分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理

0. この記事の要点

• 位相空間の公理だけでは、相異なる 2 点を開集合で「引き離す」ことすらできません。どこまで引き離せるかを段階的に測る条件が分離公理であり、弱い順に T0・T1・T2（ハウスドルフ）・T3（正則）・T4（正規）と並びます。
• $X$ が T1 であることは、すべての 1 点集合が閉であることと同値です（Proposition 3.2）。この一見些細な条件が、以後のすべての議論で「点を閉集合として扱う」ことを可能にします。
• ハウスドルフ性は極限の一意性と直結します（Theorem 3.5）。ただし点列だけではハウスドルフ性を検出できません（Example 3.6）。
• 距離空間は必ず正規です（Theorem 5.2）。したがって正規でない空間は距離づけ可能ではありません（Corollary 5.4）。分離公理は距離化の「障害」を与えます。
• 逆向きの十分条件を与えるのがウリゾーンの距離化定理です（Theorem 7.2）。その心臓部は、正規性という集合の言葉だけの仮定から連続な実数値関数を作り出すウリゾーンの補題（Lemma 6.1）です。

1. 動機：距離を捨てると何が失われるか

このテーマではここまで、位相空間の定義から出発して、連続写像・コンパクト性・連結性を扱ってきました。いずれの場面でも、「近さ」を距離 $d(x,y)$ ではなく開集合の族だけで語れることが利点でした。$\varepsilon$ や $\delta$ を書かずに連続性を定義でき、そのぶん適用範囲が広がったわけです。

しかしこの一般化には代償があります。距離空間 $(X,d)$ では、相異なる 2 点 $x \ne y$ に対して $r = d(x,y)/2 > 0$ とおけば開球 $B(x,r)$ と $B(y,r)$ は交わりません。点は必ず「引き離せる」のです。ところが位相の公理（空集合と全体集合が開、有限個の共通部分が開、任意個の合併が開）には、この種の要求は含まれていません。極端な例として、開集合を $\emptyset$ と $X$ しか持たない密着位相を入れると、$x \ne y$ を含む開集合は $X$ しかなく、2 点はどうやっても区別できません。この空間では任意の点列が任意の点に収束し、「極限」という語は意味を失います。

つまり位相の公理は「近さ」の翻訳としては弱すぎるのです。そこで、距離空間が自動的に持っていた分離の能力を、必要な分だけ公理として追加していく――これが分離公理の発想です。歴史的には、ハウスドルフが 1914 年の『集合論綱要』で近傍系による位相の公理を立てたとき、彼はすでに「相異なる 2 点は交わらない近傍を持つ」という条件を公理に数えていました。今日ハウスドルフ空間と呼ぶものが、当時の「位相空間」だったわけです。その後アレクサンドロフ、ティーツェ、ウリゾーンらによって条件の階層が整理され、ドイツ語の Trennungsaxiom（分離公理）の頭文字を取って $T_0, T_1, T_2, \ldots$ という記号が定着しました。

この章にはもう一つ、より大きな問いが控えています。距離空間から距離を忘れれば位相空間が得られますが、逆にどの位相空間が距離から来るのか。1920 年代の一般位相空間論の中心課題だった距離化問題です。分離公理はこの問いに二方向から関わります。距離空間が満たす分離公理は距離づけ可能性の必要条件を与え（第 5 節）、逆に十分な分離公理と可算性を仮定すれば距離が構成できます（第 7 節）。

2. 準備：記号と既出事項

$X$ は位相空間、その位相（開集合全体）を $\tau$ と書きます。部分集合 $A \subseteq X$ に対し $\overline{A}$ を閉包、$X \setminus A$ を補集合とします。点 $x$ の近傍とは、$x$ を含む開集合を含む集合のことです（本稿では単に「開近傍」と言えば $x$ を含む開集合を指します）。以下の事実は既出のものとして使います。

• $A$ が閉 $\iff$ $A = \overline{A}$ $\iff$ $X \setminus A$ が開。
• $x \in \overline{A}$ $\iff$ $x$ の任意の開近傍が $A$ と交わる（内部と閉包の基本性質（Theorem 6.4）［Topological Spaces］）。
• $\mathcal{B} \subseteq \tau$ が位相 $\tau$ の基底であるとは、任意の開集合が $\mathcal{B}$ の元の合併として書けること。同値に、任意の開集合 $U$ と任意の $x \in U$ に対し $x \in B \subseteq U$ なる $B \in \mathcal{B}$ が存在すること（位相の基底（Definition 5.1）［Topological Spaces］）。
• 距離空間 $(X,d)$ では、開球 $B(x,r) = \{y \in X : d(x,y) < r\}$ の全体が基底をなす。
• コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである（閉部分集合のコンパクト性（Theorem 4.1）［コンパクト性］ を参照）。
• 点列 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ が $x$ に収束するとは、$x$ の任意の開近傍 $U$ に対しある $N$ があって $n \ge N$ ならば $x_n \in U$ となること。ここで $\mathbb{N} = \{1, 2, \ldots\}$ とします。

可算性についての条件も一つ必要になります。

Definition 2.1（第二可算公理）

位相空間 $X$ が第二可算公理を満たす（second countable である）とは、$X$ の位相が可算な基底を持つことをいう。すなわち可算族 $\mathcal{B} = \{B_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \tau$ が存在して、任意の開集合 $U$ と任意の $x \in U$ に対し、ある $n$ について $x \in B_n \subseteq U$ となることをいう。

また、$X$ が可分（separable）であるとは、可算な稠密部分集合 $D$（$\overline{D} = X$）を持つことをいう。

たとえば $\mathbb{R}^n$ は、有理点を中心とする有理数半径の開球全体が可算基底をなすので第二可算です。第二可算性は「位相が可算個のデータで書ける」という有限性の要求であり、第 7 節で決定的な役割を果たします。

3. 点を分離する：T0・T1・T2

まず「点と点」を分離する条件から始めます。強さの順に三段階あります。

Definition 3.1（T0・T1・T2）

$X$ を位相空間とする。

1. $X$ が T0 空間であるとは、相異なる任意の $x, y \in X$ に対し、一方だけを含む開集合が存在すること、すなわち $x \in U$ かつ $y \notin U$ なる開集合 $U$、または $y \in V$ かつ $x \notin V$ なる開集合 $V$ の少なくとも一方が存在することをいう。
2. $X$ が T1 空間であるとは、相異なる任意の $x, y \in X$ に対し、$x \in U$ かつ $y \notin U$ なる開集合 $U$ と、$y \in V$ かつ $x \notin V$ なる開集合 $V$ がともに存在することをいう。
3. $X$ が T2 空間またはハウスドルフ空間であるとは、相異なる任意の $x, y \in X$ に対し、開集合 $U, V$ が存在して $x \in U$、$y \in V$、$U \cap V = \emptyset$ となることをいう。

定義から直ちに T2 $\Rightarrow$ T1 $\Rightarrow$ T0 です。実際、T2 の $U, V$ は交わらないので $y \notin U$ かつ $x \notin V$ となり T1 の条件を満たし、T1 の条件は T0 の条件の一方を含みます。逆向きは成り立ちません（Example 3.3、Example 3.4）。

T1 は次のように言い換えられます。この言い換えは以後くり返し使います。

Proposition 3.2

位相空間 $X$ が T1 空間であることと、任意の $x \in X$ について 1 点集合 $\{x\}$ が閉集合であることは同値である。

Proof（Proposition 3.2）

（$\Rightarrow$）$x \in X$ を固定し、$X \setminus \{x\}$ が開であることを示す。$y \in X \setminus \{x\}$ を任意に取ると $y \ne x$ だから、Definition 3.1 の T1 の条件により、$y \in V_y$ かつ $x \notin V_y$ なる開集合 $V_y$ が存在する。$x \notin V_y$ は $V_y \subseteq X \setminus \{x\}$ を意味するので、

$$X \setminus \{x\} = \bigcup_{y \in X \setminus \{x\}} V_y$$

が成り立つ（右辺 $\subseteq$ 左辺は各 $V_y \subseteq X\setminus\{x\}$ から、左辺 $\subseteq$ 右辺は $y \in V_y$ から従う）。開集合の任意合併は開だから $X \setminus \{x\}$ は開、よって $\{x\}$ は閉である。

