確率微分方程式：伊藤積分はなぜ「未来を見ない」のか

0. この記事の要点

• ブラウン運動の道は、ほとんど確実にどの区間でも有界変動になりません。したがって $\int_0^T f(s)\,dB_s$ を道ごとのリーマン・スティルチェス積分として定義することはできません。原因は二次変分が $0$ ではなく $T$ になることです。
• 破綻の原因である二次変分は、同時に救いの手でもあります。分割の左端で被積分過程を評価すると、和の各項の期待値が消え、$L^2$ ノルムがきれいに保存されます。これが伊藤積分です。
• 伊藤積分の構成は「単純過程で定義 → 伊藤等長性 → 稠密性 → 連続拡張」という関数解析の定型手続きで、$L^2$ 空間の完備性がすべてを支えます。
• 伊藤の公式は確率過程における連鎖律ですが、二次の項 $\frac12 f''\,\sigma^2\,dt$ が余分に現れます。この余剰項は二次変分そのもので、確率解析の計算のほとんどはこの 1 項の管理に費やされます。
• 係数がリプシッツ連続かつ線形増大なら、確率微分方程式は一意な強解をもちます。証明はピカール反復とグロンウォールの不等式という、常微分方程式と同じ道具立てで進みます。
• 応用として幾何ブラウン運動を解き、伊藤の公式からブラック・ショールズ方程式を導きます。

1. 動機：なぜ普通の積分では足りないのか

ニュートン以来、微分方程式は自然を記述する言語でした。$\frac{dx}{dt} = b(t, x)$ は、時刻 $t$ における状態 $x$ が次の瞬間どちらへ動くかを完全に指定します。ところが現実の系は、決定論的な流れに加えてランダムな揺さぶりを受けます。花粉粒子は水分子の衝突で震え、株価は無数の注文に叩かれ、電子回路には熱雑音が乗ります。

素朴に書けば、こうした系は

$$\frac{dX_t}{dt} = b(t, X_t) + \sigma(t, X_t)\,\xi_t$$

の形をしているはずです。ここで $\xi_t$ は「時刻ごとに独立で、平均 $0$、分散が無限大」という理想化された白色雑音です。ところがこの $\xi_t$ は、通常の意味での関数として存在しません。時刻ごとに独立な確率変数の族は、可測な道をもてないからです。

物理学者ランジュヴァンが 1908 年にこの形の式を書いてから、数学的に意味を与えるまでに 40 年かかりました。突破口は、$\xi_t$ 自体をあきらめて、その「積分」であるブラウン運動 $B_t$ を主役に据えることです。形式的に $\xi_t\,dt = dB_t$ と読み替え、微分形式ではなく積分形式

$$X_t = X_0 + \int_0^t b(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)\,dB_s$$

を定義とします。第 1 項は各道ごとに普通のルベーグ積分として意味をもちます。問題は第 2 項です。

ブラウン運動の道 $s \mapsto B_s(\omega)$ は連続ですが、後で見るようにほとんど確実に有界変動ではありません。リーマン・スティルチェス積分 $\int_0^T f\,dg$ が「あらゆる連続関数 $f$ に対して」定義されるのは、$g$ が有界変動のとき、そしてそのときに限ります。つまり第 2 項は、道ごとの古典的な積分としては原理的に定義できません。

伊藤清が 1944 年に与えた解決は、道ごとの定義をあきらめ、確率変数の空間 $L^2(\Omega)$ における極限として積分を定義することでした。この記事はその構成を最初から最後まで追い、得られた道具（伊藤の公式）で実際に確率微分方程式を解き、金融工学の基本方程式に到達するところまでを扱います。

前提として、ブラウン運動の定義（ブラウン運動（ウィーナー過程）（Definition 5.1）［マルチンゲールとブラウン運動］）とマルチンゲールの基本性質を使います。必要なら マルチンゲールとブラウン運動 と 条件付き期待値 を先に確認してください。$L^2$ 空間の完備性については L^p空間と関数解析への導入 を参照します。

2. 準備：フィルトレーションと適合性

以降、確率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ を固定し、時間区間を $[0, T]$（$T < \infty$）とします。

Definition 2.1（フィルトレーションと適合過程）

$(\mathcal{F}_t)_{t \in [0,T]}$ が $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$-加法族の増大族、すなわち $s \le t$ のとき $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t \subset \mathcal{F}$ であるとき、これをフィルトレーションと呼びます。確率過程 $X = (X_t)_{t \in [0,T]}$ が、各 $t$ について $X_t$ が $\mathcal{F}_t$-可測であるとき、$X$ は $(\mathcal{F}_t)$ に適合している（adapted）といいます。

さらに $X$ が発展的可測（progressively measurable）であるとは、各 $t$ について写像 $[0,t] \times \Omega \to \mathbb{R}$, $(s, \omega) \mapsto X_s(\omega)$ が $\mathcal{B}([0,t]) \otimes \mathcal{F}_t$-可測であることをいいます。

$\mathcal{F}_t$ は「時刻 $t$ までに観測できた情報」を表します。適合性は「$X_t$ の値を知るのに未来の情報を要しない」という条件です。発展的可測性は、これに加えて時間方向の可測性を要求する技術的な強化で、$\int_0^t X_s\,ds$ が $\mathcal{F}_t$-可測になることを保証します。連続な道をもつ適合過程は必ず発展的可測ですから、実用上この区別が問題になることはほとんどありません。

ブラウン運動については次を仮定します。$(B_t)_{t \ge 0}$ は $(\mathcal{F}_t)$-ブラウン運動である、すなわち

1. $B_0 = 0$ で、道 $t \mapsto B_t(\omega)$ はすべての $\omega$ について連続、
2. $B$ は $(\mathcal{F}_t)$ に適合、
3. $s < t$ のとき増分 $B_t - B_s$ は $\mathcal{F}_s$ と独立で、$N(0, t-s)$ に従う。

条件 3 が本質的です。「増分が過去の情報と独立」という性質だけを、以下では繰り返し使います。

記号として、区間 $[0,T]$ の分割を $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = T\}$、その幅を $\|\Pi\| = \max_i (t_{i+1} - t_i)$、増分を $\Delta_i B = B_{t_{i+1}} - B_{t_i}$、$\Delta_i t = t_{i+1} - t_i$ と書きます。期待値は $\mathbb{E}$ で表します。

3. 破綻の正体：二次変分と有界変動でないこと

ここでは「なぜ古典的な積分が使えないのか」を定量的に示します。鍵は、ブラウン運動の増分の二乗和が消えないことです。

Theorem 3.1（ブラウン運動の二次変分）

$(B_t)$ を標準ブラウン運動、$\Pi$ を $[0,T]$ の分割とし、

$$S_\Pi = \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i B)^2$$

とおきます。このとき

$$\mathbb{E}\left[(S_\Pi - T)^2\right] \le 2 \|\Pi\|\, T$$

が成り立ちます。特に $\|\Pi_n\| \to 0$ なる分割列に対して $S_{\Pi_n} \to T$ が $L^2(\Omega)$ で成り立ちます。

Proof（Theorem 3.1）

増分 $\Delta_i B$ は互いに独立で $\Delta_i B \sim N(0, \Delta_i t)$ です（準備の条件 3）。よって標準正規変数 $Z_i \sim N(0,1)$ を用いて $\Delta_i B \stackrel{d}{=} \sqrt{\Delta_i t}\, Z_i$ と書け、$Z_0, \ldots, Z_{n-1}$ は独立です。

まず期待値を計算します。

$$\mathbb{E}[S_\Pi] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t \cdot \mathbb{E}[Z_i^2] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t = T.$$

ここで $\mathbb{E}[Z^2] = 1$ と、分割の定義から増分の総和が $T$ になることを使いました。

次に分散です。$(\Delta_i B)^2$ たちは独立ですから分散は加法的で、

$$\operatorname{Var}(S_\Pi) = \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i t)^2 \operatorname{Var}(Z_i^2).$$

