ルベーグ積分の定義と収束定理：値域を分割して極限と積分を交換する

0. この記事の要点

• ルベーグ積分は値域を分割して定義します。指示関数から出発し、単関数 → 非負可測関数 → 一般の可積分関数、という 3 段階で積分を拡張します。
• 可測関数の全体は各点収束で閉じています。リーマン可積分関数の全体はそうではありません。この一点の差が、以下のすべての収束定理を生みます。
• 本章の目標は 3 つの定理です。単調収束定理（増加列なら無条件で交換可）、ファトゥの補題（不等式は常に成り立つ）、優収束定理（可積分な優関数があれば交換可）。一様収束は不要です。
• 有界関数が閉区間でリーマン可積分ならばルベーグ可積分で、積分値は一致します。逆は成り立たず、ディリクレ関数が反例です。リーマン可積分性は「不連続点の集合が測度 $0$」と同値です。
• 積分は零集合を見分けません。$f \ge 0$ に対し $\int f \, d\mu = 0$ と「$f = 0$ ほとんど至るところ」は同値であり、この視点が収束定理の仮定を「ほとんど至るところ」に緩めることを可能にします。

1. 動機：リーマン積分はなぜ極限に弱いのか

リーマン積分は、定義域 $[a,b]$ を細かい小区間に切り、各小区間上で関数をほぼ定数とみなして短冊の面積を足し上げる、という発想でできています。この発想は関数が連続なときには申し分なく働きますが、極限操作と組み合わせた途端に破綻します。次の例がその典型です。

$[0,1]$ の有理数全体は可算なので $q_1, q_2, q_3, \ldots$ と並べられます（濃度と無限 を参照）。そこで

$$f_n(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \{q_1, \ldots, q_n\}) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$$

とおきます。各 $f_n$ は有限個の点を除いて $0$ ですから、リーマン積分可能で $\int_0^1 f_n(x)\,dx = 0$ です。しかも $f_1 \le f_2 \le \cdots$ と単調増加し、各点で

$$f_n(x) \longrightarrow \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x) = \begin{cases} 1 & (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

に収束します。ところが極限のディリクレ関数 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ は、どんな小区間でも上限が $1$、下限が $0$ ですから、上積分が $1$、下積分が $0$ となってリーマン積分可能ではありません。リーマン可積分関数の増加列の各点極限が、リーマン可積分でないのです。これでは「積分できる関数の空間」として使い物になりません。

同じ弱さは、極限と積分の交換定理にも現れます。微分積分学では「$f_n \to f$ が一様収束ならば $\int f_n \to \int f$」という形の定理しか得られません（項別積分（Theorem 5.2）［関数列と一様収束］）。しかし一様収束は非常に強い要求で、フーリエ級数や確率論に出てくる関数列はたいてい一様には収束しません。

もう一つ、より深い理由があります。リーマン可積分関数の全体に $\|f\|_1 = \int |f|$ という距離を入れると、この空間は完備ではありません。上の $f_n$ はコーシー列ですが、極限はこの空間の外にあります。これは有理数体 $\mathbb{Q}$ が完備でないのと同じ状況で、実数の構成が必要だったのとまったく同じ理由から、積分の側にも「完備化」が必要になります（実数の完備性とコーシー列）。ルベーグ積分はこの完備化を与えます（リース–フィッシャーの定理（Theorem 5.3）［L^p 空間と関数解析への導入］）。

ルベーグ (Henri Lebesgue) が 1902 年の学位論文で導入した処方は、驚くほど単純な発想の転換でした。定義域ではなく値域を分割するのです。硬貨を数えるとき、受け取った順に足していくのがリーマン流、まず額面ごとに仕分けてから「額面 × 枚数」を足すのがルベーグ流だ、という比喩でしばしば説明されます。値域を $[0, \tfrac12), [\tfrac12, 1), \ldots$ と切り、各層について「その層に落ちる $x$ の集合の大きさ」を測って高さを掛ける。ここで「集合の大きさ」を測る道具が測度であり、それを前章で用意しました（可測集合とルベーグ測度）。

リーマン積分は定義域を、ルベーグ積分は値域を分割します。右図の各層の面積は「層の高さ × 底面集合の測度」です。

この転換の見返りは大きく、次の表にまとめられます。本章を読み終える頃には、右列のすべてが定理として手に入ります。

	リーマン積分	ルベーグ積分
分割する対象	定義域	値域
積分できる関数	有界かつ不連続点が少ない関数	可測関数（各点極限で閉じる）
極限との交換	一様収束が必要	各点収束 ＋ 優関数で十分
舞台	区間 $[a,b]$	任意の測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$
$\|f\|_1$ による完備性	完備でない	完備（リース–フィッシャーの定理）
広義積分	別枠の理論が必要	定義に最初から含まれる

2. 準備：測度空間と拡大実数

以下、$(X, \mathcal{M}, \mu)$ を測度空間とします。すなわち $\mathcal{M}$ は $X$ の部分集合からなる $\sigma$-加法族、$\mu : \mathcal{M} \to [0, \infty]$ は $\mu(\varnothing) = 0$ を満たし、互いに交わらない $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{M}$ について

$$\mu\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\Big) = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(E_n)$$

（可算加法性）を満たす写像です。$\mathcal{M}$ の元を可測集合と呼びます。具体例としては $X = \mathbb{R}^d$、$\mathcal{M}$ をルベーグ可測集合全体、$\mu = m$ をルベーグ測度とする場合を念頭に置いてください。ルベーグ測度は完備、つまり $m(N) = 0$ なる $N$ の任意の部分集合も可測で測度 $0$ である、という性質を持ちます。これらは前章 可測集合とルベーグ測度 の内容で、完備性は Proposition 4.3［可測集合とルベーグ測度］ から従います。

可算加法性から直ちに従う次の性質は、単調収束定理の証明で決定的に使いますので、証明も込めて確認しておきます。

Proposition 2.1（測度の下からの連続性）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、$E_1 \subset E_2 \subset E_3 \subset \cdots$ を可測集合の増加列とする。このとき

$$\mu\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\Big) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_n)$$

が成り立つ（両辺が $+\infty$ となる場合も含めて等号が成り立つ）。

Proof（Proposition 2.1）

$F_1 = E_1$、$n \ge 2$ に対し $F_n = E_n \setminus E_{n-1}$ とおきます。$\mathcal{M}$ は $\sigma$-加法族なので差集合も可測で、$F_n \in \mathcal{M}$ です。$E_n$ が増加列であることから $F_1, F_2, \ldots$ は互いに交わらず、

$$\bigcup_{k=1}^{n} F_k = E_n, \qquad \bigcup_{k=1}^{\infty} F_k = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$$

が成り立ちます。可算加法性を右の等式に、有限加法性（可算加法性で途中から $\varnothing$ を並べたもの）を左の等式に適用すると

$$\mu\Big(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\Big) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(F_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \mu(F_k) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_n)$$

となります。中央の等号は級数の定義そのもの、右端の等号は有限加法性です。なお非負項級数の部分和は単調増加なので、極限は（$+\infty$ を許せば）常に存在します。

∎

積分の理論では $+\infty$ を値として許すのが便利です。拡大実数の集合を $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty, +\infty]$ と書き、演算を $a + \infty = \infty$（$a > -\infty$）、$a \cdot \infty = \infty$（$a > 0$）、$a \cdot \infty = -\infty$（$a < 0$）と定めます。$\infty - \infty$ は定義しません。そして次の規約を置きます。

$$0 \cdot (\pm\infty) = 0.$$

Caution

$0 \cdot \infty = 0$ は「極限として自然」だから採用するのではありません（$1/n \cdot n \to 1$ のように極限は何にでもなり得ます）。測度 $\infty$ の集合の上で恒等的に $0$ の関数を積分したら $0$ になってほしい、という要請から決まる測度論に固有の規約です。この規約のおかげで、後述の単関数の積分が破綻なく定義できます。

集合 $E \subset X$ の指示関数を $\mathbf{1}_E$ と書きます（$x \in E$ のとき $1$、そうでないとき $0$）。この記事を通じて、$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ とし、$\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度は $m$ と書きます。

本章の論理の流れをあらかじめ図にしておきます。すべては単関数の積分という有限和から始まり、単調収束定理を軸に展開します。

flowchart TD
A["指示関数の積分：測度そのもの"] --> B["単関数の積分（有限和）"]
B --> C["非負可測関数の積分<br/>下から近似する単関数の上限"]
C --> D["単調収束定理"]
D --> E["積分の加法性・項別積分"]
D --> F["ファトゥの補題"]
C --> G["可積分関数の積分<br/>正部と負部の差"]
F --> H["優収束定理"]
G --> H
H --> I["リーマン積分との一致<br/>積分記号下の微分"]

ルベーグ積分の構成と 3 つの収束定理の依存関係

3. 可測関数

積分できる関数の候補を決めます。ルベーグ流に値域を切るのですから、「値がある範囲に入る $x$ の集合」が測れることを要求すればよい、というのが定義の動機です。

Definition 3.1（可測関数）

$(X, \mathcal{M})$ を可測空間とする。関数 $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ が $\mathcal{M}$-可測であるとは、任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して

$$\{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{M}$$

が成り立つことをいう。$X \subset \mathbb{R}^d$ でルベーグ可測集合族を考えているときは単に可測（またはルベーグ可測）という。

$\{x \in X : f(x) > a\}$ は以下 $\{f > a\}$ と略記します。定義に現れる不等号は、実は $\ge, <, \le$ のどれに取り替えても同値です。

Proposition 3.2（可測性の同値な言い換え）

$f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ について、次の 4 条件は同値である。

1. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f > a\} \in \mathcal{M}$。
2. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f \ge a\} \in \mathcal{M}$。
3. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f < a\} \in \mathcal{M}$。
4. 任意の $a \in \mathbb{R}$ に対し $\{f \le a\} \in \mathcal{M}$。

さらにこのとき $\{f = \infty\}$、$\{f = -\infty\}$、および任意の $a < b$ に対する $\{a \le f < b\}$ も可測である。

Proof（Proposition 3.2）

1 ⇒ 2：$\{f \ge a\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{f > a - \tfrac1n\}$ です。実際、$f(x) \ge a$ ならすべての $n$ で $f(x) > a - \tfrac1n$ が成り立ち、逆にすべての $n$ で $f(x) > a - \tfrac1n$ なら $f(x) \ge \lim_n (a - \tfrac1n) = a$ です。$\sigma$-加法族は可算交叉で閉じている（補集合と可算和から従う）ので、右辺は $\mathcal{M}$ に属します。