（$\Leftarrow$）$x \ne y$ とする。$\{y\}$ が閉なので $U := X \setminus \{y\}$ は開であり、$x \in U$、$y \notin U$。同様に $V := X \setminus \{x\}$ は開で $y \in V$、$x \notin V$。よって T1 の条件が満たされる。

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Example 3.3（シェルピンスキー空間：T0 だが T1 でない）

$X = \{0, 1\}$ に位相 $\tau = \{\emptyset, \{1\}, X\}$ を入れる（位相の公理を満たすことは、$\emptyset \cup \{1\} = \{1\}$、$\{1\} \cap X = \{1\}$ などから直接確かめられる）。開集合 $\{1\}$ は $1$ を含み $0$ を含まないので、$X$ は T0 である。

一方 $0$ を含む開集合は $X$ だけであり、これは $1$ も含む。したがって「$0$ を含み $1$ を含まない開集合」は存在せず、$X$ は T1 ではない。Proposition 3.2 と整合的に、$\{1\}$ は閉ではない（$X \setminus \{1\} = \{0\}$ は開集合ではないため）。

Example 3.4（補有限位相：T1 だが T2 でない）

$X$ を無限集合とし、$\tau = \{\emptyset\} \cup \{U \subseteq X : X \setminus U \text{ は有限}\}$ とおく（補有限位相）。有限集合の有限合併は有限、有限集合の任意共通部分は有限だから、これは位相である。

T1 であること。 任意の $x$ について $X \setminus \{x\}$ は補集合が $\{x\}$（有限）なので開、よって $\{x\}$ は閉であり、Proposition 3.2 より $X$ は T1 である。

T2 でないこと。 $U, V$ を空でない開集合とすると $X \setminus U$ と $X \setminus V$ は有限だから、$X \setminus (U \cap V) = (X \setminus U) \cup (X \setminus V)$ も有限である。$X$ は無限なので $U \cap V \ne \emptyset$。すなわち空でない 2 つの開集合はつねに交わり、ハウスドルフ性は成り立たない。

点列の挙動。 $(x_n)$ を互いに相異なる点からなる点列とし、$x \in X$ を任意に取る。$x$ の開近傍 $U$ に対し $X \setminus U$ は有限であり、$x_n$ たちは相異なるので $x_n \in X \setminus U$ となる $n$ は有限個しかない。よって十分大きい $n$ で $x_n \in U$ となり、$x_n \to x$ がすべての $x$ について成り立つ。極限は絶望的に非一意です。

Theorem 3.5（ハウスドルフ空間における極限の一意性）

$X$ をハウスドルフ空間、$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を $X$ の点列とする。$x_n \to x$ かつ $x_n \to y$ ならば $x = y$ である。

Proof（Theorem 3.5）

$x \ne y$ と仮定して矛盾を導く。Definition 3.1 の T2 の条件により、開集合 $U, V$ で $x \in U$、$y \in V$、$U \cap V = \emptyset$ なるものが取れる。

$x_n \to x$ と $U$ が $x$ の開近傍であることから、ある $N_1$ が存在して $n \ge N_1$ ならば $x_n \in U$。同様に $x_n \to y$ と $V$ が $y$ の開近傍であることから、ある $N_2$ が存在して $n \ge N_2$ ならば $x_n \in V$。そこで $n = \max(N_1, N_2)$ を取ると $x_n \in U \cap V = \emptyset$ となり、これは矛盾である。よって $x = y$。

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この定理があるからこそ、ハウスドルフ空間では $\lim_{n\to\infty} x_n$ という記号を安心して使えます。解析学の議論が位相空間の言葉で書けるのは、ほとんどの場合に舞台がハウスドルフだからです。逆に、Example 3.4 のような空間では「$\lim$」は書けません。

では、極限の一意性はハウスドルフ性と同値でしょうか。点列に限る限り、答えは「いいえ」です。

Example 3.6（補可算位相：点列の極限は一意だがハウスドルフでない）

$X = \mathbb{R}$ に、$\tau = \{\emptyset\} \cup \{U \subseteq \mathbb{R} : \mathbb{R} \setminus U \text{ は高々可算}\}$（補可算位相）を入れる。可算集合の有限合併・任意共通部分は高々可算なので、これは位相である。

T1 であること。 $\mathbb{R} \setminus \{x\}$ は補集合が 1 点なので開、よって $\{x\}$ は閉であり Proposition 3.2 より T1。

T2 でないこと。 $U, V$ を空でない開集合とすると $\mathbb{R} \setminus (U \cap V) = (\mathbb{R}\setminus U) \cup (\mathbb{R}\setminus V)$ は高々可算である。$\mathbb{R}$ は非可算（実数全体は非可算（Theorem 6.3）［濃度と無限］）なので $U \cap V \ne \emptyset$。よってハウスドルフではない。

点列の極限は一意であること。 $x_n \to x$ とする。$S := \{n \in \mathbb{N} : x_n \ne x\}$ に対応する値の集合 $\{x_n : n \in S\}$ は高々可算だから、$U := \mathbb{R} \setminus \{x_n : n \in S\}$ は開集合であり、$x \in U$（$x$ はこの集合の元ではない）。収束の定義よりある $N$ があって $n \ge N$ で $x_n \in U$、すなわち $n \ge N$ なら $n \notin S$、つまり $x_n = x$ である。よって収束する点列は最終的に定数 $x$ であり、その極限は $x$ ただ一つに定まる。

この空間では「点列の極限がつねに一意」が成り立つのに、ハウスドルフ性は破れています。点列は位相を捉えきれないのです。

Remark 3.7（点列では足りない理由）

Example 3.6 が示すのは、点列という可算な道具では、可算な近傍基底を持たない空間の近傍系を汲み尽くせないということです。点列を有向集合で添字づけたネット（または近傍フィルター）に取り替えると同値性が回復し、「$X$ がハウスドルフ $\iff$ 任意のネットの極限が高々一つ」が成り立ちます。証明は Munkres『Topology』第 3 章の補足節にあります。なお、各点が可算な近傍基底を持つ空間（第一可算空間）に限れば、点列だけで同値性が成り立ちます（Exercise 8.4）。

4. 集合を分離する：正則と正規

点と点を分離できても、点と閉集合、あるいは閉集合と閉集合を分離できるとは限りません。次の段階の公理はここを要求します。

Definition 4.1（正則・正規と T3・T4）

$X$ を位相空間とする。

1. $X$ が正則（regular）であるとは、任意の閉集合 $F \subseteq X$ と任意の点 $x \in X \setminus F$ に対し、開集合 $U, V$ が存在して $x \in U$、$F \subseteq V$、$U \cap V = \emptyset$ となることをいう。
2. $X$ が正規（normal）であるとは、互いに素な任意の閉集合 $E, F \subseteq X$（$E \cap F = \emptyset$）に対し、開集合 $U, V$ が存在して $E \subseteq U$、$F \subseteq V$、$U \cap V = \emptyset$ となることをいう。
3. $X$ が T3 空間であるとは T1 かつ正則であること、T4 空間であるとは T1 かつ正規であることをいう。

Remark 4.2（用語の流儀について）

「正則」「正規」に T1 を含めるかどうかは文献によって異なります。本稿は Engelking の流儀に従い、正則性・正規性は分離の条件だけを指し、T1 を課したものを T3・T4 と呼びます。Munkres は逆に regular / normal の定義に T1 を含めますが、T1 を仮定した瞬間に両者は一致するので実質的な差はありません。

T1 を課す理由は次の点にあります。T1 があれば Proposition 3.2 により 1 点集合が閉なので、正規性を $E = \{x\}$ に適用して正則性が得られ、正則性を $F = \{y\}$ に適用してハウスドルフ性が得られます。すなわち T4 $\Rightarrow$ T3 $\Rightarrow$ T2 $\Rightarrow$ T1 $\Rightarrow$ T0 という一本の階層ができます。T1 を落とすと、たとえば密着位相の空間は（閉集合が $\emptyset$ と $X$ しかないため）正則かつ正規でありながらハウスドルフではなく、階層が崩れます。

正規性は「互いに素な 2 つの閉集合を開集合で囲む」という形をしていますが、実用上は次の言い換えのほうがはるかに使いやすいものです。閉集合 $E$ と、それを含む開集合 $U$ のあいだに、閉包ごと収まる開集合を挟み込めるという主張です。