標準正規分布の 4 次モーメントは $\mathbb{E}[Z^4] = 3$ ですから

$$\operatorname{Var}(Z^2) = \mathbb{E}[Z^4] - (\mathbb{E}[Z^2])^2 = 3 - 1 = 2.$$

したがって

$$\mathbb{E}\left[(S_\Pi - T)^2\right] = \operatorname{Var}(S_\Pi) = 2 \sum_{i=0}^{n-1} (\Delta_i t)^2 \le 2 \|\Pi\| \sum_{i=0}^{n-1} \Delta_i t = 2\|\Pi\|\,T.$$

不等式では $\Delta_i t \le \|\Pi\|$ を各項に使いました。$\|\Pi_n\| \to 0$ なら右辺は $0$ に収束します。

∎

この定理が言っているのは、滑らかな関数との決定的な違いです。$g$ が $C^1$ 級なら $\sum (\Delta_i g)^2 \le \max_i |\Delta_i g| \cdot \sum_i |\Delta_i g| \le \|g'\|_\infty \|\Pi\| \cdot \|g'\|_\infty T \to 0$ となり、二次変分は消えます。ブラウン運動では消えません。この「消え残り」が確率解析のすべての特徴を生みます。

Corollary 3.2（道は有界変動でない）

標準ブラウン運動 $(B_t)$ について、任意の $T > 0$ に対し、ほとんどすべての $\omega$ で道 $s \mapsto B_s(\omega)$ は $[0,T]$ 上で有界変動ではありません。

Proof（Corollary 3.2）

$\Pi_n$ を $[0,T]$ の $2^n$ 等分割とします。$\|\Pi_n\| = T 2^{-n}$ なので、Theorem 3.1 より

$$\mathbb{E}\left[(S_{\Pi_n} - T)^2\right] \le 2 T^2 2^{-n}.$$

右辺は $n$ について総和可能です。よってチェビシェフの不等式（Corollary 6.2）［Random Variables and Expectation］から、任意の $\varepsilon > 0$ に対し

$$\sum_{n} \mathbb{P}\left(|S_{\Pi_n} - T| > \varepsilon\right) \le \sum_n \frac{2T^2 2^{-n}}{\varepsilon^2} < \infty$$

となり、ボレル・カンテリの補題（Lemma 6.5）［Probability Spaces and Kolmogorov's Axioms］ より $S_{\Pi_n} \to T$ がほとんど確実に成り立ちます。この確率 $1$ の事象を $A$ とします。

さて $\omega \in A$ を取り、道 $s \mapsto B_s(\omega)$ が $[0,T]$ 上で有界変動であると仮定して矛盾を導きます。全変動を

$$V(\omega) = \sup_{\Pi} \sum_i |\Delta_i B(\omega)| < \infty$$

とおきます。すると各 $n$ について

$$S_{\Pi_n}(\omega) = \sum_i (\Delta_i B(\omega))^2 \le \left(\max_i |\Delta_i B(\omega)|\right) \sum_i |\Delta_i B(\omega)| \le \left(\max_i |\Delta_i B(\omega)|\right) V(\omega).$$

道は $[0,T]$ 上連続で、$[0,T]$ はコンパクトですから一様連続です（連続関数と一様連続性 の ハイネ・カントールの定理（Theorem 7.1）［Continuous Functions and Uniform Continuity］）。したがって $\|\Pi_n\| \to 0$ のとき $\max_i |\Delta_i B(\omega)| \to 0$ となり、右辺は $0$ に収束します。よって $S_{\Pi_n}(\omega) \to 0$ です。

しかし $\omega \in A$ なので $S_{\Pi_n}(\omega) \to T > 0$ でした。これは矛盾です。ゆえに $A$ 上のすべての $\omega$ で道は有界変動ではありません。

∎

Remark 3.3

リーマン・スティルチェス積分 $\int_0^T f\,dg$ がすべての連続関数 $f$ に対して存在するためには、$g$ が有界変動であることが必要十分です（必要性はバナッハ・シュタインハウスの定理から従います。ルーディン『Real and Complex Analysis』第 2 章の Riesz 表現定理まわりの議論を参照してください）。Corollary 3.2 と合わせると、$\int_0^T X_s(\omega)\,dB_s(\omega)$ を道ごとに古典的な意味で定義する道は完全に塞がれています。

3.1. 評価点の選び方で答えが変わる

有界変動でない積分子に対しては、リーマン和の「評価点」をどこに取るかで極限が変わります。ブラウン運動自身を被積分過程として、この現象を明示的に計算してみます。

Example 3.4（左端和と右端和の差）

$[0,T]$ の分割 $\Pi$ に対し、左端評価と右端評価のリーマン和を

$$L_\Pi = \sum_{i} B_{t_i} \Delta_i B, \qquad R_\Pi = \sum_{i} B_{t_{i+1}} \Delta_i B$$

とします。差は

$$R_\Pi - L_\Pi = \sum_i (B_{t_{i+1}} - B_{t_i}) \Delta_i B = \sum_i (\Delta_i B)^2 = S_\Pi$$

なので、Theorem 3.1 より $\|\Pi\| \to 0$ のとき $R_\Pi - L_\Pi \to T$（$L^2$ 収束）です。$T > 0$ ですから、両者は別の極限をもちます。

それぞれの極限も求まります。恒等式 $b^2 - a^2 = 2a(b-a) + (b-a)^2$ を $a = B_{t_i}$, $b = B_{t_{i+1}}$ に適用すると

$$B_{t_i} \Delta_i B = \frac{1}{2}\left[(B_{t_{i+1}}^2 - B_{t_i}^2) - (\Delta_i B)^2\right]$$

です。$i$ について足し合わせると第 1 項は望遠鏡和になり、$B_0 = 0$ から

$$L_\Pi = \frac{1}{2} B_T^2 - \frac{1}{2} S_\Pi \ \longrightarrow\ \frac{1}{2} B_T^2 - \frac{1}{2} T \quad (L^2).$$

同様に $R_\Pi = L_\Pi + S_\Pi \to \frac12 B_T^2 + \frac12 T$ です。中点評価なら $\frac12 B_T^2$ となり、これがストラトノヴィッチ積分です。

三つの候補のうち、伊藤が選んだのは左端です。理由は期待値を計算すればわかります。$B_{t_i}$ は $\mathcal{F}_{t_i}$-可測で、$\Delta_i B$ は $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立ですから

$$\mathbb{E}[B_{t_i} \Delta_i B] = \mathbb{E}[B_{t_i}] \cdot \mathbb{E}[\Delta_i B] = 0$$

となり、$\mathbb{E}[L_\Pi] = 0$ です。一方 $\mathbb{E}[R_\Pi] = \mathbb{E}[L_\Pi] + \mathbb{E}[S_\Pi] = T \ne 0$ です。左端を取ると、和がマルチンゲール差分の和になり、期待値が消える。この構造こそが伊藤積分を扱いやすくしています。金融の文脈でいえば「時刻 $t_i$ に持っているポジションは、$t_i$ から $t_{i+1}$ への価格変動を知らずに決めなければならない」という当然の要請にも対応します。

左端評価：被積分過程の値は各小区間の左端の情報だけで決まる

4. 伊藤積分の構成

構成は関数解析の定型手続きです。まず単純な対象で定義し、そこで等長性を示し、稠密性と完備性を使って一意に拡張します。

flowchart TD
A["単純過程 X（有限個の階段関数）"] --> B["和 Σ ξ_i ΔB_i として直接定義"]
B --> C["伊藤等長性: L2(Ω) ノルムと L2(dP×dt) ノルムが一致"]
C --> D["単純過程は L2(dP×dt) で稠密"]
D --> E["等長線形写像を一意に連続拡張（L2 の完備性）"]
E --> F["一般の発展的可測過程に対する伊藤積分"]

伊藤積分の構成手順

Definition 4.1（被積分過程のクラスと単純過程）

$\mathcal{L}^2[0,T]$ を、発展的可測な過程 $X = (X_t)_{t \in [0,T]}$ であって

$$\|X\|_{\mathcal{L}^2}^2 := \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right] < \infty$$

を満たすもの全体（$dt \otimes d\mathbb{P}$-a.e. で一致するものを同一視）とします。これは積測度空間上の $L^2$ 空間の閉部分空間なので、ヒルベルト空間です。