2 ⇒ 3：$\{f < a\} = X \setminus \{f \ge a\}$ で、補集合について閉じています。

3 ⇒ 4：$\{f \le a\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{f < a + \tfrac1n\}$。理由は 1 ⇒ 2 と同様です。

4 ⇒ 1：$\{f > a\} = X \setminus \{f \le a\}$。

以上で循環が閉じ、4 条件は同値です。付加部分は $\{f = \infty\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{f > n\}$、$\{f = -\infty\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{f < -n\}$、$\{a \le f < b\} = \{f \ge a\} \cap \{f < b\}$ から従います。

∎

Example 3.3（連続関数は可測）

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を連続関数とすると、$\{f > a\} = f^{-1}((a, \infty))$ は開集合の逆像なので開集合です。開集合はルベーグ可測（開区間の可算和として書けます）ですから、$f$ は可測です。同様に、単調関数 $f$ に対しても $\{f > a\}$ は区間なので可測です。可測でない関数を作るには選択公理が必要で、日常的に扱う関数はまず可測です。

可測関数の真価は、次の閉包性にあります。リーマン可積分関数の全体は各点極限で閉じていませんでしたが、可測関数の全体は閉じています。これが本章のすべての収束定理の土台です。

Proposition 3.4（可測関数の閉包性）

$(X,\mathcal{M})$ を可測空間とする。

1. $f_1, f_2, \ldots : X \to \overline{\mathbb{R}}$ が可測ならば、$\sup_n f_n$、$\inf_n f_n$、$\limsup_n f_n$、$\liminf_n f_n$ はいずれも可測である。とくに各点極限 $\lim_n f_n$ が存在すればそれも可測である。
2. $f$ が可測ならば $f^{+} = \max(f, 0)$、$f^{-} = \max(-f, 0)$、$|f| = f^{+} + f^{-}$、および $c \in \mathbb{R}$ に対する $cf$ は可測である。
3. $f, g : X \to \mathbb{R}$（実数値、$\pm\infty$ を取らない）が可測ならば $f + g$、$fg$、$\max(f,g)$、$\min(f,g)$ は可測である。

Proof（Proposition 3.4）

1. $g = \sup_n f_n$ とおくと、$g(x) > a$ となるのは、ある $n$ で $f_n(x) > a$ となるとき、かつそのときに限ります（上限が $a$ より大きいことと、$a$ を超える項が存在することは同値）。よって

$$\{g > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{f_n > a\} \in \mathcal{M}$$

です。$h = \inf_n f_n$ については、同様に $\{h < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{f_n < a\}$ となり、Proposition 3.2 の条件 3 から可測です。$\limsup$ と $\liminf$ は

$$\limsup_{n\to\infty} f_n = \inf_{k \ge 1}\ \sup_{n \ge k} f_n, \qquad \liminf_{n\to\infty} f_n = \sup_{k \ge 1}\ \inf_{n \ge k} f_n$$

と書けますから、いま示した $\sup$・$\inf$ の可測性を 2 回使えば可測です。各点極限が存在するときは $\lim_n f_n = \limsup_n f_n$ なので可測です。

2. $a \ge 0$ のとき $\{f^{+} > a\} = \{f > a\}$、$a < 0$ のとき $\{f^{+} > a\} = X$ です。いずれも $\mathcal{M}$ に属します。$f^{-} = \max(-f,0)$ については、まず $-f$ が可測であること（$\{-f > a\} = \{f < -a\}$ と Proposition 3.2）を使い、同じ議論を $-f$ に適用します。$c > 0$ なら $\{cf > a\} = \{f > a/c\}$、$c < 0$ なら $\{cf > a\} = \{f < a/c\}$、$c = 0$ なら $cf \equiv 0$ で $\{cf > a\}$ は $X$ か $\varnothing$ です。$|f| = f^{+} + f^{-}$ の可測性は 3 から従いますが、直接 $\{|f| > a\} = \{f > a\} \cup \{f < -a\}$（$a \ge 0$）と書いても分かります。

3. $f + g > a$ となるのは $f > a - g$ となるときであり、有理数の稠密性（Theorem 5.2［Completeness of the Real Numbers and Cauchy Sequences］）から、これは「ある有理数 $q$ で $f(x) > q$ かつ $q > a - g(x)$、すなわち $g(x) > a - q$ となるものが存在する」ことと同値です。よって

$$\{f + g > a\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \big(\{f > q\} \cap \{g > a - q\}\big)$$

となり、$\mathbb{Q}$ が可算なので右辺は $\mathcal{M}$ に属します。次に $f$ が可測なら $f^2$ も可測です。実際 $a < 0$ なら $\{f^2 > a\} = X$、$a \ge 0$ なら $\{f^2 > a\} = \{f > \sqrt{a}\} \cup \{f < -\sqrt{a}\}$ です。よって

$$fg = \tfrac14\big((f+g)^2 - (f-g)^2\big)$$

の右辺は、いま示した和・定数倍・平方の可測性の組合せなので可測です。最後に $\max(f,g) = \tfrac12(f + g + |f-g|)$、$\min(f,g) = \tfrac12(f+g-|f-g|)$ です。

∎

Remark 3.5

Proposition 3.4 の 1 は、リーマン積分の世界には対応物がありません。§1 の $f_n \to \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ の例では、各 $f_n$ はリーマン可積分でしたが極限はそうではありませんでした。一方、各 $f_n$ は可測（有限集合の指示関数）ですから、極限 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ も可測です。「まず可測性は無条件で保証され、そのうえで積分値が収束するかを問う」という二段構えが取れることが、ルベーグ理論の設計上の勝因です。

次の定理は、非負可測関数を単関数で下から汲み上げる手続きを与えます。積分の定義そのものと、その後の証明の大半がこの定理に依存します。ここで単関数とは、有限個の値しか取らない可測関数のことです。

Definition 3.6（単関数）

$s : X \to \mathbb{R}$ が単関数であるとは、$s$ が可測で、その値域が有限集合であることをいう。値域を $\{a_1, \ldots, a_N\}$（相異なる）とし $A_k = s^{-1}(a_k)$ とおくと、$A_1, \ldots, A_N$ は互いに交わらない可測集合で $X$ を覆い、

$$s = \sum_{k=1}^{N} a_k \mathbf{1}_{A_k}$$

と書ける。この表示を $s$ の標準表示という。

Theorem 3.7（単関数近似定理）

$f : X \to [0, \infty]$ を可測関数とする。このとき非負単関数の列 $s_1, s_2, \ldots$ で

$$0 \le s_1 \le s_2 \le \cdots \le f, \qquad \lim_{n \to \infty} s_n(x) = f(x) \quad (\forall x \in X)$$

を満たすものが存在する。さらに $f$ が有界ならば、この収束は $X$ 上一様である。

Proof（Theorem 3.7）

$\varphi_n : [0,\infty] \to [0,\infty)$ を

$$\varphi_n(t) = \begin{cases} 2^{-n}\lfloor 2^n t \rfloor & (0 \le t < n) \\ n & (n \le t \le \infty) \end{cases}$$

で定め、$s_n = \varphi_n \circ f$ とおきます（$\lfloor \cdot \rfloor$ は床関数）。

$s_n$ が単関数であること。 $\varphi_n$ の値域は $\{k 2^{-n} : 0 \le k \le n2^n\}$ という有限集合です。$k < n2^n$ に対し

$$s_n^{-1}(k2^{-n}) = f^{-1}\big([k2^{-n},\ (k+1)2^{-n})\big) = \{f \ge k2^{-n}\} \setminus \{f \ge (k+1)2^{-n}\}$$

であり、Proposition 3.2 よりこれは可測集合です。また $s_n^{-1}(n) = \{f \ge n\}$ も可測です。よって $s_n$ は有限個の値しか取らない可測関数、すなわち単関数です。

$s_n \le f$ であること。 $t < n$ のとき $2^{-n}\lfloor 2^n t\rfloor \le 2^{-n}\cdot 2^n t = t$、$t \ge n$ のとき $\varphi_n(t) = n \le t$ です。したがって $\varphi_n(t) \le t$ が常に成り立ち、$t = f(x)$ とすれば $s_n \le f$ を得ます。

単調増加であること。 $\varphi_n \le \varphi_{n+1}$ を示せば十分です。3 つの場合に分けます。

• $t \ge n+1$ のとき：$\varphi_n(t) = n < n+1 = \varphi_{n+1}(t)$。
• $n \le t < n+1$ のとき：$\varphi_n(t) = n$ であり、$\varphi_{n+1}(t) = 2^{-(n+1)}\lfloor 2^{n+1} t\rfloor \ge 2^{-(n+1)} \lfloor 2^{n+1} n \rfloor = n$。ここで床関数が単調非減少であることと $2^{n+1}n$ が整数であることを使いました。
• $t < n$ のとき：任意の実数 $u \ge 0$ について $2\lfloor u \rfloor$ は $2u$ 以下の整数なので $\lfloor 2u \rfloor \ge 2\lfloor u\rfloor$ です。$u = 2^n t$ とすれば $\lfloor 2^{n+1}t\rfloor \ge 2\lfloor 2^n t\rfloor$、したがって $\varphi_{n+1}(t) = 2^{-(n+1)}\lfloor 2^{n+1}t\rfloor \ge 2^{-n}\lfloor 2^n t\rfloor = \varphi_n(t)$。

各点収束すること。 $f(x) < \infty$ とします。$n > f(x)$ なる $n$ に対しては $\varphi_n$ の第 1 の場合が適用され、床関数の性質 $2^n f(x) - 1 < \lfloor 2^n f(x)\rfloor \le 2^n f(x)$ から

$$0 \le f(x) - s_n(x) < 2^{-n}$$

を得ます。よって $s_n(x) \to f(x)$ です。$f(x) = \infty$ のときは $s_n(x) = n \to \infty = f(x)$ です。

有界なら一様収束すること。 $f \le M < \infty$ とすると、$n > M$ なるすべての $n$ とすべての $x$ について上の評価が使え、$\sup_{x}|f(x) - s_n(x)| \le 2^{-n} \to 0$ となります。

∎

4. 単関数の積分

積分の出発点は指示関数です。「$\mathbf{1}_E$ の積分は $\mu(E)$ である」——この一行が積分の全内容であり、あとはそれを線型に伸ばしていくだけです。