Lemma 4.3（縮小補題）

$X$ を位相空間とする。

1. $X$ が正則であることと、次が成り立つことは同値である：任意の点 $x$ と任意の開集合 $U \ni x$ に対し、開集合 $V$ が存在して $x \in V \subseteq \overline{V} \subseteq U$。
2. $X$ が正規であることと、次が成り立つことは同値である：任意の閉集合 $E$ と $E \subseteq U$ なる任意の開集合 $U$ に対し、開集合 $V$ が存在して $E \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U$。

Proof（Lemma 4.3）

2 を示す。1 は以下の証明で $E$ を $\{x\}$ に、閉集合 $F$ との分離を点と閉集合の分離に置き換えれば、そのまま通用する（$\{x\}$ が閉である必要はない。使うのは「$x \in U$、$F = X\setminus U$ は閉、$x \notin F$」だけである）。

（$\Rightarrow$）$E$ を閉、$U$ を開で $E \subseteq U$ とする。$F := X \setminus U$ は閉であり、$E \subseteq U$ から $E \cap F = \emptyset$。Definition 4.1 の正規性により、開集合 $V \supseteq E$ と $W \supseteq F$ で $V \cap W = \emptyset$ なるものが取れる。

$V \cap W = \emptyset$ より $V \subseteq X \setminus W$ であり、$W$ が開だから $X \setminus W$ は閉である。閉包は「その集合を含む最小の閉集合」だから $\overline{V} \subseteq X \setminus W$。さらに $F \subseteq W$ より $X \setminus W \subseteq X \setminus F = U$。合わせて

$$E \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq X \setminus W \subseteq U .$$

（$\Leftarrow$）$E, F$ を互いに素な閉集合とする。$U := X \setminus F$ は開で $E \subseteq U$。仮定より開集合 $V$ で $E \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U$ なるものが取れる。ここで $V$ と $W := X \setminus \overline{V}$ を考えると、$\overline{V}$ が閉だから $W$ は開であり、$V \subseteq \overline{V}$ より $V \cap W = \emptyset$。また $E \subseteq V$ であり、$\overline{V} \subseteq U = X \setminus F$ から $F \subseteq X \setminus \overline{V} = W$。よって $V, W$ が求める分離を与える。

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縮小補題：閉集合 E と開集合 U のあいだに、閉包ごと収まる「膜」V を挟む。この操作を可算回くり返すのがウリゾーンの補題の証明の骨格である。

正規性は一般には検証しにくい性質ですが、コンパクト性と組み合わせると自動的に手に入ります。これはコンパクト性の章で見た「有限性への還元」の典型的な応用です。

Theorem 4.4（コンパクトハウスドルフ空間は T4）

$X$ をコンパクトかつハウスドルフな位相空間とする。このとき $X$ は正規であり、しかも T1 なので T4 空間である。

Proof（Theorem 4.4）

第 1 段（点とコンパクト集合の分離）。 $K \subseteq X$ をコンパクト、$x \in X \setminus K$ とする。各 $y \in K$ について $y \ne x$ だから、ハウスドルフ性（Definition 3.1）より開集合 $U_y \ni x$ と $V_y \ni y$ で $U_y \cap V_y = \emptyset$ なるものが取れる。族 $\{V_y\}_{y \in K}$ は $K$ の開被覆だから、$K$ のコンパクト性より有限個の $y_1, \ldots, y_n \in K$ が存在して $K \subseteq V := V_{y_1} \cup \cdots \cup V_{y_n}$。そこで $U := U_{y_1} \cap \cdots \cap U_{y_n}$ とおく。有限個の開集合の共通部分だから $U$ は開で、各 $U_{y_i}$ が $x$ を含むので $x \in U$。

$U \cap V = \emptyset$ を確かめる。$z \in U \cap V$ とすると、$z \in V$ よりある $i$ について $z \in V_{y_i}$。一方 $z \in U \subseteq U_{y_i}$。よって $z \in U_{y_i} \cap V_{y_i} = \emptyset$ となり矛盾。

第 2 段（閉集合どうしの分離）。 $E, F$ を互いに素な閉集合とする。$X$ はコンパクトだから、その閉部分集合である $E$ と $F$ もコンパクトである（コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト（Theorem 4.1）［コンパクト性］）。各 $x \in E$ について $x \notin F$ だから、第 1 段を点 $x$ とコンパクト集合 $F$ に適用して、開集合 $U_x \ni x$ と $V_x \supseteq F$ で $U_x \cap V_x = \emptyset$ なるものを得る。族 $\{U_x\}_{x \in E}$ は $E$ の開被覆だから、$E$ のコンパクト性より有限個の $x_1, \ldots, x_m$ が存在して $E \subseteq U := U_{x_1} \cup \cdots \cup U_{x_m}$。$V := V_{x_1} \cap \cdots \cap V_{x_m}$ は有限個の開集合の共通部分だから開で、各 $V_{x_j} \supseteq F$ より $F \subseteq V$。

$U \cap V = \emptyset$：$z \in U \cap V$ とすると、ある $j$ で $z \in U_{x_j}$ であり、$z \in V \subseteq V_{x_j}$ だから $z \in U_{x_j} \cap V_{x_j} = \emptyset$、矛盾。

T1 性はハウスドルフ性から従う（Definition 3.1 の直後の注意）。よって $X$ は T4 である。

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5. 距離空間は正規である

距離空間がどこまで分離しているかを確定させます。結論から言えば最上段まで、すなわち T4 まで到達します。準備として距離関数から作られる基本的な連続関数を用意します。

Lemma 5.1（集合までの距離）

$(X,d)$ を距離空間、$A \subseteq X$ を空でない部分集合とし、

$$d(x, A) := \inf_{a \in A} d(x,a)$$

とおく（$A \ne \emptyset$ かつ $d \ge 0$ だから、下に有界な空でない集合の下限として右辺は実数として確定する。上限・下限の存在（Theorem 4.2）［Completeness of the Real Numbers and Cauchy Sequences］）。このとき次が成り立つ。

1. 任意の $x, y \in X$ について $|d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)$。とくに $x \mapsto d(x,A)$ は連続である。
2. $d(x,A) = 0 \iff x \in \overline{A}$。

Proof（Lemma 5.1）

1. 任意の $a \in A$ について三角不等式より $d(x,a) \le d(x,y) + d(y,a)$、したがって $d(x,A) \le d(x,a) \le d(x,y) + d(y,a)$。左辺は $a$ に依存しないので、右辺の $a$ について下限を取って

$$d(x,A) \le d(x,y) + d(y,A), \qquad \text{すなわち} \quad d(x,A) - d(y,A) \le d(x,y).$$

$x$ と $y$ を入れ替えて $d(y,A) - d(x,A) \le d(y,x) = d(x,y)$ を得るから、合わせて $|d(x,A)-d(y,A)| \le d(x,y)$。この不等式は $x \mapsto d(x,A)$ が 1-リプシッツ（リプシッツ連続（Definition 6.6）［Continuous Functions and Uniform Continuity］）であることを意味し、$\varepsilon$ に対して $\delta = \varepsilon$ と取れば連続性の定義が満たされる。

2. $d(x,A) = 0$ とは、下限の定義より「任意の $\varepsilon > 0$ に対しある $a \in A$ で $d(x,a) < \varepsilon$」ということ、すなわち「任意の $\varepsilon > 0$ について $B(x,\varepsilon) \cap A \ne \emptyset$」ということである。距離空間では開球が $x$ の近傍基底をなすから、これは「$x$ の任意の開近傍が $A$ と交わる」と同値であり、閉包の特徴づけ（第 2 節）より $x \in \overline{A}$ と同値である。

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Theorem 5.2（距離空間は T4）

$(X,d)$ を距離空間とし、$X$ には $d$ の定める位相を入れる。このとき $X$ は T1 かつ正規、すなわち T4 空間である。とくに $X$ はハウスドルフかつ正則である。

Proof（Theorem 5.2）

ハウスドルフ性（したがって T1）。 $x \ne y$ とすると $r := d(x,y)/2 > 0$。$B(x,r) \cap B(y,r) = \emptyset$ を示す。$z$ が両方に属せば $d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < r + r = d(x,y)$ となり矛盾。よってハウスドルフであり、Definition 3.1 の直後の注意より T1 である。