$X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ が単純過程であるとは、分割 $0 = t_0 < \cdots < t_n = T$ と、$\mathcal{F}_{t_i}$-可測かつ $\mathbb{E}[\xi_i^2] < \infty$ なる確率変数 $\xi_i$ が存在して

$$X_t(\omega) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i(\omega)\, \mathbf{1}_{(t_i,\, t_{i+1}]}(t)$$

と書けることをいいます。単純過程全体を $\mathcal{S}$ と書きます。

$\xi_i$ が $\mathcal{F}_{t_i}$-可測であること、つまり左端の情報だけで決まることが、単純過程の定義に組み込まれています。ここが「未来を見ない」という要請の入り口です。

Definition 4.2（単純過程に対する伊藤積分）

$X \in \mathcal{S}$ が上の表示をもつとき、

$$I(X) := \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i \left(B_{t_{i+1}} - B_{t_i}\right)$$

と定めます。より一般に $t \in [0,T]$ に対し $I_t(X) := I(X \mathbf{1}_{[0,t]})$ とおき、$\int_0^t X_s\,dB_s$ と書きます。

Theorem 4.3（伊藤等長性（単純過程の場合））

$X \in \mathcal{S}$ に対し $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ かつ

$$\mathbb{E}\left[I(X)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right]$$

が成り立ちます。すなわち $I : \mathcal{S} \to L^2(\Omega)$ はノルムを保つ線形写像です。

Proof（Theorem 4.3）

まず各項が可積分であることを確かめます。$\xi_i \in L^2(\Omega)$ は $\mathcal{F}_{t_i}$-可測、$\Delta_i B$ は $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立で $L^2$ に属するので、独立性から $\mathbb{E}[\xi_i^2 (\Delta_i B)^2] = \mathbb{E}[\xi_i^2]\,\Delta_i t < \infty$、すなわち $\xi_i \Delta_i B \in L^2(\Omega)$ です。したがって有限和 $I(X)$ も $L^2(\Omega)$ に属し、以下の計算はすべて意味をもちます。

期待値については、条件付き期待値のタワー則と、$\Delta_i B$ が $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立であること（準備の条件 3）から

$$\mathbb{E}[\xi_i \Delta_i B] = \mathbb{E}\left[\xi_i\, \mathbb{E}[\Delta_i B \mid \mathcal{F}_{t_i}]\right] = \mathbb{E}[\xi_i \cdot 0] = 0$$

となり、和を取って $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ を得ます。ここで $\xi_i$ が $\mathcal{F}_{t_i}$-可測なので条件付き期待値の外に出せること（既知量の取り出し（Theorem 4.4）［条件付き期待値］）を使いました。

次に二乗を展開します。

$$I(X)^2 = \sum_{i} \xi_i^2 (\Delta_i B)^2 + 2 \sum_{i < j} \xi_i \Delta_i B\, \xi_j \Delta_j B.$$

交差項を評価します。$i < j$ のとき、$\xi_i, \Delta_i B, \xi_j$ はいずれも $\mathcal{F}_{t_j}$-可測です（$t_{i+1} \le t_j$ に注意）。よって

$$\mathbb{E}\left[\xi_i \Delta_i B\, \xi_j \Delta_j B\right] = \mathbb{E}\left[\xi_i \Delta_i B\, \xi_j\, \mathbb{E}[\Delta_j B \mid \mathcal{F}_{t_j}]\right] = 0.$$

ここでも $\Delta_j B$ が $\mathcal{F}_{t_j}$ と独立で平均 $0$ であることを使いました。この段階で「左端評価」が効いています。 もし $\xi_j$ を右端 $t_{j+1}$ の情報で決めていたら $\xi_j$ は $\mathcal{F}_{t_j}$-可測でなく、交差項は消えません。

対角項は

$$\mathbb{E}\left[\xi_i^2 (\Delta_i B)^2\right] = \mathbb{E}\left[\xi_i^2\, \mathbb{E}[(\Delta_i B)^2 \mid \mathcal{F}_{t_i}]\right] = \mathbb{E}[\xi_i^2]\,\Delta_i t$$

です（$\mathbb{E}[(\Delta_i B)^2 \mid \mathcal{F}_{t_i}] = \mathbb{E}[(\Delta_i B)^2] = \Delta_i t$）。したがって

$$\mathbb{E}[I(X)^2] = \sum_i \mathbb{E}[\xi_i^2]\,\Delta_i t = \mathbb{E}\left[\sum_i \int_{t_i}^{t_{i+1}} X_t^2\,dt\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right].$$

最後から 2 番目の等号では、$(t_i, t_{i+1}]$ 上で $X_t = \xi_i$ が定数であることとトネリの定理を使いました。

∎

Lemma 4.4（単純過程の稠密性）

$\mathcal{S}$ は $\mathcal{L}^2[0,T]$ において $\|\cdot\|_{\mathcal{L}^2}$ に関して稠密です。すなわち任意の $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ に対し、$\|X - X^{(n)}\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ となる単純過程列 $X^{(n)} \in \mathcal{S}$ が存在します。

Remark 4.5

証明は「有界過程で近似 → 連続な道をもつ過程で近似 → 左端で離散化」という 3 段階です。技術的なので Appendix にまとめました。

Theorem 4.6（伊藤積分の存在と基本性質）

一意に定まる線形写像 $I : \mathcal{L}^2[0,T] \to L^2(\Omega)$ が存在して、$\mathcal{S}$ 上では Definition 4.2 と一致し、すべての $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ に対して

$$\mathbb{E}\left[\int_0^T X_s\,dB_s\right] = 0, \qquad \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T X_s\,dB_s\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T X_s^2\,ds\right]$$

が成り立ちます。さらに $M_t := \int_0^t X_s\,dB_s$ は連続な道をもつバージョンをもち、$(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールです。

Proof（Theorem 4.6）

存在と一意性を示します。Theorem 4.3 により $I : \mathcal{S} \to L^2(\Omega)$ は等長です。$X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ を取り、Lemma 4.4 により $\|X - X^{(n)}\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ なる $X^{(n)} \in \mathcal{S}$ を取ります。すると

$$\|I(X^{(n)}) - I(X^{(m)})\|_{L^2(\Omega)} = \|I(X^{(n)} - X^{(m)})\|_{L^2(\Omega)} = \|X^{(n)} - X^{(m)}\|_{\mathcal{L}^2} \to 0 \quad (n, m \to \infty)$$

となり（線形性と等長性）、$(I(X^{(n)}))_n$ は $L^2(\Omega)$ のコーシー列です。$L^2(\Omega)$ は完備ですから（L^p空間と関数解析への導入 の リース–フィッシャーの定理（Theorem 5.3）［L^p 空間と関数解析への導入］）極限が存在します。これを $I(X)$ と定めます。極限が近似列の取り方によらないことは、二つの近似列を交互に並べた列を考えれば従います。等長性と $\mathbb{E}[I(X)] = 0$ は、$L^2$ 収束が $L^1$ 収束を導くことと、ノルムの連続性から極限に受け継がれます。

マルチンゲール性を示します。まず $X \in \mathcal{S}$ のとき、$s < t$ に対し $\mathbb{E}[I_t(X) - I_s(X) \mid \mathcal{F}_s] = 0$ が成り立ちます。実際、増分は $\sum_k \xi_k (B_{u_{k+1}} - B_{u_k})$（$s \le u_k$）の形で、各項について $\mathbb{E}[\xi_k (B_{u_{k+1}} - B_{u_k}) \mid \mathcal{F}_s] = \mathbb{E}[\xi_k \mathbb{E}[B_{u_{k+1}} - B_{u_k} \mid \mathcal{F}_{u_k}] \mid \mathcal{F}_s] = 0$ となるからです（タワー則と増分の独立性）。一般の $X$ については、$I_t(X^{(n)}) \to I_t(X)$ が $L^2(\Omega)$ で成り立ち、条件付き期待値は $L^2$ 上の縮小作用素なので、$\mathbb{E}[I_t(X^{(n)}) \mid \mathcal{F}_s] \to \mathbb{E}[I_t(X) \mid \mathcal{F}_s]$ が $L^2$ で成り立ち、マルチンゲール性が極限に伝わります。