Definition 4.1（非負単関数の積分）

$s : X \to [0,\infty)$ を非負単関数とし、その標準表示を $s = \sum_{k=1}^{N} a_k \mathbf{1}_{A_k}$（$a_k$ は相異なる値、$A_k = s^{-1}(a_k)$）とする。$s$ の $\mu$ に関する積分を

$$\int_X s \, d\mu = \sum_{k=1}^{N} a_k\, \mu(A_k) \in [0, \infty]$$

で定める。ここで $0 \cdot \infty = 0$ の規約を用いる。また可測集合 $E \in \mathcal{M}$ に対し $\int_E s\,d\mu = \int_X s\,\mathbf{1}_E \, d\mu$ とおく。

$0 \cdot \infty = 0$ の規約がここで働きます。たとえば $X = \mathbb{R}$、$s \equiv 0$ のとき標準表示は $s = 0 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{R}}$ で、$\mu(\mathbb{R}) = \infty$ ですが、規約により $\int s\,dm = 0$ となります。

標準表示は一意に定まりますが、実際の計算では重なりのない別の表示を使いたくなります。次の補題はそれを許し、同時に積分の基本性質を与えます。

Lemma 4.2（単関数の積分の基本性質）

$s, t : X \to [0,\infty)$ を非負単関数、$c \ge 0$ を定数とする。

1. （表示によらないこと）$A_1, \ldots, A_N \in \mathcal{M}$ が互いに交わらず $\bigcup_k A_k = X$ を満たし、$b_1,\ldots,b_N \ge 0$ が（相異なるとは限らず）$s = \sum_{k=1}^N b_k \mathbf{1}_{A_k}$ を満たすならば、$\int_X s\,d\mu = \sum_{k=1}^{N} b_k \mu(A_k)$ である。
2. （加法性と正斉次性）$\int_X (s+t)\,d\mu = \int_X s\,d\mu + \int_X t \,d\mu$ および $\int_X cs\,d\mu = c\int_X s\,d\mu$。
3. （単調性）$s \le t$ ならば $\int_X s\,d\mu \le \int_X t\,d\mu$。

Proof（Lemma 4.2）

1. $s$ の標準表示を $s = \sum_{j} a_j \mathbf{1}_{C_j}$（$a_j$ は相異なる値、$C_j = s^{-1}(a_j)$）とします。各 $k$ について、$A_k$ が空でなければ $A_k \subset C_{j(k)}$ となる添字 $j(k)$ がただ一つ存在し、$b_k = a_{j(k)}$ です（$A_k$ 上で $s$ の値は $b_k$ で一定だから）。逆に $C_j = \bigcup_{k : j(k) = j} A_k$ であり、この和は互いに交わりません。よって $\mu$ の有限加法性から $\mu(C_j) = \sum_{k : j(k)=j} \mu(A_k)$ となり、

$$\int_X s\,d\mu = \sum_j a_j \mu(C_j) = \sum_j a_j \sum_{k : j(k)=j} \mu(A_k) = \sum_{k} b_k \mu(A_k)$$

を得ます（$A_k = \varnothing$ の項は両辺で $0$ なので無視できます）。

2. $s = \sum_i a_i \mathbf{1}_{A_i}$、$t = \sum_j b_j \mathbf{1}_{B_j}$ を標準表示とします。$\{A_i \cap B_j\}_{i,j}$ は互いに交わらない可測集合の有限族で $X$ を覆い、その上で $s + t$ は定数 $a_i + b_j$ を取ります。よって 1 を $s+t$ に適用して

$$\int_X (s+t)\,d\mu = \sum_{i,j}(a_i + b_j)\,\mu(A_i \cap B_j) = \sum_{i}a_i \sum_j \mu(A_i\cap B_j) + \sum_j b_j \sum_i \mu(A_i \cap B_j).$$

ここで $A_i = \bigcup_j (A_i \cap B_j)$（$B_j$ が $X$ を覆うから）は互いに交わらない和なので、有限加法性より $\sum_j \mu(A_i \cap B_j) = \mu(A_i)$ です。同様に $\sum_i \mu(A_i\cap B_j) = \mu(B_j)$。したがって右辺は $\sum_i a_i \mu(A_i) + \sum_j b_j\mu(B_j) = \int s\,d\mu + \int t\,d\mu$ となります。正斉次性は、$c > 0$ なら $cs$ の標準表示が $\sum_i (ca_i)\mathbf{1}_{A_i}$ であることから、$c = 0$ なら両辺とも $0$（規約 $0\cdot\infty = 0$）であることから従います。

3. $u = t - s$ とおくと $u$ は非負単関数で $t = s + u$ です。2 より $\int t = \int s + \int u \ge \int s$ となります（$\int u \ge 0$）。

∎

単調収束定理の証明で使うために、もう一つ性質を用意します。単関数の積分は、積分範囲を動かすと再び測度になります。

Lemma 4.3（単関数が定める測度）

$s : X \to [0,\infty)$ を非負単関数とする。$\nu(E) = \int_E s\,d\mu$（$E \in \mathcal{M}$）とおくと、$\nu$ は $(X,\mathcal{M})$ 上の測度である。

Proof（Lemma 4.3）

$s = \sum_{k=1}^N a_k \mathbf{1}_{A_k}$ を標準表示とすると、$s\mathbf{1}_E = \sum_k a_k \mathbf{1}_{A_k \cap E}$ です。$\{A_k \cap E\}$ は互いに交わりませんが $X$ 全体は覆わないので、$X \setminus E$ を値 $0$ の集合として付け加えれば Lemma 4.2 の 1 が使え、

$$\nu(E) = \sum_{k=1}^{N} a_k\, \mu(A_k \cap E)$$

となります。$\nu(\varnothing) = 0$ は明らかです（各項が $a_k \mu(\varnothing) = 0$）。可算加法性を示します。$E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$（互いに交わらない可測集合）とすると、$A_k \cap E = \bigcup_n (A_k \cap E_n)$ も互いに交わらない和なので、$\mu$ の可算加法性から $\mu(A_k\cap E) = \sum_n \mu(A_k \cap E_n)$ です。よって

$$\nu(E) = \sum_{k=1}^{N} a_k \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_k\cap E_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{N} a_k \mu(A_k \cap E_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \nu(E_n)$$

となります。真ん中の等号は、非負項からなる有限個の級数の入れ替えなので無条件に許されます。

∎

Example 4.4（ディリクレ関数のルベーグ積分）

§1 で登場した $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ を $[0,1]$ 上で考えます。これは値 $0$ と $1$ しか取らない可測関数、すなわち単関数で、標準表示は

$$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}} = 1 \cdot \mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]} + 0 \cdot \mathbf{1}_{[0,1]\setminus\mathbb{Q}}$$

です。$\mathbb{Q}\cap[0,1]$ は可算集合なので、可算加法性から $m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = \sum_{n} m(\{q_n\}) = 0$ です。したがって

$$\int_{[0,1]} \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,dm = 1\cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.$$

リーマン積分では手も足も出なかった関数が、定義から 1 行で片付きます。しかも §1 で見たとおり $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ は $f_n$ の増加極限であり、$\int f_n\,dm = 0 \to 0 = \int \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,dm$ と、極限と積分の交換も成立しています。これが一般に成り立つ、というのが次節の主定理です。

5. 非負可測関数の積分と単調収束定理

Theorem 3.7 により、非負可測関数は単関数で下から汲み上げられます。そこで「下から近づけたときの上限」を積分と定めます。上限を取るのは、どの近似列を選んでも同じ値になるようにするためです。

Definition 5.1（非負可測関数のルベーグ積分）

$f : X \to [0,\infty]$ を可測関数とする。$f$ の $\mu$ に関するルベーグ積分を

$$\int_X f \, d\mu = \sup\left\{ \int_X s\,d\mu \ \middle|\ s \text{ は非負単関数で } 0 \le s \le f \right\} \in [0,\infty]$$

で定める。$E \in \mathcal{M}$ に対しては $\int_E f\,d\mu = \int_X f\mathbf{1}_E\,d\mu$ とする。

$f$ 自身が非負単関数のときは、Lemma 4.2 の単調性から $0 \le s \le f$ なる単関数 $s$ について $\int s \le \int f$ ですし、$s = f$ も候補に入るので上限は $\int f$ です。つまり Definition 4.1 と矛盾しません。また定義から直ちに、$0 \le f \le g$ ならば $f$ の候補集合は $g$ の候補集合に含まれるので

$$\int_X f\,d\mu \le \int_X g \,d\mu \qquad (\text{単調性})$$

が成り立ちます。以後この単調性は断りなく使います。

さて本章の中心となる定理です。

Theorem 5.2（単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理））

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、$f_n : X \to [0,\infty]$ を可測関数の列とし、すべての $x \in X$ と $n \in \mathbb{N}$ について

$$0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots$$

が成り立つとする。$f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$（$[0,\infty]$ の中での極限。単調増加なので必ず存在する）とおくと、$f$ は可測で

$$\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu = \int_X f\,d\mu$$

が成り立つ。

Proof（Theorem 5.2）

可測性。 $f = \lim_n f_n$ は可測関数列の各点極限なので、Proposition 3.4 の 1 より可測です。

$\le$ の向き。 $f_n \le f_{n+1} \le f$ ですから、単調性より $\int f_n \le \int f_{n+1} \le \int f$ です。したがって数列 $\left(\int f_n\right)_n$ は $[0,\infty]$ の中で単調増加であり、極限 $L = \lim_n \int f_n$ が存在して $L \le \int f$ を満たします。

$\ge$ の向き。 ここが本題です。$0 \le s \le f$ なる任意の非負単関数 $s$ と、任意の定数 $c \in (0,1)$ を固定します。$s$ の標準表示を $s = \sum_{k=1}^{N} a_k \mathbf{1}_{A_k}$ とし、

$$E_n = \{x \in X : f_n(x) \ge c\,s(x)\} = \bigcup_{k=1}^{N} \big(A_k \cap \{f_n \ge c\,a_k\}\big)$$