正規性。 $E, F$ を互いに素な閉集合とする。$E = \emptyset$ の場合は $U = \emptyset$、$V = X$ と取ればよく、$F = \emptyset$ の場合も同様なので、以下 $E, F$ はともに空でないとする。Lemma 5.1 により $x \mapsto d(x,E)$ と $x \mapsto d(x,F)$ は連続だから、その差 $g(x) := d(x,E) - d(x,F)$ も連続である。そこで

$$U := \{x \in X : g(x) < 0\} = g^{-1}\big((-\infty, 0)\big), \qquad V := \{x \in X : g(x) > 0\} = g^{-1}\big((0, \infty)\big)$$

とおく。$g$ の連続性と $(-\infty,0)$、$(0,\infty)$ が $\mathbb{R}$ の開集合であることから、開集合の逆像は開集合という特徴づけ（連続性の開集合による特徴づけ（Proposition 3.6）［Topological Spaces］）より $U, V$ は開集合である。また $g(x) < 0$ と $g(x) > 0$ は同時には起こらないので $U \cap V = \emptyset$。

$E \subseteq U$ を示す。$x \in E$ とすると $d(x,E) = 0$（$x$ 自身が $E$ の元だから）。一方 $E \cap F = \emptyset$ より $x \notin F$ であり、$F$ は閉だから $F = \overline{F}$、よって Lemma 5.1 の 2 の対偶により $d(x,F) \ne 0$、すなわち $d(x,F) > 0$。ゆえに $g(x) = 0 - d(x,F) < 0$ となり $x \in U$。同様に $x \in F$ なら $d(x,F) = 0$ かつ $d(x,E) > 0$ だから $g(x) > 0$、すなわち $F \subseteq V$。

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Definition 5.3（距離づけ可能）

位相空間 $(X,\tau)$ が距離づけ可能（metrizable）であるとは、$X$ 上の距離関数 $d$ が存在して、$d$ の定める位相が $\tau$ と一致することをいう。

Corollary 5.4

距離づけ可能な位相空間は T4 空間である。対偶として、T1 でない空間・ハウスドルフでない空間・正則でない空間・正規でない空間は、いずれも距離づけ可能でない。

Proof（Corollary 5.4）

$X$ が距離づけ可能なら、Definition 5.3 よりある距離 $d$ が同じ位相を定める。分離公理は位相だけで書かれた条件だから、$(X,d)$ について Theorem 5.2 を適用すれば $X$ は T4 である。対偶は Remark 4.2 の階層 T4 $\Rightarrow$ T3 $\Rightarrow$ T2 $\Rightarrow$ T1 から従う。

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この系が、分離公理を学ぶ最初の実利です。たとえば Example 3.4 の補有限位相や Example 3.6 の補可算位相はハウスドルフでないので、どんな距離を持ってきても位相を再現できません。「距離が入らないこと」を示すのに、距離の候補をすべて調べる必要はないわけです。

6. ウリゾーンの補題：正規性から関数をつくる

Theorem 5.2 の証明を振り返ると、正規性を導いたのは連続関数 $g(x) = d(x,E) - d(x,F)$ でした。逆に問いましょう。正規性という集合の言葉だけの条件から、連続な実数値関数を作れるでしょうか。 位相空間には数値がありませんから、これは無から有を生むような要求に見えます。ウリゾーンの答えは「作れる」でした。

Lemma 6.1（ウリゾーンの補題）

$X$ を正規な位相空間、$E, F \subseteq X$ を互いに素な閉集合とする。このとき連続写像 $f : X \to [0,1]$ が存在して、すべての $x \in E$ について $f(x) = 0$、すべての $x \in F$ について $f(x) = 1$ となる。

証明は Appendix に置きます。着想だけ述べておくと、Lemma 4.3 の縮小操作を二進有理数 $q \in [0,1]$ で添字づけて可算回くり返し、$p < q$ ならば $\overline{U_p} \subseteq U_q$ となる開集合の増大族 $\{U_q\}$ を作ります。そのうえで $f(x) := \inf\{q : x \in U_q\}$ と定義すると、族の入れ子構造がそのまま $f$ の連続性に翻訳されるのです。$U_q$ は「関数値が $q$ 以下の等高集合」の役割を果たしており、実質的に等高線から関数を再構成しています。

Remark 6.2（逆も成り立つこと、および「ちょうど 0」ではないこと）

Lemma 6.1 の逆は容易です。互いに素な任意の閉集合 $E, F$ に対して補題の結論のような $f$ が存在すると仮定すると、$U := f^{-1}([0, 1/2))$ と $V := f^{-1}((1/2, 1])$ は $f$ の連続性より開で、互いに素であり、$E \subseteq U$、$F \subseteq V$ を満たします。よって $X$ は正規です。つまりウリゾーンの補題は正規性の言い換えです。

一方、補題は $f^{-1}(0) = E$ を主張していない点に注意してください。得られる $f$ は $E$ 上で $0$ ですが、$E$ の外でも $0$ を取りうります。$f^{-1}(0) = E$ かつ $f^{-1}(1) = F$ まで要求するには $E, F$ が可算個の開集合の共通部分（$G_\delta$ 集合）であることが必要十分で、任意の閉集合がこれを満たす正規空間を完全正規といいます。距離空間は $E = \bigcap_{n} \{x : d(x,E) < 1/n\}$ と書けるので完全正規です。

Example 6.3（距離空間ではウリゾーン関数を明示的に書ける）

$(X,d)$ を距離空間、$E, F$ を互いに素な空でない閉集合とする。Lemma 5.1 の記号で

$$f(x) := \frac{d(x,E)}{d(x,E) + d(x,F)}$$

とおく。分母は $0$ にならない：$d(x,E) + d(x,F) = 0$ なら $d(x,E) = d(x,F) = 0$ となり、Lemma 5.1 の 2 より $x \in \overline{E} \cap \overline{F} = E \cap F = \emptyset$ で矛盾。よって $f$ は連続関数の商として連続であり、値域は $[0,1]$ に含まれる。$x \in E$ なら分子が $0$ なので $f(x) = 0$、$x \in F$ なら $d(x,F) = 0$ なので $f(x) = d(x,E)/d(x,E) = 1$。

具体的に $X = \mathbb{R}$（通常の距離）、$E = (-\infty, 0]$、$F = [1, \infty)$ で計算してみます。$d(x,E) = \max(x, 0)$、$d(x,F) = \max(1-x, 0)$ です。$0 \le x \le 1$ のときは $f(x) = x/(x + (1-x)) = x$、$x < 0$ のときは分子が $0$ で $f(x) = 0$、$x > 1$ のときは $d(x,F) = 0$ なので $f(x) = x/x = 1$。まとめると $f(x) = \min(\max(x,0), 1)$、すなわち $0$ から $1$ へ線形に立ち上がる折れ線関数が得られます。ウリゾーンの補題は、この折れ線を距離なしで作る手続きだと言えます。

Remark 6.4（ティーツェの拡張定理）

ウリゾーンの補題の主要な帰結が、次のティーツェの拡張定理です。$X$ を正規空間、$A \subseteq X$ を閉集合、$f : A \to [a,b]$ を（部分空間の位相に関して）連続な写像とすると、連続な $F : X \to [a,b]$ で $F|_A = f$ なるものが存在します。値域を $\mathbb{R}$ 全体に取り替えても成立します。証明はウリゾーンの補題を可算回適用して一様収束する関数列を作るもので、Munkres『Topology』§35 にあります。関数列の一様極限が連続になるという事実については関数列と一様収束の 一様収束極限の連続性（Theorem 4.1）［関数列と一様収束］ を参照してください。逆に、この拡張性質から正規性が従うので、これも正規性の言い換えの一つです。

7. 距離づけ可能性：ウリゾーンの距離化定理

Corollary 5.4 により、T4 は距離づけ可能性の必要条件です。では十分条件は何でしょうか。T4 だけでは足りません（Example 7.4）。ウリゾーンが与えた答えは、可算性をもう一つ加えるというものでした。まず、第二可算性のもとでは正則性が正規性を自動的に含意することを見ます。

Proposition 7.1

$X$ が正則かつ第二可算公理を満たす位相空間ならば、$X$ は正規である。

Proof（Proposition 7.1）

$\mathcal{B}$ を可算基底（Definition 2.1）とし、$E, F$ を互いに素な閉集合とする。どちらかが空なら $\emptyset$ と $X$ で分離できるので、ともに空でないとしてよい。

