的な扱い。
• Jonathan M. Borwein, David H. Bailey and Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, A K Peters, 2004. — 数値実験から予想を立てるときの落とし穴として、この積分列が取り上げられています。
• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 広義積分、パラメータを含む積分の一様収束と微分積分の順序交換。Lemma 3.1 と Theorem 3.2 の背景。

Appendix: 極限交換の細部

Theorem 4.4 の証明で、$R \to \infty$ の極限を積分の中に入れる操作を Appendix に回しました。ここを埋めます。

（あ）正弦積分の一様な上界。 $\mathrm{Si}(X) = \displaystyle\int_0^X \frac{\sin v}{v}\,dv$ と置きます。主張は

$$0 \le \mathrm{Si}(X) \le \mathrm{Si}(\pi) = 1.85193705\ldots \qquad (X \ge 0)$$

です。証明はこうです。$\mathrm{Si}'(X) = \dfrac{\sin X}{X}$ は $X \in (2m\pi, (2m+1)\pi)$ で正、$X \in ((2m+1)\pi, (2m+2)\pi)$ で負なので、$\mathrm{Si}$ は $[m\pi, (m+1)\pi]$ ごとに単調で、極大は $X = (2m+1)\pi$、極小は $X = 2m\pi$ で起こります。区間ごとの増減の大きさは

$$c_m = \left|\int_{m\pi}^{(m+1)\pi}\frac{\sin v}{v}dv\right| = \int_0^{\pi}\frac{\sin w}{w + m\pi}\,dw$$

（$v = w + m\pi$ と置換）で、被積分関数が $m$ について単調減少なので $c_0 > c_1 > c_2 > \cdots > 0$ かつ $c_m \to 0$ です。したがって極大値の列 $\mathrm{Si}(\pi) > \mathrm{Si}(3\pi) > \cdots$ は減少、極小値の列 $\mathrm{Si}(0) < \mathrm{Si}(2\pi) < \cdots$ は増加します（ライプニッツの交項級数判定法（Theorem 7.3）［級数と収束判定］ と同じ構造です）。ゆえに全体の最大は $\mathrm{Si}(\pi)$、最小は $\mathrm{Si}(0) = 0$ です。

（い）$\Phi_R$ の一様有界性。 Theorem 4.4 の証明で使った $\Phi_R(u) = \displaystyle\int_{-R}^{R}P(x)\cos(ux)\,dx$、$P = \prod_{k=0}^{n-1}\operatorname{sinc}_{a_k}$ について、$R \ge 0$ と $u \in \mathbb{R}$ に依らない上界を作ります。

$n - 1 \ge 1$ のとき。すべての $a>0$ と $x \ne 0$ で $|\operatorname{sinc}_a(x)| \le \min\left(1, \dfrac{1}{a|x|}\right)$ なので、因子が 2 個以上あることから $|P(x)| \le \min\left(1, \dfrac{1}{a_0a_1x^2}\right)$ となり、$P$ は $\mathbb{R}$ 上可積分です。$|\cos| \le 1$ より

$$|\Phi_R(u)| \le \int_{\mathbb{R}}|P(x)|\,dx =: C < \infty .$$

$n - 1 = 0$ のとき。$P = \operatorname{sinc}_{a_0}$ は可積分ではないので、Lemma 4.3 の計算をそのまま使います。積和の公式から

$$\Phi_R(u) = \frac{1}{a_0}\left[\int_0^{R}\frac{\sin\bigl((a_0+u)x\bigr)}{x}dx + \int_0^{R}\frac{\sin\bigl((a_0-u)x\bigr)}{x}dx\right]$$

であり、$c \ne 0$ に対して $\displaystyle\int_0^{R}\frac{\sin(cx)}{x}dx = \mathrm{sgn}(c)\,\mathrm{Si}(|c|R)$、$c = 0$ なら $0$ です。（あ）より各項の絶対値は $\mathrm{Si}(\pi)$ 以下なので

$$|\Phi_R(u)| \le \frac{2\,\mathrm{Si}(\pi)}{a_0} < \frac{3.71}{a_0} =: C .$$

いずれの場合も $C$ は $R$ にも $u$ にも依りません。よって有限区間 $[0, a_n]$ 上で定数関数 $2C$ が優関数となり、有界収束定理から

$$\lim_{R\to\infty}\int_0^{a_n}\bigl[\Phi_R(t+s) + \Phi_R(t-s)\bigr]ds = \int_0^{a_n}\bigl[\Psi_{n-1}(t+s) + \Psi_{n-1}(t-s)\bigr]ds$$

が正当化されます。なお $\Phi_R(u) \to \Psi_{n-1}(u)$ の収束は $u = \pm a_0$ の近くでは一様ではありません（Lemma 4.3 の不連続点で、いわゆるギブス現象が起きます）。一様収束が使えないからこそ、一様有界性と有界収束定理が必要でした。