とおきます。右辺の表示から $E_n$ は可測集合です（$A_k$ と $\{f_n \ge ca_k\}$ が可測で、有限和を取っているだけ）。

$E_n$ について 2 点確認します。第一に、$f_n \le f_{n+1}$ より $E_n \subset E_{n+1}$、つまり増加列です。第二に $\bigcup_n E_n = X$ です。実際 $x \in X$ を任意に取ると、$s(x) = 0$ の場合は $f_1(x) \ge 0 = cs(x)$ なので $x \in E_1$ です。$s(x) > 0$ の場合は $c < 1$ より $c\,s(x) < s(x) \le f(x)$ であり、$f_n(x) \to f(x)$ かつ単調増加なので、ある $n$ で $f_n(x) > c\,s(x)$ となります。

さて $f_n \ge 0$ と $E_n$ の定義から、すべての $x$ で $f_n(x) \ge f_n(x)\mathbf{1}_{E_n}(x) \ge c\,s(x)\mathbf{1}_{E_n}(x)$ が成り立ちます。単調性と Lemma 4.2 の正斉次性を使うと

$$\int_X f_n \,d\mu \ \ge\ \int_X c\, s\,\mathbf{1}_{E_n}\,d\mu \ =\ c \int_{E_n} s\,d\mu \ =\ c\,\nu(E_n),$$

ただし $\nu(E) = \int_E s\,d\mu$ とおきました。Lemma 4.3 により $\nu$ は測度なので、Proposition 2.1（測度の下からの連続性）を増加列 $E_n$ に適用して

$$\lim_{n\to\infty}\nu(E_n) = \nu\Big(\bigcup_n E_n\Big) = \nu(X) = \int_X s\,d\mu$$

を得ます。したがって $n \to \infty$ として $L \ge c \int_X s\,d\mu$ です。ここで $c \in (0,1)$ は任意でしたから $c \uparrow 1$ とすれば $L \ge \int_X s\,d\mu$、さらに $s$ について上限を取れば Definition 5.1 より $L \ge \int_X f\,d\mu$ となります。

両向きを合わせて $L = \int_X f\,d\mu$ です。

∎

Tip

証明で $c < 1$ を挟むのは技術的な要ですが、理由ははっきりしています。$c = 1$ とすると $E_n = \{f_n \ge s\}$ の和が $X$ にならない場合（$f_n$ が $s$ に下から漸近するだけの点）があるからです。わずかに手加減した $cs$ なら必ず有限回で追い越せる、というのが $c$ の役割です。

単調収束定理があると、単関数について示した性質を非負可測関数へ「持ち上げる」ことができます。

Corollary 5.3（非負可測関数の積分の線型性と項別積分）

$f, g, f_1, f_2, \ldots : X \to [0,\infty]$ を可測関数、$c \ge 0$ を定数とする。

1. $\displaystyle\int_X (f+g)\,d\mu = \int_X f\,d\mu + \int_X g\,d\mu$、かつ $\displaystyle\int_X cf\,d\mu = c\int_X f\,d\mu$。
2. $\displaystyle\int_X \sum_{n=1}^{\infty} f_n \,d\mu = \sum_{n=1}^{\infty}\int_X f_n\,d\mu$（両辺とも $+\infty$ の場合を許す）。

Proof（Corollary 5.3）

1. Theorem 3.7 により、非負単関数の増加列 $s_n \uparrow f$、$t_n \uparrow g$ を取れます。すると $s_n + t_n$ も非負単関数の増加列で、各点で $s_n + t_n \to f + g$ です。Theorem 5.2 を 3 つの列 $(s_n)$、$(t_n)$、$(s_n+t_n)$ に適用し、途中で Lemma 4.2 の加法性を使うと

$$\int_X (f+g)\,d\mu = \lim_{n}\int_X (s_n+t_n)\,d\mu = \lim_n\left(\int_X s_n\,d\mu + \int_X t_n\,d\mu\right) = \int_X f\,d\mu + \int_X g\,d\mu$$

を得ます。最後の等号では、$[0,\infty]$ 内の 2 つの単調増加数列の和の極限が極限の和であること（両者が $\infty$ に発散する場合も含めて正しい）を使いました。$cf$ についても $cs_n \uparrow cf$ と正斉次性から同様です。

2. $g_N = \sum_{n=1}^{N} f_n$ とおくと、$f_n \ge 0$ より $(g_N)_N$ は可測関数の増加列で、各点で $\sum_{n=1}^\infty f_n$ に収束します。Theorem 5.2 と、1 を有限回使って得られる $\int g_N = \sum_{n=1}^N \int f_n$ から

$$\int_X \sum_{n=1}^{\infty}f_n\,d\mu = \lim_{N\to\infty}\int_X g_N \,d\mu = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\int_X f_n\,d\mu = \sum_{n=1}^{\infty}\int_X f_n\,d\mu$$

となります。

∎

Remark 5.4

非負可測関数の積分は、値域の分割という原点に立ち返ると

$$\int_X f\,d\mu = \int_0^{\infty} \mu(\{f > t\})\,dt$$

という形にも書けます（右辺は非増加関数の広義リーマン積分、あるいは $(0,\infty)$ 上のルベーグ積分）。これは「層の高さ × 底面の測度を足す」という §1 の直観をそのまま式にしたもので、層状表示と呼ばれます。証明には積測度に対するトネリの定理が必要なので本章では扱いません。Folland, Real Analysis, Chapter 2 に証明があります。

Example 5.5（広義積分が定義に組み込まれている例）

$f(x) = x^{-1/2}$（$0 < x \le 1$）、$f(0) = \infty$ とおきます。$f$ は $[0,1]$ 上の非負可測関数です（$(0,1]$ 上で連続、$\{f > a\}$ は区間）。リーマン積分では $f$ は非有界なので広義積分として別に定義する必要がありましたが、ルベーグ積分では Definition 5.1 がそのまま適用できます。

$f_n = f \cdot \mathbf{1}_{[1/n,1]}$ とおくと、$(f_n)$ は非負可測関数の増加列で各点 $x \in (0,1]$ で $f(x)$ に収束します（$x = 0$ では $f_n(0) = 0$ ですが、$\{0\}$ は測度 $0$ なので後述のとおり積分には影響しません。ここでは $f\mathbf{1}_{(0,1]}$ を対象と考えれば増加列の極限がちょうど一致します）。各 $f_n$ は $[1/n,1]$ 上連続な有界関数なので、後述の Theorem 8.1 によりリーマン積分と一致し、

$$\int_{[0,1]} f_n \,dm = \int_{1/n}^{1} x^{-1/2}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_{1/n}^{1} = 2 - \frac{2}{\sqrt{n}}.$$

Theorem 5.2 より

$$\int_{[0,1]} x^{-1/2}\,dm(x) = \lim_{n\to\infty}\left(2 - \frac{2}{\sqrt n}\right) = 2$$

です。極限操作は定理が保証してくれるので、「広義積分が収束するかどうか」を別立ての理論として議論する必要がありません。

Example 5.6（項別積分でバーゼル問題の値を出す）

$\displaystyle\int_{(0,1)} \frac{-\log x}{1-x}\,dm(x)$ を計算します。$x \in (0,1)$ では $-\log x > 0$、$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$（幾何級数、各項は正）ですから、被積分関数は非負可測関数の級数

$$\frac{-\log x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n(-\log x)$$

として表せます。すべての項が非負なので Corollary 5.3 の 2 がそのまま使えます。各項の積分は、$x = e^{-u}$（$dx = -e^{-u}du$、$x : 0 \to 1$ のとき $u : \infty \to 0$）と置換して

$$\int_{(0,1)} x^n(-\log x)\,dm(x) = \int_{0}^{\infty} u\,e^{-(n+1)u}\,du = \frac{1}{(n+1)^2}$$

となります（最後は $\int_0^\infty u e^{-au}du = 1/a^2$）。したがって

$$\int_{(0,1)}\frac{-\log x}{1-x}\,dm(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$

級数と積分の交換に一様収束の確認がまったく要らない点に注目してください。必要だったのは各項が非負であることだけです。

6. ファトゥの補題と「ほとんど至るところ」

単調収束定理は増加列という強い仮定を置いていました。仮定を外すと等号は崩れますが、不等式は常に生き残ります。それがファトゥの補題です。

Lemma 6.1（ファトゥの補題）

$f_n : X \to [0,\infty]$（$n \in \mathbb{N}$）を可測関数の列とする。単調性も収束も仮定しない。このとき

$$\int_X \liminf_{n\to\infty} f_n \,d\mu \ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n \,d\mu$$

が成り立つ。

Proof（Lemma 6.1）

$g_k = \inf_{n \ge k} f_n$ とおきます。Proposition 3.4 の 1 より各 $g_k$ は可測で、明らかに $g_k \ge 0$ です。また $k$ が増えると下限を取る範囲が狭まるので $g_1 \le g_2 \le \cdots$、すなわち増加列であり、$\liminf$ の定義から各点で $g_k \uparrow \liminf_{n} f_n$ です。

一方、$n \ge k$ なるすべての $n$ について $g_k \le f_n$ ですから、積分の単調性より $\int g_k \le \int f_n$ が $n \ge k$ で成り立ちます。右辺について $n \ge k$ の範囲で下限を取ると

$$\int_X g_k \,d\mu \ \le\ \inf_{n\ge k}\int_X f_n\,d\mu.$$

ここで $k \to \infty$ とします。左辺には Theorem 5.2（増加列 $g_k$）が使えて $\int g_k \to \int \liminf_n f_n$、右辺は $\liminf$ の定義そのもので $\inf_{n\ge k}\int f_n \to \liminf_n \int f_n$ です。不等式は極限で保たれるので

$$\int_X \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu$$

を得ます。

∎

不等号が真に成り立つ（等号が破れる）状況は 3 通りの典型があり、これを知っておくと収束定理の仮定の意味が腑に落ちます。

Example 6.2（質量が逃げる 3 つの様式）

いずれも $X = \mathbb{R}$、$\mu = m$、$f_n \ge 0$、$f_n \to 0$ が各点で成り立つのに $\int f_n \,dm = 1$ となる例です。

名前	関数	何が起きているか
縦に逃げる	$f_n = n\,\mathbf{1}_{(0,1/n)}$	高さ $n$、幅 $1/n$。台が一点に潰れながら高さが発散
横に逃げる	$f_n = \mathbf{1}_{[n,\,n+1]}$	形はそのままで無限遠へ平行移動
平らに逃げる	$f_n = \frac1n \mathbf{1}_{[0,n]}$	高さ $1/n \to 0$、幅 $n \to \infty$