第 1 段。 各 $x \in E$ に対し、$x \in B$ かつ $\overline{B} \cap F = \emptyset$ なる $B \in \mathcal{B}$ が存在することを示す。$x \notin F$ で $F$ は閉だから、Lemma 4.3 の 1 を開集合 $X \setminus F \ni x$ に適用して、開集合 $W$ で $x \in W \subseteq \overline{W} \subseteq X \setminus F$ なるものを得る。$\mathcal{B}$ は基底だから $x \in B \subseteq W$ なる $B \in \mathcal{B}$ が取れ、閉包の単調性より $\overline{B} \subseteq \overline{W} \subseteq X \setminus F$、すなわち $\overline{B} \cap F = \emptyset$。

こうして得られる $B$ たちを集めた族は $\mathcal{B}$ の部分族だから可算である。それを $U_1, U_2, \ldots$ と番号づける（有限個ならば同じものをくり返して可算列にする）。構成より $E \subseteq \bigcup_{n} U_n$ かつ $\overline{U_n} \cap F = \emptyset$ が全ての $n$ で成り立つ。$E$ と $F$ の役割を入れ替えて、同様に開集合列 $V_1, V_2, \ldots$ で $F \subseteq \bigcup_n V_n$ かつ $\overline{V_n} \cap E = \emptyset$ なるものを得る。

第 2 段（削り合わせ）。 単純に $\bigcup U_n$ と $\bigcup V_n$ を取っても交わりうるので、互いに相手の閉包を削ります。

$$U_n^{*} := U_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} \overline{V_k}, \qquad V_n^{*} := V_n \setminus \bigcup_{k=1}^{n} \overline{U_k}$$

とおく。有限個の閉集合の合併は閉だから、$U_n^{*}$ と $V_n^{*}$ は開集合から閉集合を除いたもので開である。$U^{*} := \bigcup_n U_n^{*}$、$V^{*} := \bigcup_n V_n^{*}$ とおく。

$E \subseteq U^{*}$：$x \in E$ とすると、ある $n$ で $x \in U_n$。また全ての $k$ で $\overline{V_k} \cap E = \emptyset$ だから $x \notin \overline{V_k}$。よって $x \in U_n^{*} \subseteq U^{*}$。同様に $F \subseteq V^{*}$。

$U^{*} \cap V^{*} = \emptyset$：$z \in U_m^{*} \cap V_n^{*}$ なる $z, m, n$ があったとし、対称性より $m \le n$ としてよい。$z \in U_m^{*} \subseteq U_m \subseteq \overline{U_m}$ である。一方 $z \in V_n^{*}$ は定義より $z \notin \overline{U_k}$（$k = 1, \ldots, n$）を意味し、$m \le n$ だから $z \notin \overline{U_m}$。これは矛盾である。

よって $U^{*}, V^{*}$ が $E, F$ の分離を与え、$X$ は正規である。

∎

Note

この証明で第二可算性が使われたのは第 1 段だけで、しかも使ったのは「$E$ の開被覆から可算部分被覆が取れる」という性質だけです。したがって同じ議論から「正則かつリンデレーフ（任意の開被覆が可算部分被覆を持つ）ならば正規」も従います。

Theorem 7.2（ウリゾーンの距離化定理）

$X$ を T1 かつ正則で第二可算公理を満たす位相空間（すなわち第二可算な T3 空間）とする。このとき $X$ は距離づけ可能である。

とくに、T1 かつ正規で第二可算な空間（第二可算な T4 空間）は距離づけ可能である。

Proof（Theorem 7.2）

後半が前半から従うことを先に見る。T4 空間では 1 点集合が閉（Proposition 3.2）なので、正規性を $E = \{x\}$ に適用すれば正則性が得られる（Remark 4.2）。よって第二可算な T4 空間は第二可算な T3 空間である。

以下、$X$ を第二可算な T3 空間とする。$X$ が空、または 1 点のみのときは離散距離を入れれば位相が一致するので、$X$ は少なくとも 2 点を持つとしてよい。Proposition 7.1 より $X$ は正規であり、Lemma 6.1 が使える。

第 1 段（可算個の関数族を作る）。 $\mathcal{B} = \{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ を可算基底とし、

$$\mathcal{P} := \{ (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : \overline{B_m} \subseteq B_n \}$$

とおく。$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は可算だから $\mathcal{P}$ も可算である。各 $(m,n) \in \mathcal{P}$ について、$\overline{B_m}$ と $X \setminus B_n$ は閉集合であり、$\overline{B_m} \subseteq B_n$ より互いに素だから、Lemma 6.1 により連続関数 $f_{m,n} : X \to [0,1]$ で

$$f_{m,n}(x) = 0 \quad (x \in \overline{B_m}), \qquad f_{m,n}(x) = 1 \quad (x \in X \setminus B_n)$$

を満たすものが取れる。

第 2 段（この族が点と開集合を分離すること）。 主張：任意の $x \in X$ と任意の開集合 $U \ni x$ に対し、ある $(m,n) \in \mathcal{P}$ が存在して $f_{m,n}(x) = 0$ であり、かつ $X \setminus U$ 上で $f_{m,n}$ は恒等的に $1$ である。

実際、$\mathcal{B}$ が基底だから $x \in B_n \subseteq U$ なる $n$ が取れる。$X$ は正則だから Lemma 4.3 の 1 より開集合 $W$ で $x \in W \subseteq \overline{W} \subseteq B_n$ なるものが存在する。再び基底性より $x \in B_m \subseteq W$ なる $m$ が取れ、$\overline{B_m} \subseteq \overline{W} \subseteq B_n$ だから $(m,n) \in \mathcal{P}$。このとき $x \in B_m \subseteq \overline{B_m}$ より $f_{m,n}(x) = 0$ であり、$X \setminus U \subseteq X \setminus B_n$ だから $X \setminus U$ 上で $f_{m,n} = 1$。主張が示された。

とくに $\mathcal{P} \ne \emptyset$ である（$X$ は 2 点以上を持ち T1 だから、$x \ne y$ に対し $U = X \setminus \{y\}$ は $x$ を含む開集合であり、上の主張が適用できる）。そこで $\mathcal{P}$ の元を並べて得られる関数列を $f_1, f_2, f_3, \ldots$ と書く（$\mathcal{P}$ が有限なら同じ関数をくり返して可算列にする）。

第 3 段（距離の構成）。

$$d(x,y) := \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \, |f_k(x) - f_k(y)|$$

と定める。各項は $2^{-k}$ 以下だから、この級数は $\sum_k 2^{-k} = 1$ で優級数比較でき、絶対収束して $d(x,y) \in [0,1]$ が確定する。対称性は明らか（各項が $x, y$ について対称）であり、三角不等式は各 $k$ について $|f_k(x)-f_k(z)| \le |f_k(x)-f_k(y)| + |f_k(y)-f_k(z)|$ を $2^{-k}$ 倍して足し上げれば従う。$d(x,x) = 0$ も各項が $0$ だから明らか。

$d(x,y) = 0 \Rightarrow x = y$：対偶を示す。$x \ne y$ とすると、T1 より $U := X \setminus \{y\}$ は $x$ を含む開集合である。第 2 段の主張よりある $k$ で $f_k(x) = 0$ かつ $X \setminus U = \{y\}$ 上で $f_k = 1$、すなわち $f_k(y) = 1$。よって $d(x,y) \ge 2^{-k}|f_k(x)-f_k(y)| = 2^{-k} > 0$。以上で $d$ は距離関数である。

第 4 段（$d$ の定める位相が元の位相 $\tau$ と一致すること）。 二つの包含を示す。

（i）$d$ の開球は $\tau$-開集合を含む、すなわち恒等写像 $(X,\tau) \to (X,d)$ は連続である。$x_0 \in X$ と $\varepsilon > 0$ を固定する。$2^{-N} < \varepsilon/2$ なる $N$ を取り、

$$W := \bigcap_{k=1}^{N} \{ x \in X : |f_k(x) - f_k(x_0)| < \varepsilon/2 \}$$

とおく。各 $f_k$ は $\tau$-連続だから各項は $\tau$-開集合であり、有限共通部分の $W$ も $\tau$-開で $x_0 \in W$。$x \in W$ ならば

$$d(x,x_0) = \sum_{k \le N} 2^{-k}|f_k(x)-f_k(x_0)| + \sum_{k > N} 2^{-k}|f_k(x)-f_k(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}\sum_{k\le N} 2^{-k} + \sum_{k>N} 2^{-k} \le \frac{\varepsilon}{2} + 2^{-N} < \varepsilon$$

