1820 年にエルステッドが「電流のそばに置いた磁針が振れる」ことを発見しました。電流は磁場をつくる。ではその逆、磁場は電流をつくるのか。この素朴な問いに答えるまでに 11 年かかりました。答えが遅れた理由は単純です。磁石をコイルのそばに置いておくだけでは、何も起こらない からです。
SI 単位系を使います。電場 E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B ρ \rho ρ j \boldsymbol{j} j ε 0 \varepsilon_0 ε 0 μ 0 \mu_0 μ 0
前章までに得ている法則は次の 3 本です。
法則 積分形 微分形 ガウスの法則 ∮ ∂ V E ⋅ d S = 1 ε 0 ∫ V ρ d V \displaystyle\oint_{\partial V} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\, dV ∮ ∂ V E ⋅ d S = ε 0 1 ∫ V ρ d V div E = ρ / ε 0 \operatorname{div}\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0 div E = ρ / ε 0 磁場のガウスの法則 ∮ ∂ V B ⋅ d S = 0 \displaystyle\oint_{\partial V} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = 0 ∮ ∂ V B ⋅ d S = 0 div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0 div B = 0 アンペールの法則（静磁場） ∮ C B ⋅ d l = μ 0 ∫ S j ⋅ d S \displaystyle\oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \int_S \boldsymbol{j}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C B ⋅ d l = μ 0 ∫ S j ⋅ d S rot B = μ 0 j \operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{j} rot B = μ 0 j
そして、電荷の保存を表す連続の式（Theorem 2.3）［Steady Currents and Magnetostatic Fields］
div j + ∂ ρ ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 div j + ∂ t ∂ ρ = 0 があります。これは実験法則というより、電荷が生成も消滅もしないという要請を局所的に書いたものです。ある領域から電流として流れ出た分だけ、その領域の電荷が減る、と読みます。
積分形と微分形を行き来するために、ベクトル解析の 2 つの定理を使います。V V V S S S C = ∂ S C = \partial S C = ∂ S
∫ V div F d V = ∮ ∂ V F ⋅ d S , ∫ S rot F ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d l \int_V \operatorname{div}\boldsymbol{F}\, dV = \oint_{\partial V} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S}, \qquad
\int_S \operatorname{rot}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{S} = \oint_{C} \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{l} ∫ V div F d V = ∮ ∂ V F ⋅ d S , ∫ S rot F ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d l 前者がガウスの発散定理（Theorem 5.3）［Electrostatic Fields and Gauss's Law］ 、後者がストークスの定理（Theorem 5.3）［Steady Currents and Magnetostatic Fields］ です。面積分の計算そのものについては 重積分と累次積分 を参照してください。
Definition 3.1 （磁束 ）
有向曲面 S S S n \boldsymbol{n} n 磁束 Φ B \Phi_B Φ B
Φ B = ∫ S B ⋅ d S = ∫ S B ⋅ n d A \Phi_B = \int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_S \boldsymbol{B}\cdot \boldsymbol{n}\, dA Φ B = ∫ S B ⋅ d S = ∫ S B ⋅ n d A で定義する。単位はウェーバ（Wb = = =
磁束が曲面 S S S C C C div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 Theorem 4.4［Steady Currents and Magnetostatic Fields］ ）の帰結です。同じ境界 C C C S 1 , S 2 S_1, S_2 S 1 , S 2 0 0 0 ∫ S 1 B ⋅ d S = ∫ S 2 B ⋅ d S \int_{S_1}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_{S_2}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} ∫ S 1 B ⋅ d S = ∫ S 2 B ⋅ d S C C C
Definition 3.2 （起電力 ）
閉曲線 C C C 起電力 （electromotive force, EMF）E \mathcal{E} E C C C C C C v \boldsymbol{v} v q q q F = q ( E + v × B ) \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) F = q ( E + v × B )