たとえば 1 番目では、$x > 0$ を固定すると $n > 1/x$ で $f_n(x) = 0$ なので $f_n(x) \to 0$、$x \le 0$ では常に $0$ です。よって $\liminf_n f_n = 0$（各点）で $\int \liminf_n f_n\,dm = 0$。一方 $\int f_n\,dm = n \cdot m((0,1/n)) = n\cdot \frac1n = 1$ なので $\liminf_n \int f_n\,dm = 1$ となり、ファトゥの補題は $0 \le 1$ という真の不等式になります。残り 2 つも同様に計算できます。

3 つの例に共通するのは、$\sup_n f_n$ が可積分でないことです。1 番目では $\sup_n f_n(x) \ge \frac{1}{2x}$ 程度、3 番目では $\sup_n f_n$ は $\mathbb{R}$ 上で減衰が遅すぎて積分が発散します。逃げ道を塞ぐ「共通のふた」があれば等号が回復する——これが次節の優収束定理です。

ここで、本テーマを通じて繰り返し現れる概念を正式に導入します。積分は零集合の上での関数の値をまったく見ていません。

Definition 6.3（ほとんど至るところ）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とし、$X$ の点に関する命題 $P(x)$ を考える。$\mu(N) = 0$ なる $N \in \mathcal{M}$ が存在して、$x \in X\setminus N$ のすべてで $P(x)$ が成り立つとき、$P$ は $\mu$-ほとんど至るところ（almost everywhere）成り立つといい、「$P$ a.e.」と書く。$\mu(N)=0$ なる $N$ を零集合と呼ぶ。

Proposition 6.4（零集合は積分に影響しない）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とする。

1. $f : X \to [0,\infty]$ が可測のとき、$\displaystyle\int_X f\,d\mu = 0$ であることと $f = 0$ a.e. であることは同値である。
2. $f, g : X \to [0,\infty]$ が可測で $f = g$ a.e. ならば $\displaystyle\int_X f\,d\mu = \int_X g\,d\mu$。
3. $f : X \to [0,\infty]$ が可測で $\displaystyle\int_X f\,d\mu < \infty$ ならば $f < \infty$ a.e. である。
4. 可算個の零集合の和集合は零集合である。

Proof（Proposition 6.4）

1.（⇐） $N = \{f > 0\}$ とおくと、仮定より $\mu(N) = 0$ です（$f = 0$ a.e. なので $N$ は零集合に含まれ、$N$ 自身可測なので測度は $0$）。$0 \le s \le f$ なる非負単関数 $s = \sum_k a_k\mathbf{1}_{A_k}$（標準表示）を任意に取ると、$a_k > 0$ なる $k$ については $A_k \subset \{f > 0\} = N$ なので $\mu(A_k) \le \mu(N) = 0$、よって $a_k\mu(A_k) = 0$ です。$a_k = 0$ の項も規約 $0\cdot\infty = 0$ により $0$ です。したがって $\int s\,d\mu = 0$ となり、上限を取って $\int f\,d\mu = 0$ を得ます。

1.（⇒） 対偶を示します。$f = 0$ a.e. でない、すなわち $\mu(\{f>0\}) > 0$ とします。$\{f > 0\} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{f > \tfrac1n\}$ であり、右辺は増加列の和なので Proposition 2.1 より $\mu(\{f>\tfrac1n\}) \to \mu(\{f>0\}) > 0$ です。よってある $n$ で $\delta = \mu(\{f > \tfrac1n\}) > 0$ となります。単関数 $s = \tfrac1n \mathbf{1}_{\{f > 1/n\}}$ は $0 \le s \le f$ を満たすので

$$\int_X f\,d\mu \ \ge\ \int_X s\,d\mu = \frac{\delta}{n} > 0$$

となり、$\int f\,d\mu \ne 0$ です。

2. $N$ を $\mu(N)=0$ かつ $X\setminus N$ 上で $f = g$ なる可測集合とします。$f\mathbf{1}_{X\setminus N} = g\mathbf{1}_{X\setminus N}$ であり、$f = f\mathbf{1}_{X\setminus N} + f\mathbf{1}_N$ です。Corollary 5.3 の 1 より $\int f = \int f\mathbf{1}_{X\setminus N} + \int f \mathbf{1}_N$ ですが、$f\mathbf{1}_N$ は $X \setminus N$ 上で $0$、つまり $f\mathbf{1}_N = 0$ a.e. なので 1 の（⇐）より $\int f\mathbf{1}_N\,d\mu = 0$ です。$g$ についても同様なので $\int f = \int f\mathbf{1}_{X\setminus N} = \int g\mathbf{1}_{X\setminus N} = \int g$ となります。

3. $A = \{f = \infty\}$ とおき $\mu(A) = \delta > 0$ と仮定します。任意の $n$ について $n\mathbf{1}_A$ は $0 \le n\mathbf{1}_A \le f$ なる単関数なので $\int f\,d\mu \ge n\delta$ です。$n$ は任意なので $\int f\,d\mu = \infty$ となり、仮定に反します。

4. $\mu(N_k) = 0$（$k\in\mathbb{N}$）とすると、可算劣加法性（可算加法性から従う）より $\mu\left(\bigcup_k N_k\right) \le \sum_k \mu(N_k) = 0$ です。

∎

Remark 6.5

Proposition 6.4 の 2 は、ルベーグ積分論の対象が実は「関数」ではなく「零集合の違いを無視した関数の同値類」であることを示しています。この視点を徹底したものが $L^p$ 空間で、そこでは $f = g$ a.e. なる 2 つの関数を最初から同一視します（商をとらないとノルムにならない（Remark 3.3）［L^p 空間と関数解析への導入］）。4 は地味ですが重要で、収束定理の仮定を「すべての $x$ で」から「a.e. で」に緩めるときに必ず使います。可算個の例外集合を一つにまとめても、まだ零集合のままなのです。

7. 可積分関数と優収束定理

符号が変わる関数の積分は、正の部分と負の部分に分けて定義します。$f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ に対し

$$f^{+} = \max(f, 0), \qquad f^{-} = \max(-f, 0)$$

とおくと、$f^{\pm} \ge 0$、$f = f^{+} - f^{-}$、$|f| = f^{+} + f^{-}$ が成り立ちます。$f$ が可測ならば Proposition 3.4 の 2 より $f^{\pm}$ と $|f|$ も可測です。

Definition 7.1（可積分関数と積分）

$f : X \to \overline{\mathbb{R}}$ を可測関数とする。

$$\int_X |f|\,d\mu < \infty$$

が成り立つとき $f$ は $\mu$-可積分であるといい、$f \in L^1(\mu)$ と書く。このとき $\int f^{+}d\mu$ と $\int f^{-}d\mu$ はいずれも有限なので、

$$\int_X f\,d\mu = \int_X f^{+}\,d\mu - \int_X f^{-}\,d\mu \in \mathbb{R}$$

と定める。また $\|f\|_1 = \int_X |f|\,d\mu$ とおく。

$|f| = f^+ + f^-$ と Corollary 5.3 より $\int|f| = \int f^+ + \int f^-$ ですから、$\int|f| < \infty$ は「$\int f^+$ と $\int f^-$ がともに有限」と同値です。この定義が絶対可積分性を要求している点は重要で、あとで見るように広義リーマン積分との違いを生みます。

Proposition 7.2（L^1 の線型性と三角不等式）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とする。

1. $f, g \in L^1(\mu)$、$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ ならば $\alpha f + \beta g \in L^1(\mu)$ であり

$$\int_X (\alpha f + \beta g)\,d\mu = \alpha\int_X f\,d\mu + \beta \int_X g\,d\mu.$$

（$f, g$ が $\pm\infty$ を取る点があっても、Proposition 6.4 の 3 よりそれは零集合上なので、そこで値を $0$ に置き換えて考えてよい。） 2. $f \in L^1(\mu)$ ならば $\left|\int_X f\,d\mu\right| \le \int_X |f|\,d\mu$。 3. $f \in L^1(\mu)$、$g$ 可測、$|g| \le |f|$ a.e. ならば $g \in L^1(\mu)$。

Proof（Proposition 7.2）

1. まず $\beta = 0$、$\alpha \ge 0$ の場合は $(\alpha f)^{\pm} = \alpha f^{\pm}$ と Corollary 5.3 から従います。$\alpha = -1$ のときは $(-f)^{+} = f^{-}$、$(-f)^{-} = f^{+}$ なので $\int(-f) = \int f^{-} - \int f^{+} = -\int f$ です。よって定数倍は片付き、加法性 $\int(f+g) = \int f + \int g$ を示せば十分です。

$h = f + g$ とおきます。$|h| \le |f| + |g|$ と単調性・Corollary 5.3 より $\int|h| \le \int|f| + \int|g| < \infty$ なので $h \in L^1(\mu)$ です。さて $h^{+} - h^{-} = h = (f^{+}-f^{-}) + (g^{+}-g^{-})$ を、引き算が現れないように移項すると

$$h^{+} + f^{-} + g^{-} = h^{-} + f^{+} + g^{+}$$

となります。両辺は非負可測関数の和なので Corollary 5.3 の 1 が使えて

$$\int h^{+} + \int f^{-} + \int g^{-} = \int h^{-} + \int f^{+} + \int g^{+}.$$

$f, g, h \in L^1$ よりこれら 6 つの積分はすべて有限です。したがって移項してよく、

$$\int h^{+} - \int h^{-} = \left(\int f^{+} - \int f^{-}\right) + \left(\int g^{+} - \int g^{-}\right),$$

すなわち $\int h = \int f + \int g$ を得ます。有限性を確認してから移項した、という手順が本質です。

2. $\int f = \int f^{+} - \int f^{-}$ で、両者は非負の有限値ですから

$$\left|\int_X f\,d\mu\right| = \left|\int f^{+} - \int f^{-}\right| \le \int f^{+} + \int f^{-} = \int_X |f|\,d\mu.$$

3. $|g| \le |f|$ a.e. なので、Proposition 6.4 の 2 を非負可測関数 $|g|$ と $\min(|g|,|f|)$ に適用するか、あるいは例外の零集合 $N$ を取って $\int|g| = \int_{X\setminus N}|g| \le \int_{X\setminus N}|f| \le \int|f| < \infty$ と評価すればよく、$g \in L^1(\mu)$ です。

∎

いよいよ本章の到達点です。

Theorem 7.3（ルベーグの優収束定理）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、$f_n : X \to \overline{\mathbb{R}}$（$n\in\mathbb{N}$）を可測関数の列、$f : X\to\overline{\mathbb{R}}$ を可測関数とし、次の 2 条件を仮定する。