（第 2 項では $|f_k(x)-f_k(x_0)| \le 1$ と $\sum_{k>N}2^{-k} = 2^{-N}$ を使った）。よって $W \subseteq B_d(x_0,\varepsilon)$ であり、$d$-開球は $\tau$-近傍である。

（ii）$\tau$-開集合は $d$-開である。$U \in \tau$ と $x \in U$ を取る。第 2 段の主張より、ある $k$ で $f_k(x) = 0$ かつ $X \setminus U$ 上で $f_k = 1$。$\varepsilon := 2^{-k}$ とおく。$d(x,y) < 2^{-k}$ ならば $2^{-k}|f_k(x)-f_k(y)| \le d(x,y) < 2^{-k}$ より $|f_k(y)| < 1$、とくに $f_k(y) \ne 1$ だから $y \notin X \setminus U$、すなわち $y \in U$。よって $B_d(x,\varepsilon) \subseteq U$。

（i）は $\tau \supseteq \tau_d$ を、（ii）は $\tau \subseteq \tau_d$ を与えるので $\tau = \tau_d$、すなわち $X$ は距離づけ可能である。

∎

Remark 7.3（ヒルベルト立方体への埋め込みとしての読み方）

上の証明で作った $d$ は、写像 $F(x) = (f_1(x), f_2(x), \ldots)$ による $X$ からヒルベルト立方体 $[0,1]^{\mathbb{N}}$ への埋め込みを、$[0,1]^{\mathbb{N}}$ 上の距離 $\rho(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) = \sum_k 2^{-k}|a_k - b_k|$ で引き戻したものにほかなりません。第 3 段が $F$ の単射性、第 4 段の（ii）が $F$ の像への開写像性に対応します。古典的には「第二可算な T3 空間はヒルベルト立方体の部分空間と同相である」と述べられます。

Example 7.4（ゾルゲンフライ直線：T4 だが距離づけ可能でない）

$\mathbb{R}$ に半開区間の族 $\{[a,b) : a < b\}$ を基底とする位相を入れた空間を $\mathbb{R}_\ell$ と書く（下限位相、ゾルゲンフライ直線）。基底の条件は、$x \in [a,b) \cap [c,d)$ なら $x \in [x, \min(b,d)) \subseteq [a,b)\cap[c,d)$ となることから確かめられる。

T3 であること。 まず $[a,b)$ は開かつ閉である：補集合 $(-\infty,a) \cup [b,\infty)$ は、$(-\infty,a) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}[a-n, a)$ と $[b,\infty) = \bigcup_{n\in\mathbb{N}}[b, b+n)$ がともに開だから開である。ゆえに $x \in U$（$U$ 開）なら $x \in [a,b) \subseteq U$ なる基底元が取れ、$\overline{[a,b)} = [a,b) \subseteq U$ となって Lemma 4.3 の 1 の条件が満たされる。よって正則。T1 性（およびハウスドルフ性）は、$x < y$ に対し $[x,y)$ と $[y,y+1)$ が互いに素で一方だけを含むことから従う。実は $\mathbb{R}_\ell$ は正規で T4 でもあるが、その証明はリンデレーフ性を経由するもので、Munkres『Topology』§31 の例を参照してほしい。

第二可算でないこと。 $\mathcal{B}$ を任意の基底とする。各 $x \in \mathbb{R}$ について $[x, x+1)$ は開だから、$x \in B_x \subseteq [x,x+1)$ なる $B_x \in \mathcal{B}$ が存在する。$B_x \subseteq [x,\infty)$ かつ $x \in B_x$ より $x = \min B_x$ である。したがって $x \ne y$ なら $\min B_x \ne \min B_y$ となり $B_x \ne B_y$、すなわち $x \mapsto B_x$ は単射である。ゆえに $\mathcal{B}$ の濃度は $\mathbb{R}$ の濃度以上で、可算ではない。

可分であること。 任意の基底元 $[a,b)$ は有理数を含むから $\mathbb{Q}$ は稠密であり、$\mathbb{R}_\ell$ は可分である。

距離づけ可能でないこと。 一般に、可分な距離空間は第二可算である。実際 $(X,d)$ に可算稠密集合 $D = \{x_n\}$ があるとき、$\mathcal{C} := \{B(x_n, 1/m) : n, m \in \mathbb{N}\}$ は可算族であり、基底になる：$U$ を開、$y \in U$ とし $B(y,\varepsilon) \subseteq U$ を取り、$1/m < \varepsilon/2$ なる $m$ を選ぶ。$D$ の稠密性より $d(y, x_n) < 1/m$ なる $n$ があり、このとき $y \in B(x_n, 1/m)$ であって、$z \in B(x_n,1/m)$ なら $d(z,y) \le d(z,x_n) + d(x_n,y) < 1/m + 1/m < \varepsilon$ だから $B(x_n,1/m) \subseteq B(y,\varepsilon) \subseteq U$ である。

$\mathbb{R}_\ell$ は可分だが第二可算でないので、距離づけ可能ではない。T4 という最上段の分離公理を満たしながら距離が入らないこの例が、Theorem 7.2 における第二可算性の仮定が本質的であることを示しています。

flowchart LR
M["距離づけ可能"] --> T4["T4 = T1 かつ正規"]
T4 --> T3["T3 = T1 かつ正則"]
T3 --> T2["T2 = ハウスドルフ"]
T2 --> T1["T1 = 1点集合が閉"]
T1 --> T0["T0"]
C2["第二可算"] -.-> UM(["ウリゾーンの距離化定理"])
T3 -.-> UM
UM -.-> M

分離公理の階層と、ウリゾーンの距離化定理の位置づけ。実線が一般に成り立つ含意、破線が定理による十分条件。

逆向きの含意がどこで破れるかを、この章で作った例で整理しておきます。

含意	反例	根拠
T0 $\Rightarrow$ T1 は偽	シェルピンスキー空間	Example 3.3
T1 $\Rightarrow$ T2 は偽	無限集合上の補有限位相	Example 3.4
T1 $\Rightarrow$ T2 は偽（点列の一意性があっても）	$\mathbb{R}$ 上の補可算位相	Example 3.6
T4 $\Rightarrow$ 距離づけ可能 は偽	ゾルゲンフライ直線	Example 7.4

Remark 7.5（距離化問題の最終形）

Theorem 7.2 は十分条件であって特徴づけではありません。ただし第二可算性を仮定する範囲では特徴づけになっています。Corollary 5.4 より距離づけ可能なら T4、したがって T3 であり、Example 7.4 中で示したとおり可分な距離空間は第二可算です。よって

$$X \text{ は可分距離づけ可能} \iff X \text{ は第二可算な T3 空間}$$

が成り立ちます（$\Leftarrow$ が Theorem 7.2、$\Rightarrow$ が上の二つ。空でない可算基底の各元から 1 点ずつ選べば可算稠密集合になるので、第二可算 $\Rightarrow$ 可分も成り立ちます）。

可分性を仮定しない一般の距離化定理は、1950 年前後に長田・スミルノフ・ビングによって独立に得られました。位相空間 $X$ が距離づけ可能であるための必要十分条件は、$X$ が T3 空間であって、かつ $\sigma$-局所有限な基底を持つことである（長田・スミルノフの距離化定理）。可算性を「$\sigma$-局所有限」という緩い有限性に置き換えたところが要点で、証明の骨格はやはりウリゾーンの補題による関数の構成です。証明は Engelking『General Topology』第 4 章にあります。

8. 演習

Exercise 8.1易

$X$ を正則な位相空間、$Y \subseteq X$ に部分空間の位相（$Y$ の開集合は $U \cap Y$、$U$ は $X$ の開集合）を入れる。$Y$ も正則であることを示せ。