連続バージョンの存在は、単純過程に対する積分が連続な道をもつことと、ドゥーブの $L^2$ 極大不等式

$$\mathbb{E}\left[\sup_{t \le T} |I_t(X^{(n)}) - I_t(X^{(m)})|^2\right] \le 4\, \mathbb{E}\left[|I_T(X^{(n)}) - I_T(X^{(m)})|^2\right] = 4\|X^{(n)} - X^{(m)}\|_{\mathcal{L}^2}^2$$

から従います。右辺は $0$ に収束するので、部分列を取れば道の一様収束がほとんど確実に成り立ち、連続関数の一様極限は連続です（関数列と一様収束）。

∎

Caution

伊藤積分は $L^2(\Omega)$ の元、すなわち「ほとんど確実に定まる確率変数」としてしか意味をもちません。個々の道 $\omega$ を固定して $\int_0^T X_s(\omega)\,dB_s(\omega)$ を計算する手続きは存在しない、という点が古典的な積分との決定的な違いです。道ごとの理論が欲しい場合はラフパス理論という別の枠組みが必要になります。

Example 4.7（決定的な被積分関数：ウィーナー積分）

$f : [0,T] \to \mathbb{R}$ が（ランダムでない）可測関数で $\int_0^T f(s)^2\,ds < \infty$ を満たすとします。$\omega$ に依らない過程は自明に発展的可測なので $f \in \mathcal{L}^2[0,T]$ であり、$\int_0^T f(s)\,dB_s$ が定義されます。

この確率変数の分布を求めます。$f$ を階段関数 $f_n = \sum_i c_i \mathbf{1}_{(t_i, t_{i+1}]}$ で $L^2[0,T]$ 近似すると、$I(f_n) = \sum_i c_i \Delta_i B$ は独立な正規確率変数の線形結合なので、平均 $0$、分散 $\sum_i c_i^2 \Delta_i t = \int_0^T f_n^2\,ds$ の正規分布に従います。正規確率変数の $L^2$ 収束極限は正規分布に従う（特性関数が各点収束するため）ので、

$$\int_0^T f(s)\,dB_s \sim N\left(0, \int_0^T f(s)^2\,ds\right)$$

です。たとえば $f(s) = s$ のとき分散は $\int_0^T s^2 ds = T^3/3$ です。

5. 伊藤の公式：確率過程の連鎖律

積分を作っただけでは計算はできません。普通の微積分で威力を発揮するのは連鎖律 $\frac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t)) g'(t)$ です。確率解析における対応物が伊藤の公式で、二次変分のぶんだけ余分な項が現れます。

Definition 5.1（伊藤過程）

$\mu = (\mu_t)$ と $\sigma = (\sigma_t)$ を発展的可測な過程で、ほとんど確実に

$$\int_0^T |\mu_s|\,ds < \infty, \qquad \int_0^T \sigma_s^2\,ds < \infty$$

を満たすものとします。$X_0$ を $\mathcal{F}_0$-可測な確率変数として

$$X_t = X_0 + \int_0^t \mu_s\,ds + \int_0^t \sigma_s\,dB_s, \qquad t \in [0,T]$$

で定まる連続適合過程 $X$ を伊藤過程と呼び、微分形式で $dX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t$ と書きます。$\mu$ をドリフト、$\sigma$ を拡散係数といいます。

（$\sigma$ が $\mathcal{L}^2[0,T]$ に入らない場合も、停止時刻による局所化で伊藤積分は局所マルチンゲールとして定義できます。以下ではこの一般化を断りなく使います。）

Theorem 5.2（伊藤の公式）

$X$ を $dX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dB_t$ なる伊藤過程、$f : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $C^{1,2}$ 級（$t$ について 1 回、$x$ について 2 回連続微分可能）とします。このとき $(f(t, X_t))$ も伊藤過程であり、ほとんど確実にすべての $t \in [0,T]$ について

$$f(t, X_t) = f(0, X_0) + \int_0^t \left(\frac{\partial f}{\partial s} + \mu_s \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_s^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma_s \frac{\partial f}{\partial x}(s, X_s)\,dB_s$$

が成り立ちます。微分形式で書けば

$$df(t, X_t) = \left(\partial_t f + \mu_t \partial_x f + \tfrac12 \sigma_t^2 \partial_{xx} f\right)dt + \sigma_t \partial_x f\, dB_t.$$

Proof（Theorem 5.2）

本質は $f$ が時間に依らず $X = B$ の場合に尽きているので、この場合を完全に証明します。$f \in C^2(\mathbb{R})$ で $f'$ と $f''$ が有界と仮定します（一般の $f$ へは停止時刻で局所化して移ります。詳細は Appendix）。示すべきは

$$f(B_T) - f(B_0) = \int_0^T f'(B_s)\,dB_s + \frac{1}{2}\int_0^T f''(B_s)\,ds.$$

分割 $\Pi$ を取り、望遠鏡和とテイラーの定理（剰余項はラグランジュ形）により、$B_{t_i}$ と $B_{t_{i+1}}$ の間のある点 $\eta_i$ が存在して

$$f(B_T) - f(B_0) = \sum_i \left[f(B_{t_{i+1}}) - f(B_{t_i})\right] = \underbrace{\sum_i f'(B_{t_i}) \Delta_i B}_{=: A_\Pi} + \underbrace{\frac{1}{2}\sum_i f''(\eta_i) (\Delta_i B)^2}_{=: C_\Pi}.$$

第 1 項 $A_\Pi$。 過程 $Y^\Pi_s := \sum_i f'(B_{t_i}) \mathbf{1}_{(t_i, t_{i+1}]}(s)$ は単純過程で、$A_\Pi = I(Y^\Pi)$ です。$f'$ が有界連続で $B$ の道が一様連続なので $Y^\Pi_s \to f'(B_s)$ が各 $(s,\omega)$ で成り立ち、有界収束定理より $\|Y^\Pi - f'(B)\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。Theorem 4.6 の等長性から $A_\Pi \to \int_0^T f'(B_s)\,dB_s$（$L^2$ 収束）を得ます。

第 2 項 $C_\Pi$。 これを二つに分けます。

$$C_\Pi = \frac{1}{2}\sum_i f''(B_{t_i})(\Delta_i B)^2 + \frac{1}{2}\sum_i \left[f''(\eta_i) - f''(B_{t_i})\right](\Delta_i B)^2 =: C_\Pi^{(1)} + C_\Pi^{(2)}.$$

$C_\Pi^{(2)}$ が消えることを見ます。道は $[0,T]$ 上連続なのでコンパクト集合 $K(\omega) = B([0,T])(\omega)$ に値を取り、$f''$ は $K(\omega)$ の閉近傍上で一様連続です。$\eta_i$ は $B_{t_i}$ と $B_{t_{i+1}}$ の間にあるので $|\eta_i - B_{t_i}| \le |\Delta_i B| \le \max_i |\Delta_i B| \to 0$（道の一様連続性）。よって $\varepsilon_\Pi(\omega) := \max_i |f''(\eta_i) - f''(B_{t_i})| \to 0$ がほとんど確実に成り立ち、

$$|C_\Pi^{(2)}| \le \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_\Pi \cdot S_\Pi.$$

Theorem 3.1 より $S_\Pi$ は $L^2$ で $T$ に収束するので確率有界です。したがって $C_\Pi^{(2)} \to 0$ が確率収束の意味で成り立ちます。

$C_\Pi^{(1)}$ を評価します。$g := f''$（有界連続）とおき、

$$\sum_i g(B_{t_i})(\Delta_i B)^2 = \underbrace{\sum_i g(B_{t_i})\left[(\Delta_i B)^2 - \Delta_i t\right]}_{=: D_\Pi} + \underbrace{\sum_i g(B_{t_i})\Delta_i t}_{=: E_\Pi}$$

と分けます。$E_\Pi$ は連続関数 $s \mapsto g(B_s(\omega))$ のリーマン和なので、各 $\omega$ で $\int_0^T g(B_s)\,ds$ に収束します。

$D_\Pi$ は $L^2$ で消えます。$Z_i := g(B_{t_i})[(\Delta_i B)^2 - \Delta_i t]$ とおくと、$i < j$ のとき $Z_i$ は $\mathcal{F}_{t_j}$-可測で、

$$\mathbb{E}[Z_j \mid \mathcal{F}_{t_j}] = g(B_{t_j})\left(\mathbb{E}[(\Delta_j B)^2 \mid \mathcal{F}_{t_j}] - \Delta_j t\right) = 0$$