E = ∮ C ( E + v × B ) ⋅ d l \mathcal{E} = \oint_C (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l} E = ∮ C ( E + v × B ) ⋅ d l である。単位はボルト（V）。C C C E = ∮ C E ⋅ d l \mathcal{E} = \oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} E = ∮ C E ⋅ d l
名前に「力」と付いていますが次元は電圧です。19 世紀の用語がそのまま残ったもので、力ではありません。
Axiom 3.3 （ファラデーの電磁誘導の法則 ）
任意の閉曲線 C C C C C C S ( t ) S(t) S ( t )
E = − d Φ B d t , Φ B ( t ) = ∫ S ( t ) B ⋅ d S \mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \Phi_B(t) = \int_{S(t)} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} E = − d t d Φ B , Φ B ( t ) = ∫ S ( t ) B ⋅ d S が成り立つ。ここで C C C S S S
右辺のマイナス符号がレンツの法則 です。誘導起電力は、それが駆動する電流がつくる磁場によって、元の磁束変化を打ち消す向きに生じます。もしこの符号がプラスだったらどうなるか考えてみてください。磁束がわずかに増えると、それを増やす向きの電流が流れ、磁束がさらに増え、電流がさらに増える。エネルギーが無限に湧き出します。マイナス符号はエネルギー保存の要請そのものです。
Example 3.4 （一様磁場中で回転するコイル（交流発電機） ）
一様な磁束密度 B = B x ^ \boldsymbol{B} = B\hat{\boldsymbol{x}} B = B x ^ A A A N N N z z z ω \omega ω t t t n ( t ) = ( cos ω t , sin ω t , 0 ) \boldsymbol{n}(t) = (\cos\omega t,\ \sin\omega t,\ 0) n ( t ) = ( cos ω t , sin ω t , 0 )
Φ 1 ( t ) = B ⋅ n ( t ) A = B A cos ω t \Phi_1(t) = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{n}(t)\, A = BA\cos\omega t Φ 1 ( t ) = B ⋅ n ( t ) A = B A cos ω t です。N N N N N N Φ B = N B A cos ω t \Phi_B = NBA\cos\omega t Φ B = N B A cos ω t Axiom 3.3 より
E = − d d t ( N B A cos ω t ) = N B A ω sin ω t \mathcal{E} = -\frac{d}{dt}\bigl(NBA\cos\omega t\bigr) = NBA\,\omega \sin\omega t E = − d t d ( N B A cos ω t ) = N B A ω sin ω t となります。振幅 N B A ω NBA\omega N B A ω ω \omega ω N = 200 N = 200 N = 200 A = 2.0 × 10 − 2 A = 2.0\times10^{-2} A = 2.0 × 1 0 − 2 B = 0.50 B = 0.50 B = 0.50 f = 50 f = 50 f = 50 ω = 2 π f = 314 \omega = 2\pi f = 314 ω = 2 π f = 314
N B A ω = 200 × 0.50 × 2.0 × 10 − 2 × 314 = 6.3 × 10 2 V NBA\omega = 200 \times 0.50 \times 2.0\times 10^{-2} \times 314 = 6.3\times 10^{2}\ \text{V} N B A ω = 200 × 0.50 × 2.0 × 1 0 − 2 × 314 = 6.3 × 1 0 2 V で、およそ 630 V の振幅になります。発電所の同期発電機はこの原理そのものです。
Theorem 4.1 （ファラデーの法則の微分形 ）
場 E , B \boldsymbol{E}, \boldsymbol{B} E , B C 1 C^1 C 1 静止した 任意の閉曲線 C C C S S S Axiom 3.3 が成り立つことは、空間の各点で
rot E = − ∂ B ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} rot E = − ∂ t ∂ B が成り立つことと同値である。
Proof（Theorem 4.1） （積分形 ⇒ \Rightarrow ⇒ C C C S S S B \boldsymbol{B} B C 1 C^1 C 1 S S S
− d d t ∫ S B ⋅ d S = − ∫ S ∂ B ∂ t ⋅ d S -\frac{d}{dt}\int_S \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = -\int_S \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S} − d t d ∫ S B ⋅ d S = − ∫ S ∂ t ∂ B ⋅ d S です。一方、C C C Definition 3.2 より E = ∮ C E ⋅ d l \mathcal{E} = \oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} E = ∮ C E ⋅ d l