1. （各点収束）$f_n \to f$ が $\mu$-ほとんど至るところ成り立つ。
2. （可積分な優関数の存在）ある $g \in L^1(\mu)$ が存在して、各 $n$ に対し $|f_n| \le g$ が $\mu$-ほとんど至るところ成り立つ。

このとき $f \in L^1(\mu)$、各 $f_n \in L^1(\mu)$ であり、

$$\lim_{n\to\infty}\int_X |f_n - f|\,d\mu = 0, \qquad \text{したがって} \qquad \lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu = \int_X f\,d\mu$$

が成り立つ。

Proof（Theorem 7.3）

例外集合の整理。 仮定 1 の例外集合を $N_0$、仮定 2 の各 $n$ に対する例外集合を $N_n$ とすると、これらは可算個の零集合なので、Proposition 6.4 の 4 より $N = \bigcup_{n\ge0}N_n$ も零集合です。$X\setminus N$ 上ではすべての仮定が例外なく成り立ちます。Proposition 6.4 の 2 により、$N$ 上で $f_n, f, g$ の値を $0$ に取り替えても、以下に現れるすべての積分の値は変わりません。そこで最初からすべての $x \in X$ で $f_n(x)\to f(x)$ と $|f_n(x)| \le g(x)$ が成り立つとしてよいことになります。

可積分性。 $|f_n| \le g$ と Proposition 7.2 の 3 より $f_n \in L^1(\mu)$ です。また $|f| = \lim_n |f_n| \le g$ なので同様に $f \in L^1(\mu)$ です。

主張の核心。 $h_n = |f_n - f|$ とおくと $h_n \ge 0$ で、$h_n \le |f_n| + |f| \le 2g$ です。したがって

$$2g - h_n \ge 0$$

は非負可測関数の列です。各点で $h_n \to 0$ なので $2g - h_n \to 2g$（各点）であり、$\liminf_n (2g - h_n) = 2g$ です。Lemma 6.1 を列 $(2g - h_n)$ に適用すると

$$\int_X 2g\,d\mu \ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int_X (2g - h_n)\,d\mu.$$

右辺を分解します。$2g \in L^1$、$h_n \in L^1$ なので Proposition 7.2 の 1 より $\int(2g-h_n) = \int 2g - \int h_n$ であり、$\int 2g$ は有限な定数ですから

$$\liminf_{n\to\infty}\left(\int 2g\,d\mu - \int h_n\,d\mu\right) = \int 2g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int h_n\,d\mu$$

が成り立ちます（有限な定数から引くとき $\liminf$ と $\limsup$ が入れ替わる、という数列の一般則）。以上を合わせると

$$\int_X 2g\,d\mu \le \int_X 2g\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int_X h_n\,d\mu.$$

$\int 2g\,d\mu < \infty$ なのでこれを両辺から引くことができ、$\limsup_n \int h_n\,d\mu \le 0$ を得ます。$h_n \ge 0$ より $\int h_n \ge 0$ ですから、結局 $\lim_n \int_X |f_n - f|\,d\mu = 0$ です。

最後に Proposition 7.2 の 1 と 2 から

$$\left|\int_X f_n\,d\mu - \int_X f\,d\mu\right| = \left|\int_X (f_n - f)\,d\mu\right| \le \int_X|f_n-f|\,d\mu \longrightarrow 0$$

となり、$\int f_n \to \int f$ が従います。

∎

Note

優関数の仮定を落とすと結論は崩れます。Example 6.2 の 3 つの例はいずれも各点収束していますが $\int f_n \not\to \int f$ でした。逆に言えば、優収束定理の仮定 2 は「Example 6.2 の逃げ道をすべて塞ぐ」ための最小限の要求だと理解できます。なお $\mu(X) < \infty$ で $|f_n| \le M$（定数）ならば $g \equiv M$ が可積分なので、有界収束定理が系として得られます。

優収束定理の威力を示す典型的な応用を挙げます。パラメータについての微分と積分の交換です。

Corollary 7.4（積分記号下の微分）

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間、$I \subset \mathbb{R}$ を開区間、$f : X \times I \to \mathbb{R}$ が次を満たすとする。

1. 各 $t \in I$ について $x \mapsto f(x,t)$ は可積分。
2. 各 $x\in X$ について $t\mapsto f(x,t)$ は $I$ 上微分可能。その導関数を $\partial_t f(x,t)$ と書く。
3. ある $g\in L^1(\mu)$ が存在して、すべての $x \in X$、$t\in I$ で $|\partial_t f(x,t)| \le g(x)$。

このとき $F(t) = \int_X f(x,t)\,d\mu(x)$ は $I$ 上微分可能で、

$$F'(t) = \int_X \partial_t f(x,t)\,d\mu(x) \qquad (t \in I)$$

が成り立つ。

Proof（Corollary 7.4）

$t\in I$ を固定し、$0$ に収束する任意の実数列 $(h_n)$（$h_n \ne 0$、$t + h_n \in I$）を取ります。関数列

$$\phi_n(x) = \frac{f(x, t+h_n) - f(x,t)}{h_n}$$

を考えます。各 $\phi_n$ は可積分関数の線型結合なので Proposition 7.2 の 1 より可積分です。仮定 2 より各点で $\phi_n(x) \to \partial_t f(x,t)$ であり、Proposition 3.4 の 1 よりこの極限関数は可測です。

優関数を作ります。$t$ と $t+h_n$ を結ぶ区間で $s \mapsto f(x,s)$ に平均値の定理（Theorem 3.3［Mean Value Theorems and Taylor's Theorem］）を適用すると、$t$ と $t+h_n$ の間のある $\theta$ が存在して

$$\phi_n(x) = \partial_t f(x,\theta)$$

となります。仮定 3 より $|\phi_n(x)| \le g(x)$ がすべての $n, x$ で成り立ちます。

したがって Theorem 7.3 が適用でき、

$$\lim_{n\to\infty}\frac{F(t+h_n)-F(t)}{h_n} = \lim_{n\to\infty}\int_X \phi_n\,d\mu = \int_X \partial_t f(x,t)\,d\mu(x)$$

を得ます（第 1 の等号は Proposition 7.2 の線型性）。$0$ に収束する任意の列 $(h_n)$ について同じ極限値が得られたので、関数の極限の数列による特徴づけにより $F'(t)$ が存在してこの値に等しくなります。

∎

Example 7.5（広義リーマン積分可能だがルベーグ可積分でない関数）

$f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$（$x > 0$）を考えます。広義リーマン積分としては

$$\lim_{R\to\infty}\int_0^{R}\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}$$

が存在します（正負が交互に現れて打ち消し合うため）。しかし $f$ はルベーグ可積分ではありません。実際、$k \ge 0$ に対し区間 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上で $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{(k+1)\pi}$ ですから

$$\int_{[k\pi,(k+1)\pi]}\frac{|\sin x|}{x}\,dm(x) \ \ge\ \frac{1}{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|\,dx = \frac{2}{(k+1)\pi}$$

となり（$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|dx = 2$）、Corollary 5.3 の 2 で足し合わせると

$$\int_{(0,\infty)}\frac{|\sin x|}{x}\,dm(x) \ \ge\ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(k+1)\pi} = \infty$$

です。Definition 7.1 は絶対可積分性を要求するので、$\frac{\sin x}{x}$ は $L^1((0,\infty))$ に属しません。

これは欠陥ではなく設計上の選択です。条件収束する級数の項を並べ替えると和が変わるのと同じ理由で、条件収束する積分には値を安定に与えられません。絶対可積分に限れば収束定理もフビニの定理も破綻なく使えます。なお $\frac{\sin x}{x}$ 型の積分の精妙な振る舞いについては ボールウェイン積分 を参照してください。

8. リーマン積分との関係

新しい積分が古い積分と食い違っていては困ります。閉区間上の有界関数については、リーマン積分可能ならルベーグ積分可能で値も一致します。つまりルベーグ積分はリーマン積分の拡張です。

記号を確認します。$f : [a,b]\to\mathbb{R}$ を有界関数、$P = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b\}$ を分割とし、$m_i = \inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i = \sup_{[x_{i-1},x_i]}f$、

$$L(f,P) = \sum_{i=1}^{N} m_i (x_i - x_{i-1}), \qquad U(f,P) = \sum_{i=1}^{N} M_i (x_i-x_{i-1})$$

とおきます。下積分 $\underline{\int_a^b} f = \sup_P L(f,P)$、上積分 $\overline{\int_a^b} f = \inf_P U(f,P)$ が一致するとき $f$ はリーマン可積分で、共通の値を $(\mathrm{R})\int_a^b f(x)\,dx$ と書きます。分割を細かくすると $L$ は増え $U$ は減る、という細分についての単調性は微分積分学で確立済みとします（細分による単調性（Lemma 2.3）［積分の基本定理と定積分］）。

Theorem 8.1（リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合）

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とし、$f$ がリーマン可積分であるとする。このとき $f$ は $[a,b]$ 上ルベーグ可測かつ可積分であり、

$$\int_{[a,b]} f\,dm = (\mathrm{R})\int_a^b f(x)\,dx$$

が成り立つ。

Proof（Theorem 8.1）

入れ子の分割列の準備。 下積分の定義（上限）から、各 $n$ に対し分割 $Q_n$ で $L(f,Q_n) > \underline{\int_a^b}f - \frac1n$ なるものが取れます。同様に $U(f,Q_n') < \overline{\int_a^b}f + \frac1n$ なる $Q_n'$ が取れます。$D_n$ を $[a,b]$ の $2^n$ 等分点の集合として

$$P_0 = \{a,b\}, \qquad P_n = P_{n-1}\cup Q_n \cup Q_n' \cup D_n$$

と定めると、$(P_n)$ は入れ子（$P_n \subset P_{n+1}$）で、幅（メッシュ）は $D_n$ を含むことから $(b-a)2^{-n}$ 以下、よって $0$ に収束します。細分についての単調性から $L(f,P_n) \ge L(f,Q_n)$ なので

$$\underline{\int_a^b}f - \frac1n < L(f,P_n) \le \underline{\int_a^b}f$$

となり、$L(f,P_n) \to \underline{\int_a^b}f$ です。同様に $U(f,P_n)\to \overline{\int_a^b}f$ です。