ですから $\mathbb{E}[Z_i Z_j] = \mathbb{E}[Z_i \mathbb{E}[Z_j \mid \mathcal{F}_{t_j}]] = 0$、つまり交差項が消えます。対角項は、$\Delta_i B$ が $\mathcal{F}_{t_i}$ と独立で $\operatorname{Var}((\Delta_i B)^2) = 2(\Delta_i t)^2$（Theorem 3.1 の証明中の計算）なので

$$\mathbb{E}[Z_i^2] = \mathbb{E}\left[g(B_{t_i})^2\right] \cdot 2(\Delta_i t)^2 \le 2\|g\|_\infty^2 (\Delta_i t)^2.$$

よって

$$\mathbb{E}[D_\Pi^2] = \sum_i \mathbb{E}[Z_i^2] \le 2\|g\|_\infty^2 \|\Pi\| T \longrightarrow 0.$$

以上を合わせると、$\|\Pi\| \to 0$ のとき（確率収束の意味で）

$$f(B_T) - f(B_0) = A_\Pi + C_\Pi \longrightarrow \int_0^T f'(B_s)\,dB_s + \frac{1}{2}\int_0^T f''(B_s)\,ds$$

となります。左辺は $\Pi$ に依らない定数（確率変数）ですから、等式が成り立ちます。時間依存の場合と一般の伊藤過程の場合は、テイラー展開を $f(t+\Delta t, x+\Delta x)$ の 2 変数版に置き換え、$(\Delta_i t)^2$ と $\Delta_i t \cdot \Delta_i B$ の寄与が消えること（前者は明らかに $\|\Pi\| T \to 0$、後者はコーシー・シュワルツと $\mathbb{E}[(\Delta_i B)^2] = \Delta_i t$ から $\sum_i \Delta_i t \sqrt{\Delta_i t} \le \sqrt{\|\Pi\|}\,T \to 0$）を確かめれば、同じ議論が通ります。

∎

覚え方としては、形式的な計算規則

$$(dt)^2 = 0, \qquad dt \cdot dB_t = 0, \qquad (dB_t)^2 = dt$$

のもとで $f$ を 2 次までテイラー展開する、と思えばよいです。$(dB_t)^2 = dt$ が Theorem 3.1 の言い換えです。

Example 5.3（ブラウン運動自身の伊藤積分）

$f(x) = x^2/2$ に Theorem 5.2 を適用します。$X = B$（$\mu = 0$, $\sigma = 1$）で $f'(x) = x$, $f''(x) = 1$ なので

$$\frac{B_t^2}{2} = \frac{B_0^2}{2} + \int_0^t B_s\,dB_s + \frac{1}{2}\int_0^t 1\,ds,$$

すなわち

$$\int_0^t B_s\,dB_s = \frac{B_t^2}{2} - \frac{t}{2}.$$

これは Example 3.4 で左端和の極限として求めた値と一致します。普通の微積分の感覚では $\int_0^t B\,dB = B_t^2/2$ となるはずで、$-t/2$ が二次変分に由来する補正項です。この補正のおかげで右辺は平均 $0$ のマルチンゲールになっています（実際 $\mathbb{E}[B_t^2] = t$）。

Example 5.4（幾何ブラウン運動）

$\mu, \sigma \in \mathbb{R}$、$S_0 > 0$ とし、方程式

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t$$

を考えます。「変化率が一定のドリフトとランダムな揺らぎからなる」というモデルで、株価や個体数の標準的な記述です。

解を推測するため $f(x) = \ln x$（$x > 0$）に Theorem 5.2 を適用します。$f'(x) = 1/x$, $f''(x) = -1/x^2$ で、伊藤過程 $S$ のドリフトは $\mu S_t$、拡散係数は $\sigma S_t$ ですから

$$d(\ln S_t) = \left(\mu S_t \cdot \frac{1}{S_t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \cdot \left(-\frac{1}{S_t^2}\right)\right)dt + \sigma S_t \cdot \frac{1}{S_t}\,dB_t = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dB_t.$$

右辺には $S$ が現れないので積分できて、$\ln S_t = \ln S_0 + (\mu - \sigma^2/2)t + \sigma B_t$、つまり

$$S_t = S_0 \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B_t\right).$$

これが本当に解であることを検算します。$Y_t = (\mu - \sigma^2/2)t + \sigma B_t$、$g(y) = S_0 e^y$ とおくと $g' = g'' = S_0 e^y$ で、$Y$ のドリフトは $\mu - \sigma^2/2$、拡散係数は $\sigma$ ですから Theorem 5.2 より

$$dS_t = S_t\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \frac{1}{2}S_t \sigma^2\,dt + S_t \sigma\,dB_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t.$$

確かに元の方程式を満たします。

期待値も計算できます。$\sigma B_t \sim N(0, \sigma^2 t)$ の指数モーメントは $\mathbb{E}[e^{\sigma B_t}] = e^{\sigma^2 t/2}$ なので

$$\mathbb{E}[S_t] = S_0 e^{(\mu - \sigma^2/2)t} \cdot e^{\sigma^2 t/2} = S_0 e^{\mu t}.$$

平均は決定論的な指数増殖と同じです。一方 $\ln S_t$ の平均は $\ln S_0 + (\mu - \sigma^2/2)t$ で、$\mu < \sigma^2/2$ なら $S_t \to 0$ がほとんど確実に成り立ちます。平均は増えるのに典型的な道は $0$ に落ちる、という食い違いは、対数正規分布の裾が重いことの帰結です。

Example 5.5（オルンシュタイン・ウーレンベック過程）

$\theta > 0$, $\sigma > 0$ とし

$$dX_t = -\theta X_t\,dt + \sigma\,dB_t$$

を考えます。原点へ引き戻す力と雑音のつり合いで、粘性のある媒質中の粒子の速度や、平均回帰する金利のモデルです。

積分因子 $e^{\theta t}$ を掛けます。$f(t,x) = e^{\theta t}x$ に Theorem 5.2 を適用すると、$\partial_t f = \theta e^{\theta t} x$, $\partial_x f = e^{\theta t}$, $\partial_{xx} f = 0$ なので二次の項は現れず

$$d\left(e^{\theta t} X_t\right) = \theta e^{\theta t} X_t\,dt + e^{\theta t}\left(-\theta X_t\,dt + \sigma\,dB_t\right) = \sigma e^{\theta t}\,dB_t.$$

両辺を $0$ から $t$ まで積分して $e^{\theta t}X_t - X_0 = \sigma \int_0^t e^{\theta s}\,dB_s$、つまり

$$X_t = X_0 e^{-\theta t} + \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)}\,dB_s.$$

被積分関数は決定的なので Example 4.7 が使え、$X_0 = x_0$ が定数のとき $X_t$ は正規分布に従い、

$$\mathbb{E}[X_t] = x_0 e^{-\theta t}, \qquad \operatorname{Var}(X_t) = \sigma^2 \int_0^t e^{-2\theta(t-s)}\,ds = \frac{\sigma^2}{2\theta}\left(1 - e^{-2\theta t}\right).$$

$t \to \infty$ で $N(0, \sigma^2/(2\theta))$ に収束します。これが定常分布で、引き戻しの強さ $\theta$ と雑音の強さ $\sigma$ の比で広がりが決まります。

Remark 5.6

Example 3.4 の中点評価に対応するストラトノヴィッチ積分 $\int X \circ dB$ では、伊藤の公式の二次項が消え、通常の連鎖律 $df(X) = f'(X) \circ dX$ が成り立ちます。計算は楽ですが、積分がマルチンゲールにならないので確率論的な取り扱いは難しくなります。両者は $\int_0^t X \circ dB = \int_0^t X\,dB + \frac12 \langle X, B\rangle_t$ で相互変換できます。物理では雑音の由来（外部雑音か内部雑音か）によって使い分けが議論されます。