Solution

$A \subseteq Y$ を $Y$ の閉集合、$y \in Y \setminus A$ とする。部分空間の閉集合は $X$ の閉集合との共通部分だから、$A = C \cap Y$ なる $X$ の閉集合 $C$ が存在する。$A \subseteq C$ より $\overline{A}^X \subseteq C$（$C$ は $A$ を含む閉集合）、したがって $\overline{A}^X \cap Y \subseteq C \cap Y = A$。いま $y \notin A$ なので $y \notin \overline{A}^X$ である（もし $y \in \overline{A}^X$ なら $y \in \overline{A}^X \cap Y \subseteq A$ となって矛盾）。

$\overline{A}^X$ は $X$ の閉集合で $y \notin \overline{A}^X$ だから、$X$ の正則性（Definition 4.1）より $X$ の開集合 $U, V$ で $y \in U$、$\overline{A}^X \subseteq V$、$U \cap V = \emptyset$ なるものが取れる。すると $U \cap Y$ と $V \cap Y$ は $Y$ の開集合で、$y \in U \cap Y$、$A \subseteq \overline{A}^X \cap Y \subseteq V \cap Y$、そして $(U\cap Y)\cap(V\cap Y) \subseteq U \cap V = \emptyset$。よって $Y$ は正則である。

同じ論法でハウスドルフ性・T1 性も部分空間に遺伝します。一方、正規性は部分空間に遺伝しません（ゾルゲンフライ平面 $\mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell$ の反対角線が古典的な反例です。Munkres『Topology』§31, §32 参照）。

Exercise 8.2標準

$X$ を位相空間、$\Delta := \{(x,x) : x \in X\} \subseteq X \times X$ を対角線集合とする（$X \times X$ には積位相、すなわち $U \times V$（$U, V$ は $X$ の開集合）を基底とする位相を入れる）。

1. $X$ がハウスドルフであることと $\Delta$ が $X \times X$ の閉集合であることは同値であることを示せ。
2. これを用いて、$X$ がハウスドルフ、$Z$ が位相空間、$f, g : Z \to X$ が連続、$D \subseteq Z$ が稠密で $f|_D = g|_D$ ならば $f = g$ であることを示せ。

Solution

1. （$\Rightarrow$）$(x,y) \in (X\times X)\setminus \Delta$ とすると $x \ne y$ だから、ハウスドルフ性より開集合 $U \ni x$、$V \ni y$ で $U \cap V = \emptyset$ なるものが取れる。$U \times V$ は $(x,y)$ を含む基底開集合であり、$U \times V$ と $\Delta$ が交わればある $z$ で $(z,z) \in U\times V$、すなわち $z \in U \cap V = \emptyset$ となって矛盾するから、$U \times V \subseteq (X\times X)\setminus\Delta$。よって補集合は開、$\Delta$ は閉。

（$\Leftarrow$）$x \ne y$ とすると $(x,y)$ は開集合 $(X\times X)\setminus\Delta$ に属するから、基底の性質より開集合 $U, V$ で $(x,y) \in U\times V \subseteq (X\times X)\setminus\Delta$ なるものが取れる。$z \in U \cap V$ があれば $(z,z) \in (U\times V)\cap\Delta$ で矛盾するので $U\cap V = \emptyset$。$x \in U$、$y \in V$ だからハウスドルフ性が示された。

2. $h : Z \to X\times X$ を $h(z) = (f(z), g(z))$ で定める。積位相の普遍性（各成分が連続なら連続）より $h$ は連続である。$A := h^{-1}(\Delta)$ は、1 より $\Delta$ が閉で $h$ が連続だから $Z$ の閉集合である。仮定 $f|_D = g|_D$ は $D \subseteq A$ を意味する。閉集合 $A$ が $D$ を含むので $\overline{D} \subseteq A$、$D$ の稠密性より $Z = \overline{D} \subseteq A$、すなわち $A = Z$。これは全ての $z$ で $f(z) = g(z)$、つまり $f = g$ を意味する。

この主張は「連続関数は稠密集合上の値で決まる」という、解析学で日常的に使う原理です。$X$ がハウスドルフでないと成り立ちません（密着位相の $X$ では任意の写像が連続なので、$D$ 上で一致する相異なる連続写像がいくらでも作れます）。

Exercise 8.3標準

距離空間 $(X,d)$ の正規性を、Lemma 5.1 を使わずに開球の合併だけで直接示せ。すなわち、互いに素な空でない閉集合 $E, F$ に対し、開球を合併して互いに素な開集合 $U \supseteq E$、$V \supseteq F$ を構成せよ。

Solution

$x \in E$ とすると $x \notin F$ で $F$ は閉だから $X \setminus F$ は $x$ を含む開集合であり、ある $r_x > 0$ で $B(x, r_x) \subseteq X\setminus F$、すなわち $B(x,r_x) \cap F = \emptyset$。同様に各 $y \in F$ に対し $s_y > 0$ で $B(y,s_y) \cap E = \emptyset$ を取る。そこで

$$U := \bigcup_{x \in E} B\!\left(x, \tfrac{r_x}{2}\right), \qquad V := \bigcup_{y \in F} B\!\left(y, \tfrac{s_y}{2}\right)$$

とおく。開球の合併だから $U, V$ は開で、$x \in B(x, r_x/2)$ より $E \subseteq U$、同様に $F \subseteq V$。

$U \cap V = \emptyset$ を示す。$z \in U \cap V$ とすると、ある $x \in E$、$y \in F$ で $d(z,x) < r_x/2$ かつ $d(z,y) < s_y/2$。三角不等式より

$$d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) < \frac{r_x}{2} + \frac{s_y}{2} \le \max(r_x, s_y).$$

$r_x \ge s_y$ ならば $d(x,y) < r_x$、すなわち $y \in B(x,r_x) \cap F$ となり $B(x,r_x)\cap F = \emptyset$ に矛盾。$r_x < s_y$ ならば $d(x,y) < s_y$、すなわち $x \in B(y,s_y)\cap E$ となり $B(y,s_y)\cap E=\emptyset$ に矛盾。いずれの場合も矛盾するので $U \cap V = \emptyset$。

なお、半径を半分にする操作は必須です。$U = \bigcup_x B(x,r_x)$、$V = \bigcup_y B(y,s_y)$ とすると、$\mathbb{R}$ で $E = \{0\}$、$F = \{1\}$、$r_0 = s_1 = 1$ と取ったときに $U = (-1,1)$ と $V = (0,2)$ が交わってしまいます。

Exercise 8.4難

位相空間 $X$ が第一可算公理を満たすとは、各点 $x$ が可算な近傍基底を持つこと、すなわち $x$ を含む開集合の可算族 $\{W_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$ が存在して、$x$ を含む任意の開集合 $U$ に対しある $n$ で $W_n(x) \subseteq U$ となることをいう。

$X$ が第一可算公理を満たし、かつ $X$ の任意の点列の極限が高々 1 つであるならば、$X$ はハウスドルフであることを示せ。（Example 3.6 の補可算位相では第一可算性が破れていることも確認せよ。）

Solution

対偶を示す。$X$ がハウスドルフでないとすると、ある $x \ne y$ が存在して、$x$ を含む任意の開集合と $y$ を含む任意の開集合が交わる。

$x$ の可算近傍基底 $\{W_n(x)\}$、$y$ の可算近傍基底 $\{W_n(y)\}$ を取り、$U_n := W_1(x)\cap\cdots\cap W_n(x)$、$V_n := W_1(y)\cap\cdots\cap W_n(y)$ とおく。有限共通部分だから $U_n$、$V_n$ は開で $x \in U_n$、$y \in V_n$ であり、$U_1 \supseteq U_2 \supseteq \cdots$、$V_1 \supseteq V_2 \supseteq \cdots$ と減少する。また $U_n \subseteq W_n(x)$ なので $\{U_n\}$ も $x$ の近傍基底である（$V_n$ も同様）。

仮定より各 $n$ で $U_n \cap V_n \ne \emptyset$ だから、$z_n \in U_n \cap V_n$ を選ぶ。$z_n \to x$ を示す：$x$ の開近傍 $U$ に対し、近傍基底の性質よりある $N$ で $U_N \subseteq U$、そして $n \ge N$ ならば減少性より $z_n \in U_n \subseteq U_N \subseteq U$。同様に $z_n \to y$。$x \ne y$ だから点列 $(z_n)$ は 2 つの相異なる極限を持ち、極限の一意性が破れる。対偶により主張が示された。