階段関数の列。 $P_n$ の分点を $a = x_0^{(n)} < \cdots < x_{N_n}^{(n)} = b$ とし、$J_i^{(n)} = [x_{i-1}^{(n)}, x_i^{(n)})$（最後だけ $[x_{N_n-1}^{(n)}, b]$）とおきます。$J_i^{(n)}$ たちは $[a,b]$ の可測な分割です。$m_i^{(n)}, M_i^{(n)}$ を閉区間 $[x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)}]$ 上の下限・上限として

$$\ell_n = \sum_{i} m_i^{(n)}\mathbf{1}_{J_i^{(n)}}, \qquad u_n = \sum_i M_i^{(n)}\mathbf{1}_{J_i^{(n)}}$$

とおくと、$\ell_n, u_n$ は単関数で $\ell_n \le f \le u_n$ が $[a,b]$ 上成り立ちます。また $m(J_i^{(n)}) = x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)}$ ですから Lemma 4.2 の 1 より

$$\int_{[a,b]}\ell_n\,dm = L(f,P_n), \qquad \int_{[a,b]} u_n\,dm = U(f,P_n).$$

$P_n \subset P_{n+1}$ なので、$P_{n+1}$ の各小区間は $P_n$ のある小区間に含まれます。含まれる方の閉区間で取った下限は大きく、上限は小さくなるので $\ell_n \le \ell_{n+1}$、$u_n \ge u_{n+1}$ です。よって各点極限

$$\ell = \lim_n \ell_n, \qquad u = \lim_n u_n$$

が存在し、$\ell \le f \le u$ かつ $\ell, u$ は可測（Proposition 3.4）です。$M = \sup_{[a,b]}|f| < \infty$ とすると $|\ell_n|, |u_n| \le M$ です。

積分値の同定。 $\ell_n + M \ge 0$ は増加列で $\ell + M$ に収束するので Theorem 5.2 が使え、$\int(\ell_n + M)\,dm \to \int(\ell+M)\,dm$ です。Corollary 5.3 より $\int(\ell_n+M) = \int \ell_n + M(b-a)$ で、$M(b-a) < \infty$ なのでこれを引いて

$$\int_{[a,b]}\ell\,dm = \lim_n \int_{[a,b]}\ell_n\,dm = \lim_n L(f,P_n) = \underline{\int_a^b}f.$$

同様に $M - u_n \ge 0$ は増加列で $M - u$ に収束するので、$\int_{[a,b]}u\,dm = \overline{\int_a^b}f$ を得ます。

結論。 $f$ はリーマン可積分なので $\underline{\int}f = \overline{\int}f$、したがって

$$\int_{[a,b]}(u - \ell)\,dm = \overline{\int_a^b}f - \underline{\int_a^b}f = 0$$

です（$u-\ell \ge 0$ は有界可測なので Proposition 7.2 の 1 で差に分けられます）。$u - \ell \ge 0$ ですから Proposition 6.4 の 1 より $u = \ell$ a.e.、$\ell \le f \le u$ と挟んで $f = \ell$ a.e. です。すなわち $E = \{x : f(x)\ne \ell(x)\}$ は零集合 $\{u \ne \ell\}$ に含まれます。

$\ell$ は可測です。任意の $a\in\mathbb{R}$ について $\{f > a\}$ と $\{\ell > a\}$ の対称差は $E$ に含まれ、$E$ は零集合の部分集合ですから、ルベーグ測度の完備性により可測で測度 $0$ です。よって $\{f>a\}$ は可測集合の対称差による修正として可測となり、$f$ は可測です。有界かつ有限測度の集合上なので $\int|f| \le M(b-a) < \infty$、つまり $f \in L^1$ です。最後に Proposition 6.4 の 2（を正部・負部に適用したもの）から

$$\int_{[a,b]}f\,dm = \int_{[a,b]}\ell\,dm = \underline{\int_a^b}f = (\mathrm{R})\int_a^b f(x)\,dx$$

となります。

∎

逆は成り立ちません。Example 4.4 のディリクレ関数はルベーグ可積分ですがリーマン可積分ではありません。では「どこまで不連続なら許されるのか」。答えは測度で述べられます。

Theorem 8.2（リーマン可積分性のルベーグの判定条件）

$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ を有界関数とする。$f$ がリーマン可積分であるための必要十分条件は、$f$ の不連続点全体の集合 $D_f$ がルベーグ測度 $0$ であることである。

Remark 8.3

証明は Theorem 8.1 の証明で作った $\ell, u$ をそのまま使うと見通しよく書けます。長くなるので Appendix に回しました。この定理は「リーマン積分が扱えるのは不連続点が測度 $0$ の関数まで」という限界を正確に述べたもので、ルベーグ理論の言葉を使って初めてきれいに表現できる点も示唆的です。

Example 8.4（トマエ関数：不連続点が稠密でもリーマン可積分）

$[0,1]$ 上で

$$t(x) = \begin{cases} 1/q & (x = p/q,\ p,q \in \mathbb{N} \text{ は互いに素}) \\ 1 & (x = 0) \\ 0 & (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

と定めます。$t$ はすべての有理点で不連続、すべての無理点で連続です（無理点 $x$ の近くでは分母 $q$ が大きい有理数しか現れないため。詳しい証明は トマエ関数（Example 5.6）［Limits and Continuity］ にあります）。不連続点の集合は $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ で可算、したがって測度 $0$ ですから、Theorem 8.2 により $t$ はリーマン可積分です。値は、$t = 0$ a.e. と Proposition 6.4 の 1 から $\int_{[0,1]}t\,dm = 0$、そして Theorem 8.1 により $(\mathrm{R})\int_0^1 t(x)dx = 0$ です。

一方 $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ はすべての点で不連続なので、$D_f = [0,1]$ は測度 $1$ となりリーマン可積分ではありません。「不連続点が稠密かどうか」ではなく「不連続点の測度が $0$ かどうか」が分かれ目なのです。

Remark 8.5

広義リーマン積分については、非負関数であればルベーグ積分と一致します。$f \ge 0$ が各 $[a, R]$ でリーマン可積分なら、$f\mathbf{1}_{[a,R_n]}$（$R_n\uparrow\infty$）は増加列なので Theorem 5.2 と Theorem 8.1 から

$$\int_{[a,\infty)}f\,dm = \lim_{n\to\infty}(\mathrm{R})\int_a^{R_n}f(x)\,dx$$

となります。Example 5.5 はこの原理の一例でした。符号が変わる場合は Example 7.5 のように食い違いが起こり得ます。

9. 演習

Exercise 9.1易

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\infty)} \frac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}\,dm(x)$ を求めてください。

Solution

被積分関数を $f_n(x) = \dfrac{n\sin(x/n)}{x(1+x^2)}$ とおきます。各 $f_n$ は $(0,\infty)$ 上連続なので可測です。

各点収束。 $x > 0$ を固定すると $\sin(x/n) = \frac{x}{n} + O(n^{-3})$ より $n\sin(x/n)\to x$、したがって

$$f_n(x) \longrightarrow \frac{x}{x(1+x^2)} = \frac{1}{1+x^2}.$$

優関数。 $t \ge 0$ で $|\sin t| \le t$ ですから、$x > 0$ に対し $|n\sin(x/n)| \le n \cdot \frac{x}{n} = x$ です。よって

$$|f_n(x)| \le \frac{x}{x(1+x^2)} = \frac{1}{1+x^2} =: g(x).$$

$g$ は可積分です。実際 $g$ は非負連続で、Remark 8.5 より $\int_{(0,\infty)}g\,dm = \lim_{R\to\infty}\arctan R = \frac{\pi}{2} < \infty$ です。

結論。 Theorem 7.3 の仮定がすべて満たされるので

$$\lim_{n\to\infty}\int_{(0,\infty)}f_n\,dm = \int_{(0,\infty)}\frac{dm(x)}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}.$$

Exercise 9.2標準

$f_n(x) = \dfrac{n}{1+n^2x^2}$（$x \in [0,1]$）とします。

1. $f_n \to 0$ が $[0,1]$ 上ほとんど至るところ成り立つことを示してください。
2. $\displaystyle\int_{[0,1]}f_n\,dm$ を計算し、$n\to\infty$ での極限を求めてください。
3. 1 と 2 から、$|f_n| \le g$（すべての $n$）を満たす可積分関数 $g$ は存在しないことが分かります。$\sup_n f_n$ を下から評価して、このことを直接確かめてください。

Solution

1. $x \in (0,1]$ を固定すると $f_n(x) = \dfrac{n}{1+n^2x^2} \le \dfrac{n}{n^2x^2} = \dfrac{1}{nx^2}\to 0$ です。$x = 0$ では $f_n(0) = n \to \infty$ ですが、$m(\{0\}) = 0$ なので $f_n \to 0$ a.e. が成り立ちます。

2. $f_n$ は連続なのでリーマン積分と一致し（Theorem 8.1）、$\frac{d}{dx}\arctan(nx) = \frac{n}{1+n^2x^2}$ より

$$\int_{[0,1]}f_n\,dm = \big[\arctan(nx)\big]_0^1 = \arctan n \ \longrightarrow\ \frac{\pi}{2} \ne 0 = \int_{[0,1]} 0\,dm .$$

各点収束しているのに積分は収束先を外しています。Theorem 7.3 の結論が成り立たない以上、その仮定 2 が満たされていないはずです。

3. $x\in(0,1]$ に対し $n_x = \lceil 1/x\rceil$ とおくと $\frac1x \le n_x < \frac1x + 1 \le \frac2x$（$x \le 1$ より $1 \le \frac1x$）なので $1 \le n_x x < 2$、したがって $1 \le n_x^2x^2 < 4$ です。よって

$$\sup_n f_n(x) \ \ge\ f_{n_x}(x) = \frac{n_x}{1+n_x^2x^2} \ \ge\ \frac{1/x}{1+4} = \frac{1}{5x}.$$

$g \ge \sup_n f_n$ なる可積分関数が存在したとすると、Proposition 7.2 の 3 の対偶により

$$\int_{[0,1]}g\,dm \ \ge\ \int_{(0,1]}\frac{1}{5x}\,dm(x) = \lim_{n\to\infty}\int_{1/n}^{1}\frac{dx}{5x} = \lim_{n\to\infty}\frac{\log n}{5} = \infty$$

（Remark 8.5 により広義リーマン積分で計算しました）となって矛盾します。したがって可積分な優関数は存在しません。

Exercise 9.3標準

$\displaystyle\int_{(0,\infty)}\frac{x}{e^x-1}\,dm(x) = \frac{\pi^2}{6}$ を示してください。