6. 確率微分方程式の解の存在と一意性

道具が揃ったので、方程式そのものを扱います。

Definition 6.1（確率微分方程式と強解）

可測関数 $b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $\mathcal{F}_0$-可測な確率変数 $\xi$ が与えられたとき、確率微分方程式

$$dX_t = b(t, X_t)\,dt + \sigma(t, X_t)\,dB_t, \qquad X_0 = \xi$$

の強解とは、連続な道をもつ $(\mathcal{F}_t)$-適合過程 $X$ であって、ほとんど確実にすべての $t \in [0,T]$ で

$$X_t = \xi + \int_0^t b(s, X_s)\,ds + \int_0^t \sigma(s, X_s)\,dB_s$$

が成り立ち、かつ二つの積分が定義される（$\int_0^T |b(s,X_s)|\,ds < \infty$ かつ $\int_0^T \sigma(s,X_s)^2\,ds < \infty$ が a.s.）ものをいいます。

「強」とはブラウン運動 $B$ とフィルトレーションが先に与えられていて、その上で解を作ることを指します。証明にはグロンウォールの不等式を使うので、先に用意します。

Lemma 6.2（グロンウォールの不等式）

$u : [0,T] \to [0,\infty)$ を有界可測関数、$a \ge 0$, $C \ge 0$ を定数とし、すべての $t \in [0,T]$ で

$$u(t) \le a + C\int_0^t u(s)\,ds$$

が成り立つとします。このとき $u(t) \le a e^{Ct}$ がすべての $t \in [0,T]$ で成り立ちます。

Proof（Lemma 6.2）

仮定の不等式を自分自身に代入する操作を繰り返します。$M := \sup_{[0,T]} u < \infty$ とおきます。まず $u(s) \le a + C\int_0^s u$ を右辺に入れると

$$u(t) \le a + C\int_0^t \left(a + C\int_0^{s} u(r)\,dr\right)ds = a + aCt + C^2 \int_0^t \int_0^s u(r)\,dr\,ds.$$

これを $n$ 回繰り返すと、帰納法により

$$u(t) \le a\sum_{k=0}^{n} \frac{(Ct)^k}{k!} + C^{n+1} \int_0^t \int_0^{s_1}\cdots\int_0^{s_n} u(s_{n+1})\,ds_{n+1}\cdots ds_1.$$

最後の項は $u \le M$ より $M \frac{(Ct)^{n+1}}{(n+1)!}$ で抑えられ（$n+1$ 重の単体の体積が $t^{n+1}/(n+1)!$）、$n \to \infty$ で $0$ に収束します。第 1 項は $a e^{Ct}$ に収束します。よって $u(t) \le a e^{Ct}$ です。

∎

Theorem 6.3（解の存在と一意性）

$b, \sigma : [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を可測とし、ある定数 $K > 0$ が存在して、すべての $t \in [0,T]$, $x, y \in \mathbb{R}$ について

$$|b(t,x) - b(t,y)| + |\sigma(t,x) - \sigma(t,y)| \le K|x - y| \quad \text{(リプシッツ条件)},$$$$|b(t,x)| + |\sigma(t,x)| \le K(1 + |x|) \quad \text{(線形増大条件)}$$

が成り立つとします。さらに $\xi$ は $\mathcal{F}_0$-可測で $\mathbb{E}[\xi^2] < \infty$ とします。このとき Definition 6.1 の意味での強解が存在し、

$$\mathbb{E}\left[\sup_{t \le T} X_t^2\right] < \infty$$

を満たします。またこの条件を満たす解は識別不能の意味で一意です（二つの解 $X, Y$ について $\mathbb{P}(X_t = Y_t \ \text{for all } t \in [0,T]) = 1$）。

Proof（Theorem 6.3）

一意性。 $X, Y$ をともに $\mathbb{E}[\sup_{t\le T} X_t^2] < \infty$, $\mathbb{E}[\sup_{t\le T} Y_t^2] < \infty$ を満たす解とし、$D(t) := \mathbb{E}[(X_t - Y_t)^2]$ とおきます。線形増大条件と二乗可積分性から $D$ は $[0,T]$ 上有界です。定義式の差を取ると

$$X_t - Y_t = \int_0^t \left(b(s,X_s) - b(s,Y_s)\right)ds + \int_0^t \left(\sigma(s,X_s) - \sigma(s,Y_s)\right)dB_s.$$

$(\alpha + \beta)^2 \le 2\alpha^2 + 2\beta^2$ を使って

$$D(t) \le 2\,\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t (b(s,X_s)-b(s,Y_s))\,ds\right)^2\right] + 2\,\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t (\sigma(s,X_s)-\sigma(s,Y_s))\,dB_s\right)^2\right].$$

第 1 項にはコーシー・シュワルツの不等式 $\left(\int_0^t h\,ds\right)^2 \le t\int_0^t h^2\,ds$ を、第 2 項には Theorem 4.6 の伊藤等長性を適用します。さらにリプシッツ条件を使うと

$$D(t) \le 2t \int_0^t K^2 D(s)\,ds + 2\int_0^t K^2 D(s)\,ds \le 2K^2(T+1)\int_0^t D(s)\,ds.$$

（フビニの定理で期待値と時間積分を交換しました。被積分項は非負なのでトネリの定理で正当化されます。）これは $a = 0$, $C = 2K^2(T+1)$ としたグロンウォールの形なので、Lemma 6.2 より $D(t) \le 0$、すなわち $D(t) = 0$ です。よって各 $t$ について $\mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1$ であり、有理数 $t$ をすべて集めても確率 $1$ の事象です。$X, Y$ の道は連続ですから、有理点で一致すれば全時刻で一致します。ゆえに $X$ と $Y$ は識別不能です。

存在。 ピカール反復を用います。$X^{(0)}_t := \xi$ と定め、

$$X^{(n+1)}_t := \xi + \int_0^t b(s, X^{(n)}_s)\,ds + \int_0^t \sigma(s, X^{(n)}_s)\,dB_s$$

と帰納的に定義します。線形増大条件から各 $X^{(n)}$ は連続適合で $\mathbb{E}[\sup_{t \le T}(X^{(n)}_t)^2] < \infty$ を満たし（帰納法とドゥーブの極大不等式）、上の反復が意味をもちます。$\delta_n(t) := \mathbb{E}[\sup_{u \le t}(X^{(n+1)}_u - X^{(n)}_u)^2]$ とおくと、一意性の計算とドゥーブの $L^2$ 極大不等式（伊藤積分の部分に適用）から定数 $C_1 = C_1(K,T)$ について

$$\delta_{n}(t) \le C_1 \int_0^t \delta_{n-1}(s)\,ds$$

が従います。これを反復すると $\delta_n(T) \le \delta_0(T)\,\frac{(C_1 T)^n}{n!}$ となり、右辺は総和可能です。チェビシェフの不等式とボレル・カンテリの補題から、道の列 $(X^{(n)})$ は $[0,T]$ 上ほとんど確実に一様収束します。極限 $X$ は連続適合で、リプシッツ条件により反復式の両辺の極限を取ることができ（左辺は一様収束、右辺の伊藤積分は伊藤等長性による $L^2$ 収束）、$X$ が解であることがわかります。詳細は下記参考文献のエクセンダール第 5 章、またはカラツァス・シュリーブ第 5 章にあります。

∎

Remark 6.4

リプシッツ条件を落とすと一意性は壊れます。決定論的な例 $\frac{dx}{dt} = 3x^{2/3}$, $x(0) = 0$ は $x \equiv 0$ と $x(t) = t^3$ という二つの解をもちます（$x \mapsto 3x^{2/3}$ は原点でリプシッツでない）。$\sigma = 0$ とすればこれはそのまま確率微分方程式の反例です。ただし 1 次元では、$\sigma$ が $|x-y|^{1/2}$ のヘルダー条件を満たせば一意性が回復するという山田・渡辺の定理があり、これは金融でよく使われる CIR モデル $dX = a(b-X)dt + \sigma\sqrt{X}\,dB$ の well-posedness を保証します。

7. 応用：ブラック・ショールズ方程式

伊藤の公式が実務に与えた最も有名な帰結を見ます。1973 年のブラック・ショールズ・マートンの議論です。

市場に二つの資産があるとします。安全資産（銀行預金）$\beta_t = e^{rt}$（$r$ は定数の無リスク金利）と、危険資産（株）$S_t$ で、$S$ は Example 5.4 の幾何ブラウン運動 $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t$ に従うとします。満期 $T$、行使価格 $K$ のヨーロピアン・コールオプションは、時刻 $T$ に $(S_T - K)^+$ を受け取る権利です。この権利の時刻 $t$ における適正価格を求めたい、というのが問題です。