補可算位相の場合。 $\mathbb{R}$ に補可算位相を入れた空間は第一可算ではない。実際、$x$ の可算近傍基底 $\{W_n\}$ があったとすると各 $\mathbb{R}\setminus W_n$ は高々可算だから $S := \bigcup_n (\mathbb{R}\setminus W_n)$ も高々可算であり、$\mathbb{R}$ は非可算なので $y \in \mathbb{R}\setminus(S \cup \{x\})$ が取れる。$U := \mathbb{R}\setminus\{y\}$ は $x$ を含む開集合だが、$y \in W_n$ が全ての $n$ で成り立つので $W_n \subseteq U$ となる $n$ は存在せず、近傍基底であることに反する。これで Example 3.6 と本問が両立します。

参考文献

• J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000 — 第 4 章 “Countability and Separation Axioms”。分離公理、ウリゾーンの補題、距離化定理、ティーツェの拡張定理がこの順に並び、本稿の構成もこれに近い。
• 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968 — 第 6 章。日本語で分離公理を丁寧に扱った定番の入門書。
• 内田伏一『集合と位相』裳華房、1986 — 第 5 章・第 6 章。距離空間と位相空間の対比が明快。
• R. Engelking, General Topology, revised and completed ed., Heldermann, 1989 — 第 1 章（分離公理）、第 4 章（距離づけ可能空間）。長田・スミルノフの距離化定理を含む標準的な網羅文献。
• F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Veit, 1914 — 近傍公理による位相空間の最初の体系的導入。分離条件が公理に組み込まれている。
• P. Urysohn, “Zum Metrisationsproblem”, Mathematische Annalen 94 (1925) — 距離化定理の原論文。

Appendix: ウリゾーンの補題の証明

ここで Lemma 6.1 を証明します。$X$ を正規空間、$E, F$ を互いに素な閉集合とします。

第 1 段：二進有理数で添字づけた開集合の増大族を作る。 $D := \{k/2^n : n \ge 0,\ 0 \le k \le 2^n\}$ を $[0,1]$ の二進有理数全体とします。次を満たす開集合の族 $\{U_q\}_{q \in D}$ を構成します。

• $E \subseteq U_0$ かつ $U_1 = X \setminus F$。
• $p, q \in D$、$p < q$ ならば $\overline{U_p} \subseteq U_q$。

まず $U_1 := X \setminus F$ とおきます。$F$ は閉なので $U_1$ は開であり、$E \cap F = \emptyset$ より $E \subseteq U_1$。Lemma 4.3 の 2 を閉集合 $E$ と開集合 $U_1$ に適用して、開集合 $U_0$ で $E \subseteq U_0 \subseteq \overline{U_0} \subseteq U_1$ なるものを取ります。

以下、分母が $2^n$ の二進有理数すべてについて $U_q$ が定義され、それらのあいだで上の入れ子条件が成り立っているとして、分母 $2^{n+1}$ の新しい添字について定義します。新しい添字は $q = (2j+1)/2^{n+1}$（$0 \le j \le 2^n - 1$）の形で、その両隣 $p_- := j/2^n$ と $p_+ := (j+1)/2^n$ はすでに定義済みで $p_- < p_+$ ですから、帰納法の仮定より $\overline{U_{p_-}} \subseteq U_{p_+}$ です。Lemma 4.3 の 2 を閉集合 $\overline{U_{p_-}}$ と開集合 $U_{p_+}$ に適用して、開集合 $U_q$ で

$$\overline{U_{p_-}} \subseteq U_q \subseteq \overline{U_q} \subseteq U_{p_+}$$

なるものを取ります。分母 $2^{n+1}$ の二つの添字 $p < q$ のあいだの入れ子条件は、この構成と帰納法の仮定を組み合わせれば従います（$p < q$ なら $p$ と $q$ のあいだに分母 $2^n$ の添字を挟むか、隣接する場合は上の式そのものです）。以上で族 $\{U_q\}_{q\in D}$ が得られました。

第 2 段：関数の定義。

$$f(x) := \inf\{ q \in D : x \in U_q \}$$

と定めます。ただし右辺の集合が空のときは $f(x) := 1$ とします。$D \subseteq [0,1]$ なので $f(x) \in [0,1]$ です。

$x \in E$ ならば $x \in U_0$ なので $0$ が上の集合に属し、$f(x) = 0$。$x \in F$ ならば $x \notin U_1$ であり、$q \le 1$ なる全ての $q$ で $U_q \subseteq \overline{U_q} \subseteq U_1$（$q < 1$ のとき）または $U_q = U_1$（$q=1$ のとき）だから $x \notin U_q$、よって集合は空で $f(x) = 1$。境界条件は満たされました。

第 3 段：二つの評価。 次の 2 つを示します。

(a) $x \in \overline{U_q}$ ならば $f(x) \le q$。 (b) $x \notin U_q$ ならば $f(x) \ge q$。

(a)：$q < r$ なる任意の $r \in D$ について第 1 段の入れ子条件より $\overline{U_q} \subseteq U_r$、よって $x \in U_r$ となり $f(x) \le r$。$q$ より大きい二進有理数 $r$ は $q$ にいくらでも近く取れるので（$q < 1$ のときは $r \downarrow q$ が取れ、$q = 1$ のときは $f(x)\le 1$ が自明）、$f(x) \le q$。

(b)：$p < q$ なる任意の $p \in D$ について $U_p \subseteq \overline{U_p} \subseteq U_q$ だから、$x \notin U_q$ より $x \notin U_p$。よって $\{r \in D : x \in U_r\}$ は $q$ 未満の元を含まず、その下限は $q$ 以上（集合が空なら $f(x)=1 \ge q$）。すなわち $f(x) \ge q$。

第 4 段：連続性。 $x_0 \in X$ と $\varepsilon > 0$ を固定し、$f(x_0)$ の値で場合分けします。$c := f(x_0)$ と書きます。

(i) $0 < c < 1$ のとき。 二進有理数 $p, q$ を $p < c < q$ かつ $q - p < \varepsilon$ となるように取ります（$D$ は $[0,1]$ で稠密なのでこれは可能です）。$W := U_q \setminus \overline{U_p}$ とおくと、$U_q$ が開で $\overline{U_p}$ が閉だから $W$ は開です。

$x_0 \in W$ を確かめます。$f(x_0) = c < q$ より、下限の定義からある $r \in D$、$r < q$ で $x_0 \in U_r$ が存在し、入れ子条件より $U_r \subseteq \overline{U_r} \subseteq U_q$ ですから $x_0 \in U_q$。また $x_0 \in \overline{U_p}$ だとすると (a) より $f(x_0) \le p < c$ となって矛盾するので $x_0 \notin \overline{U_p}$。よって $x_0 \in W$。

$x \in W$ とすると、$x \in U_q \subseteq \overline{U_q}$ と (a) より $f(x) \le q$、また $x \notin \overline{U_p} \supseteq U_p$ と (b) より $f(x) \ge p$。よって $f(x) \in [p,q]$ であり、$f(x_0) = c \in [p,q]$ でもあるから $|f(x) - f(x_0)| \le q - p < \varepsilon$。

(ii) $c = 0$ のとき。 $q \in D$ を $0 < q < \varepsilon$ と取り、$W := U_q$ とおきます。(i) と同じ議論で $f(x_0) = 0 < q$ より $x_0 \in U_q$。$x \in W$ なら (a) より $f(x) \le q < \varepsilon$、また $f \ge 0$ なので $|f(x)-f(x_0)| = f(x) < \varepsilon$。

(iii) $c = 1$ のとき。 $p \in D$ を $1 - \varepsilon < p < 1$ と取り、$W := X \setminus \overline{U_p}$ とおきます。$x_0 \in \overline{U_p}$ なら (a) より $f(x_0) \le p < 1$ で矛盾するので $x_0 \in W$ であり、$W$ は開です。$x \in W$ なら $x \notin U_p$ だから (b) より $f(x) \ge p > 1-\varepsilon$、また $f \le 1$ なので $|f(x)-f(x_0)| = 1 - f(x) < \varepsilon$。

いずれの場合も、$x_0$ の開近傍 $W$ 上で $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ が成り立ちます。$\varepsilon$ は任意だったので、$f$ は $x_0$ で連続です。$x_0$ も任意でしたから $f$ は連続であり、Lemma 6.1 が証明されました。