Solution

$x > 0$ では $0 < e^{-x} < 1$ なので、幾何級数により

$$\frac{1}{e^x-1} = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}$$

です。両辺に $x > 0$ を掛けると、被積分関数は非負可測関数の級数

$$\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-nx}$$

として表せます。すべての項が非負なので Corollary 5.3 の 2（項別積分）が仮定なしに適用でき、

$$\int_{(0,\infty)}\frac{x}{e^x-1}\,dm(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{(0,\infty)}xe^{-nx}\,dm(x).$$

各項は部分積分により

$$\int_0^{\infty}xe^{-nx}dx = \Big[-\frac{x}{n}e^{-nx}\Big]_0^{\infty} + \frac1n\int_0^{\infty}e^{-nx}dx = 0 + \frac{1}{n}\cdot\frac1n = \frac{1}{n^2}$$

です（非負関数なので Remark 8.5 によりルベーグ積分と一致します）。したがって

$$\int_{(0,\infty)}\frac{x}{e^x-1}\,dm(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$

Exercise 9.4難

（シェッフェの補題）$f_n, f : X \to [0,\infty]$ を可測関数とし、$f_n \to f$ a.e.、$f \in L^1(\mu)$、さらに $\displaystyle\int_X f_n\,d\mu \to \int_X f\,d\mu$ を仮定します。このとき

$$\lim_{n\to\infty}\int_X |f_n - f|\,d\mu = 0$$

を示してください。優関数の存在は仮定しません。

Solution

$f_n, f \ge 0$ なので $|f_n - f| \le f_n + f$ が各点で成り立ちます（$f_n \ge f$ なら $|f_n-f| = f_n - f \le f_n + f$、逆も同様）。したがって

$$h_n = f_n + f - |f_n - f| \ \ge\ 0$$

は非負可測関数の列です。$f_n \to f$ a.e. より $|f_n - f|\to 0$ a.e.、よって $h_n \to 2f$ a.e. であり $\liminf_n h_n = 2f$ a.e. です。Lemma 6.1 を $(h_n)$ に適用し、Proposition 6.4 の 2 で a.e. の差を無視すると

$$\int_X 2f\,d\mu \ \le\ \liminf_{n\to\infty}\int_X h_n\,d\mu .$$

ここで Corollary 5.3 の 1 を使いたいところですが、$h_n$ は差を含むので直接は使えません。そこで $\int f_n\,d\mu < \infty$ が十分大きい $n$ で成り立つこと（仮定より $\int f_n \to \int f < \infty$）に注意し、そのような $n$ について $f_n, f, |f_n-f| \in L^1$ なので Proposition 7.2 の 1 が使えて

$$\int_X h_n\,d\mu = \int_X f_n\,d\mu + \int_X f\,d\mu - \int_X |f_n-f|\,d\mu$$

と分解できます。$\int f_n \to \int f$（有限）なので、$\liminf$ を取ると

$$\liminf_{n\to\infty}\int_X h_n\,d\mu = 2\int_X f\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\,d\mu$$

です。先の不等式と合わせて

$$2\int_X f\,d\mu \ \le\ 2\int_X f\,d\mu - \limsup_{n\to\infty}\int_X |f_n-f|\,d\mu .$$

$\int f\,d\mu < \infty$ なので両辺から引いてよく、$\limsup_n \int|f_n-f|\,d\mu \le 0$。非負性と合わせて $\int|f_n-f|\,d\mu \to 0$ を得ます。

優関数の代わりに「積分値の収束」を仮定しても $L^1$ 収束が出る、というのがこの補題の内容です。

参考文献

• 伊藤清三『ルベーグ積分入門』裳華房、1963 — 第 3 章（可測関数）、第 4 章（積分）。日本語の標準的な入門書で、単関数からの構成と収束定理の扱いが本記事の流れに最も近い文献です。
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — Chapter 1 (Abstract Integration)。単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を最短経路で並べた構成です。
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999 — Chapter 2 (Integration)。層状表示やトネリの定理を含む標準的な参考書です。
• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 第 IV 章。リーマン積分側の下積分・上積分と細分の単調性は本書の記述に依拠しています。
• H. Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, Annali di Matematica Pura ed Applicata 7 (1902), 231–359. doi:10.1007/BF02420592 — ルベーグの学位論文。値域を分割するという着想の原典です。

Appendix: ルベーグの判定条件の証明

準備。 Theorem 8.1 の証明で構成した道具をそのまま使います。$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ を有界関数、$(P_n)$ を入れ子でメッシュが $0$ に収束する分割列とし（下積分・上積分に近づくよう選んだかどうかはここでは不要で、$D_n \subset P_n$ だけを使います）、階段関数 $\ell_n \le f \le u_n$ とその極限 $\ell = \lim_n \ell_n$、$u = \lim_n u_n$ を Theorem 8.1 の証明のとおりに定めます。そこで示したことのうち、ここで使うのは次の 2 点です。$\ell, u$ は可測で $\ell \le f \le u$ であること、そして

$$\int_{[a,b]}\ell\,dm = \underline{\int_a^b}f, \qquad \int_{[a,b]}u\,dm = \overline{\int_a^b}f$$

が成り立つことです（前者を示すには $L(f,P_n)\to\underline{\int}f$ が必要なので、$P_n$ は本文の証明どおり $Q_n, Q_n'$ を含むように取っておきます）。

さらに $D = \bigcup_{n=1}^{\infty}P_n \cup \{a,b\}$ とおきます。各 $P_n$ は有限集合なので $D$ は可算集合であり、Proposition 6.4 の 4 より $m(D) = 0$ です。

鍵となる補題。 $x \in [a,b]\setminus D$ とすると、$f$ が $x$ で連続であることと $\ell(x) = u(x)$ であることは同値です。

これを示します。$x \notin D$ なので、各 $n$ について $x$ は $P_n$ のある小区間 $[x_{i-1}^{(n)}, x_i^{(n)}]$ の内部に属します。この開区間を $I_n(x)$ と書くと、$\ell_n(x) = m_i^{(n)} = \inf_{\overline{I_n(x)}}f$、$u_n(x) = M_i^{(n)} = \sup_{\overline{I_n(x)}}f$ です。

（連続 ⇒ $\ell(x)=u(x)$）$f$ が $x$ で連続とし、$\varepsilon > 0$ を任意に取ります。連続性より $\delta > 0$ が存在して、$|y - x| < \delta$ かつ $y \in [a,b]$ ならば $|f(y)-f(x)| < \varepsilon$ です。$P_n$ のメッシュは $0$ に収束するので、$\overline{I_n(x)}$ の長さが $\delta$ より小さくなる $n$ が取れます。$x \in \overline{I_n(x)}$ かつ長さが $\delta$ 未満ですから $\overline{I_n(x)} \subset (x-\delta, x+\delta)$ であり、この閉区間上のすべての $y$ で $|f(y)-f(x)| < \varepsilon$、したがって

$$u_n(x) - \ell_n(x) = \sup_{\overline{I_n(x)}}f - \inf_{\overline{I_n(x)}}f \le 2\varepsilon .$$

$\ell_n(x) \le \ell(x) \le u(x) \le u_n(x)$ なので $0 \le u(x)-\ell(x)\le 2\varepsilon$ です。$\varepsilon > 0$ は任意なので $\ell(x)=u(x)$ を得ます。

（$\ell(x)=u(x)$ ⇒ 連続）$\ell(x) = u(x)$ とします。$\ell(x)\le f(x)\le u(x)$ より 3 つは等しい値です。$\varepsilon > 0$ を任意に取ると、$\ell_n(x)\uparrow \ell(x)$ かつ $u_n(x)\downarrow u(x)$ なので、ある $n$ で $u_n(x)-\ell_n(x) < \varepsilon$ となります。$\delta$ を $x$ から $\overline{I_n(x)}$ の両端点までの距離の小さい方（$x$ は内部の点なので正）とすると、$|y-x| < \delta$ なる $y \in [a,b]$ は $\overline{I_n(x)}$ に属し、

$$|f(y)-f(x)| \le \sup_{\overline{I_n(x)}}f - \inf_{\overline{I_n(x)}}f = u_n(x)-\ell_n(x) < \varepsilon$$

が成り立ちます（$f(y)$ と $f(x)$ がともに区間 $[\ell_n(x), u_n(x)]$ に入るため）。よって $f$ は $x$ で連続です。補題の証明が終わりました。

定理の証明。 以上を組み合わせます。

Proof（Theorem 8.2）

$f$ は有界なので $\ell, u$ は有界可測、したがって $[a,b]$ 上可積分です。

$f$ がリーマン可積分であることは $\underline{\int}f = \overline{\int}f$ と同値、すなわち上に記した積分値の同定により $\int_{[a,b]}\ell\,dm = \int_{[a,b]}u\,dm$ と同値です。$u - \ell \ge 0$ は可積分なので、これは Proposition 7.2 の 1 により $\int_{[a,b]}(u-\ell)\,dm = 0$ と同値であり、さらに Proposition 6.4 の 1 により

$$u = \ell \quad \text{a.e.}$$

と同値です。

一方、上の補題により $[a,b]\setminus D$ の点 $x$ については「$f$ が $x$ で不連続」と「$\ell(x) < u(x)$」が同値です。したがって不連続点の集合 $D_f$ と集合 $\{\ell < u\}$ の対称差は $D$ に含まれます。$m(D)=0$ なので、ルベーグ測度の完備性から、$m(D_f) = 0$ と $m(\{\ell < u\}) = 0$ は同値です（一方が零集合なら他方はそれと $D$ の部分集合との和に含まれ、Proposition 6.4 の 4 より零集合）。

以上をつなぐと

$$f \text{ はリーマン可積分} \iff u = \ell \ \text{a.e.} \iff m(\{\ell < u\}) = 0 \iff m(D_f) = 0$$

となり、定理が示されました。

∎

補足。 情報を $\ell$ と $u$ という 2 つの可測関数に集約した点がこの証明の要でした。リーマン積分の言葉だけで示すには振動量 $\omega_f(x) = \lim_{\delta\to0}(\sup_{|y-x|<\delta}f - \inf_{|y-x|<\delta}f)$ を導入することになりますが、$\omega_f$ は $D$ の外で $u-\ell$ と一致するので、実質的に同じ証明です。