Proposition 7.1（ブラック・ショールズ方程式）

オプション価格が $C^{1,2}$ 級の関数 $V(t, S_t)$ の形に書け、株と預金の連続的な売買で複製ポートフォリオが組め、無裁定であると仮定します。このとき $V$ は $(t, S) \in [0,T) \times (0,\infty)$ 上で

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

を満たし、終端条件は $V(T, S) = (S - K)^+$ です。

Proof（Proposition 7.1）

まず Theorem 5.2 を $f = V$、伊藤過程 $S$（ドリフト $\mu S$、拡散係数 $\sigma S$）に適用します。

$$dV(t, S_t) = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \frac{\partial V}{\partial S}\,dB_t.$$

次にポートフォリオ $\Pi_t := V(t,S_t) - \Delta_t S_t$（オプションを 1 単位持ち、株を $\Delta_t$ 単位空売り）を考えます。自己資金充足の条件のもとで

$$d\Pi_t = dV(t,S_t) - \Delta_t\,dS_t = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (\mu S_t)\left(\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_t\right)\right)dt + \sigma S_t\left(\frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_t\right)dB_t.$$

ここで $\Delta_t := \frac{\partial V}{\partial S}(t, S_t)$ と選びます。すると $dB_t$ の係数が消え、$\mu$ を含む項も同時に消えて

$$d\Pi_t = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$$

となります。この瞬間、ポートフォリオはランダム性を失いました。 $\partial V/\partial S$ という選択は伊藤の公式が $dB_t$ の係数を明示的に与えてくれるからこそ可能で、ここが 1973 年の論文の核心です。

リスクがないポートフォリオの収益率は、無裁定なら無リスク金利に一致しなければなりません（そうでなければ、預金と $\Pi$ の一方を借りて他方を買うことで確実な利益が出ます）。よって $d\Pi_t = r\Pi_t\,dt$、すなわち

$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = r\left(V - S_t\frac{\partial V}{\partial S}\right).$$

整理すれば主張の方程式です。終端条件は、満期にオプションの価値が payoff そのものになることから $V(T,S) = (S-K)^+$ です。

∎

注目すべきは、方程式に $\mu$（株の期待収益率）が現れないことです。オプションの価格は「株がどれくらい儲かると思うか」に依らず、ボラティリティ $\sigma$ と金利 $r$ だけで決まります。相殺の理由は上の計算に明示されていて、$\Delta_t = \partial V/\partial S$ と置いた瞬間に $\mu S_t (\partial V/\partial S - \Delta_t)$ が消えたからです。

Example 7.2（ブラック・ショールズ公式）

Proposition 7.1 の方程式は、変数変換 $\tau = T - t$, $x = \ln S$ と $V = e^{-r\tau}u$ によって熱方程式に帰着し、明示的に解けます。$\tau = T - t > 0$ とし $\Phi$ を標準正規分布の分布関数として

$$V(t, S) = S\,\Phi(d_1) - K e^{-r\tau}\,\Phi(d_2),$$$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}.$$

同じ答えは確率論的にも書けます。ドリフトを $\mu$ から $r$ に取り替えた測度 $\mathbb{Q}$（リスク中立測度）のもとで $dS_t = rS_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$ とすると

$$V(t,S_t) = e^{-r\tau}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[(S_T - K)^+ \mid \mathcal{F}_t\right]$$

です。$\mathbb{Q}$ のもとで $S_T = S_t \exp((r - \sigma^2/2)\tau + \sigma(W_T - W_t))$ が対数正規分布に従うので、この期待値を直接積分すれば上の公式が出ます。実際、$Z \sim N(0,1)$ として $\mathbb{E}[(S_t e^{(r-\sigma^2/2)\tau + \sigma\sqrt{\tau}Z} - K)^+]$ を、被積分関数が正になる領域 $Z > -d_2$ の上で二つの項に分けて積分すると、第 1 項は平方完成により $S_t e^{r\tau}\Phi(d_1)$、第 2 項は $K\Phi(d_2)$ となります。

Remark 7.3

測度 $\mathbb{P}$ から $\mathbb{Q}$ への乗り換えを正当化するのがギルサノフの定理です。大まかには「密度 $\exp(-\lambda B_T - \lambda^2 T/2)$ で測度を取り替えると、$B_t + \lambda t$ が新しい測度のもとでブラウン運動になる」という主張で、ドリフトの付け替えを可能にします。証明にはこの記事で扱った範囲を超える道具（指数マルチンゲールのノビコフ条件など）が要るので、参考文献のシュリーブ第 5 章を参照してください。演習 4 でその指数マルチンゲールに触れます。

8. 演習

Exercise 8.1易

$\int_0^t s\,dB_s$ の分布を求めてください。また $\mathbb{E}\left[\left(\int_0^t s\,dB_s\right)^2\right]$ を計算してください。

Solution

被積分関数 $f(s) = s$ は決定的で、$\int_0^t s^2\,ds = t^3/3 < \infty$ なので $f \in \mathcal{L}^2[0,t]$ です。Example 4.7 より

$$\int_0^t s\,dB_s \sim N\left(0, \int_0^t s^2\,ds\right) = N\left(0, \frac{t^3}{3}\right).$$

二次モーメントは、平均が $0$ なので分散に等しく $t^3/3$ です。これは Theorem 4.6 の伊藤等長性 $\mathbb{E}[(\int_0^t s\,dB_s)^2] = \mathbb{E}[\int_0^t s^2\,ds] = t^3/3$ からも直ちに得られます。

Exercise 8.2標準

$M_t := B_t^3 - 3tB_t$ が $(\mathcal{F}_t)$-マルチンゲールであることを、伊藤の公式を使って示してください。

Solution

$f(t,x) = x^3 - 3tx$ とおきます。これは $C^{1,2}$ 級で

$$\partial_t f = -3x, \qquad \partial_x f = 3x^2 - 3t, \qquad \partial_{xx} f = 6x.$$

$X = B$ はドリフト $0$、拡散係数 $1$ の伊藤過程なので Theorem 5.2 より

$$dM_t = \left(-3B_t + 0 \cdot (3B_t^2 - 3t) + \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 6B_t\right)dt + (3B_t^2 - 3t)\,dB_t = (3B_t^2 - 3t)\,dB_t.$$

$dt$ の項は $-3B_t + 3B_t = 0$ で消えました。つまり

$$M_t = \int_0^t (3B_s^2 - 3s)\,dB_s$$

です。この被積分過程は連続適合で、

$$\mathbb{E}\left[\int_0^T (3B_s^2 - 3s)^2\,ds\right] = 9\int_0^T \left(\mathbb{E}[B_s^4] - 2s\,\mathbb{E}[B_s^2] + s^2\right)ds = 9\int_0^T (3s^2 - 2s^2 + s^2)\,ds = 18\int_0^T s^2\,ds$$

が有限です（$\mathbb{E}[B_s^4] = 3s^2$ を使いました）。よって被積分過程は $\mathcal{L}^2[0,T]$ に属し、Theorem 4.6 より $M$ は真のマルチンゲールです。局所マルチンゲールであることだけでは不十分で、この可積分性の確認が必要である点に注意してください。

Exercise 8.3標準

$Y_t := \int_0^t B_s\,ds$（各道ごとの通常のリーマン積分）について、$Y_t$ がガウス分布に従うことを示し、平均と分散を求めてください。

Solution

$f(t,x) = tx$ に Theorem 5.2 を適用します。$\partial_t f = x$, $\partial_x f = t$, $\partial_{xx} f = 0$ なので

$$d(tB_t) = B_t\,dt + t\,dB_t.$$

両辺を $0$ から $t$ まで積分すると $tB_t = \int_0^t B_s\,ds + \int_0^t s\,dB_s$、すなわち

$$Y_t = tB_t - \int_0^t s\,dB_s.$$

ここで $tB_t = \int_0^t t\,dB_s$（$t$ は固定なので定数）と書けるので

$$Y_t = \int_0^t (t - s)\,dB_s.$$

被積分関数 $s \mapsto t - s$ は決定的なので Example 4.7 が適用でき、$Y_t$ はガウス分布に従い

$$\mathbb{E}[Y_t] = 0, \qquad \operatorname{Var}(Y_t) = \int_0^t (t-s)^2\,ds = \left[-\frac{(t-s)^3}{3}\right]_0^t = \frac{t^3}{3}.$$

偶然にも Exercise 8.1 と同じ分散になります（変数変換 $s \mapsto t - s$ で被積分関数が一致するためです）。

Exercise 8.4難

$\sigma \ne 0$ を定数とし、$Z_t := \exp\left(\sigma B_t - \frac{\sigma^2}{2}t\right)$ とおきます。

(a) $dZ_t = \sigma Z_t\,dB_t$ を示してください。 (b) $Z$ が $[0,T]$ 上で真のマルチンゲールであること、特に $\mathbb{E}[Z_t] = 1$ を示してください。 (c) $t \to \infty$ のとき $Z_t \to 0$ がほとんど確実に成り立つことを示し、(b) と矛盾しない理由を説明してください。

Solution

(a) $Y_t := \sigma B_t - \frac{\sigma^2}{2}t$ はドリフト $-\sigma^2/2$、拡散係数 $\sigma$ の伊藤過程です。$g(y) = e^y$ に Theorem 5.2 を適用すると $g' = g'' = e^y$ なので

$$dZ_t = e^{Y_t}\left(-\frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \frac{1}{2}e^{Y_t}\sigma^2\,dt + e^{Y_t}\sigma\,dB_t = \sigma Z_t\,dB_t.$$

$dt$ の項が相殺しました。この相殺のために指数の肩に $-\sigma^2 t/2$ を入れてあるわけです。

(b) (a) より $Z_t = 1 + \int_0^t \sigma Z_s\,dB_s$ です。被積分過程 $\sigma Z$ が $\mathcal{L}^2[0,T]$ に属することを確認します。$2\sigma B_s \sim N(0, 4\sigma^2 s)$ の指数モーメントから

$$\mathbb{E}[Z_s^2] = \mathbb{E}\left[e^{2\sigma B_s - \sigma^2 s}\right] = e^{-\sigma^2 s}\,e^{2\sigma^2 s} = e^{\sigma^2 s}$$

なので

$$\mathbb{E}\left[\int_0^T \sigma^2 Z_s^2\,ds\right] = \sigma^2 \int_0^T e^{\sigma^2 s}\,ds = e^{\sigma^2 T} - 1 < \infty.$$

よって Theorem 4.6 より $Z$ はマルチンゲールで、$\mathbb{E}[Z_t] = \mathbb{E}[Z_0] = 1$ です。

(c) ブラウン運動の大数の法則（Corollary 5.7）［マルチンゲールとブラウン運動］ $B_t/t \to 0$（a.s., $t \to \infty$）を使います。指数の肩を

$$\sigma B_t - \frac{\sigma^2}{2}t = t\left(\sigma\frac{B_t}{t} - \frac{\sigma^2}{2}\right)$$

と書くと、括弧の中は $-\sigma^2/2 < 0$ に収束します。よって十分大きい $t$ で括弧は $-\sigma^2/4$ 以下となり、肩は $-\infty$ に発散します。ゆえに $Z_t \to 0$ が a.s. です。

矛盾しない理由は、各点収束と期待値の収束が一致するには一様可積分性が必要だからです。$Z_t \to 0$ a.s. かつ $\mathbb{E}[Z_t] = 1$ という組み合わせは、族 $(Z_t)_{t \ge 0}$ が一様可積分でないことを示しています。直観的には、$Z_t$ の質量のほとんどは $0$ の近くに集まる一方、確率は小さいが値が極端に大きい事象が平均 $1$ を支えている、という状況です。これはリスク中立測度への変換（Remark 7.3）で、無限時間区間を扱うときに注意が必要な理由でもあります。

参考文献

• 伊藤清『確率論』岩波書店、1991 — 確率積分と確率微分方程式の章。創始者自身による記述です。
• B. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th ed., Springer, 2003 — 第 3 章（伊藤積分）、第 4 章（伊藤の公式）、第 5 章（存在と一意性）。学部から読める標準的な入門書です。
• I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991 — 第 3 章（確率積分）、第 5 章（確率微分方程式）。厳密さを求めるならこれです。
• S. E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer, 2004 — 第 4 章（伊藤積分と伊藤の公式）、第 5 章（リスク中立価格付け）。金融への応用が丁寧です。
• F. Black, M. Scholes, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy 81 (1973), 637–654. DOI: 10.1086/260062
• 舟木直久『確率微分方程式』岩波書店、2005 — 日本語で書かれた確率解析の標準的な教科書です。

Appendix: 稠密性補題の証明の筋道

Lemma 4.4 の証明は 3 段階に分かれます。以下 $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ とし、収束はすべて $\|\cdot\|_{\mathcal{L}^2}$ に関するものです。

第 1 段階：有界な過程への帰着。 $X^{(N)}_t := (X_t \wedge N) \vee (-N)$ とおくと、$X^{(N)}$ は発展的可測で $|X^{(N)}| \le N$、かつ $|X^{(N)} - X|^2 \le |X|^2 \cdot \mathbf{1}_{\{|X| > N\}}$ です。右辺は $N \to \infty$ で $0$ に各点収束し $|X|^2$ で支配されるので、優収束定理（ルベーグの優収束定理（Theorem 7.3）［ルベーグ積分の定義と収束定理］）から $\|X^{(N)} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ となります。よって $X$ は有界としてよいです。

第 2 段階：連続な道をもつ過程への帰着。 $X$ を有界（$|X| \le N$）とし、$X_t = 0$（$t < 0$）と延長した上で

$$X^{(m)}_t := m\int_{(t - 1/m) \vee 0}^{t} X_s\,ds$$

とおきます。これは過去の値だけを平均しているので適合性を保ち、道は連続で、$|X^{(m)}| \le N$ です。ルベーグの微分定理により、ほとんどすべての $(t,\omega)$ で $X^{(m)}_t(\omega) \to X_t(\omega)$ が成り立ちます。有界収束定理から $\|X^{(m)} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。

第 3 段階：連続な過程の左端離散化。 $X$ が有界で連続な道をもつとし、$[0,T]$ の $n$ 等分割 $t^n_i = iT/n$ に対して

$$X^{[n]}_t := \sum_{i=0}^{n-1} X_{t^n_i}\,\mathbf{1}_{(t^n_i,\, t^n_{i+1}]}(t)$$

とおきます。$X_{t^n_i}$ は $\mathcal{F}_{t^n_i}$-可測なので $X^{[n]}$ は単純過程です。道の連続性から各 $(t,\omega)$ で $X^{[n]}_t(\omega) \to X_t(\omega)$ が成り立ち、一様有界なので有界収束定理より $\|X^{[n]} - X\|_{\mathcal{L}^2} \to 0$ です。ここで左端 $t^n_i$ を評価点に選べることが決定的です。 右端 $t^n_{i+1}$ を取ると $X_{t^n_{i+1}}$ は $\mathcal{F}_{t^n_i}$-可測にならず、単純過程にならないため、伊藤等長性の証明（Theorem 4.3）が崩れます。

三段階を合成すれば、任意の $X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ が単純過程で近似できます。なお第 2 段階の平均化は「未来を見ない」平滑化になっている点が肝で、両側平均 $\frac{m}{2}\int_{t-1/m}^{t+1/m}$ では適合性が失われて構成全体が破綻します。

一般の伊藤の公式について。 Theorem 5.2 の証明では $f'$, $f''$ の有界性を仮定しました。一般の $C^{1,2}$ 級 $f$ には停止時刻

$$\tau_n := \inf\{t \ge 0 : |X_t| \ge n\} \wedge T$$

を導入し、$[0, \tau_n]$ 上では $X$ が有界なので $f$ を $[-n-1, n+1]$ の外で滑らかに切り落として有界導関数の場合に帰着させます。道の連続性から $\tau_n \to T$（a.s.）なので、$n \to \infty$ とすれば全区間での公式が得られます。この「局所化」は確率解析のいたるところで現れる標準的な手続きです。