∮ C E ⋅ d l = ∫ S rot E ⋅ d S \oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = \int_S \operatorname{rot}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C E ⋅ d l = ∫ S rot E ⋅ d S です。Axiom 3.3 を代入すると、任意の有向曲面 S S S
∫ S ( rot E + ∂ B ∂ t ) ⋅ d S = 0 \int_S \left(\operatorname{rot}\boldsymbol{E} + \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\right)\cdot d\boldsymbol{S} = 0 ∫ S ( rot E + ∂ t ∂ B ) ⋅ d S = 0 が成り立ちます。ここで G : = rot E + ∂ B / ∂ t \boldsymbol{G} := \operatorname{rot}\boldsymbol{E} + \partial\boldsymbol{B}/\partial t G := rot E + ∂ B / ∂ t P P P G ( P ) ≠ 0 \boldsymbol{G}(P) \ne \boldsymbol{0} G ( P ) = 0 n 0 : = G ( P ) / ∣ G ( P ) ∣ \boldsymbol{n}_0 := \boldsymbol{G}(P)/|\boldsymbol{G}(P)| n 0 := G ( P ) /∣ G ( P ) ∣ G ( P ) ⋅ n 0 = ∣ G ( P ) ∣ > 0 \boldsymbol{G}(P)\cdot\boldsymbol{n}_0 = |\boldsymbol{G}(P)| > 0 G ( P ) ⋅ n 0 = ∣ G ( P ) ∣ > 0 G \boldsymbol{G} G P P P a a a D a D_a D a n 0 \boldsymbol{n}_0 n 0 P P P G ⋅ n 0 > ∣ G ( P ) ∣ / 2 > 0 \boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{n}_0 > |\boldsymbol{G}(P)|/2 > 0 G ⋅ n 0 > ∣ G ( P ) ∣/2 > 0
∫ D a G ⋅ d S > ∣ G ( P ) ∣ 2 π a 2 > 0 \int_{D_a} \boldsymbol{G}\cdot d\boldsymbol{S} > \frac{|\boldsymbol{G}(P)|}{2}\,\pi a^2 > 0 ∫ D a G ⋅ d S > 2 ∣ G ( P ) ∣ π a 2 > 0 となり、上の等式に反します。したがってすべての点で G = 0 \boldsymbol{G} = \boldsymbol{0} G = 0 rot E = − ∂ B / ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t rot E = − ∂ B / ∂ t
（微分形 ⇒ \Rightarrow ⇒ 逆向きは上の計算をそのまま逆にたどります。任意の静止した S S S ∮ C E ⋅ d l = − d Φ B / d t \oint_C\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = -d\Phi_B/dt ∮ C E ⋅ d l = − d Φ B / d t
∎ この「任意の曲面で積分が 0 0 0 0 0 0 G \boldsymbol{G} G 連続性 だけです。連続性がなければ、たとえば一点でだけ値を変えた関数を考えると結論は成り立ちません。
Example 4.3 （ソレノイド内外に誘導される電場 ）
半径 R R R B ( t ) = B ( t ) z ^ \boldsymbol{B}(t) = B(t)\hat{\boldsymbol{z}} B ( t ) = B ( t ) z ^ B = 0 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{0} B = 0 E φ ( r , t ) E_\varphi(r,t) E φ ( r , t )
半径 r r r C r C_r C r z ^ \hat{\boldsymbol{z}} z ^ Axiom 3.3 を適用します。C r C_r C r E = ∮ C r E ⋅ d l = 2 π r E φ \mathcal{E} = \oint_{C_r}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = 2\pi r E_\varphi E = ∮ C r E ⋅ d l = 2 π r E φ
r < R r < R r < R Φ B = π r 2 B ( t ) \Phi_B = \pi r^2 B(t) Φ B = π r 2 B ( t )
2 π r E φ = − π r 2 d B d t ⟹ E φ = − r 2 d B d t 2\pi r E_\varphi = -\pi r^2 \frac{dB}{dt} \quad\Longrightarrow\quad E_\varphi = -\frac{r}{2}\frac{dB}{dt} 2 π r E φ = − π r 2 d t d B ⟹ E φ = − 2 r d t d B r > R r > R r > R Φ B = π R 2 B ( t ) \Phi_B = \pi R^2 B(t) Φ B = π R 2 B ( t )
2 π r E φ = − π R 2 d B d t ⟹ E φ = − R 2 2 r d B d t 2\pi r E_\varphi = -\pi R^2 \frac{dB}{dt} \quad\Longrightarrow\quad E_\varphi = -\frac{R^2}{2r}\frac{dB}{dt} 2 π r E φ = − π R 2 d t d B ⟹ E φ = − 2 r R 2 d t d B となります。注目すべきは後者です。ソレノイドの外では B = 0 \boldsymbol{B} = \boldsymbol{0} B = 0 0 0 0 囲む 経路に沿って電場が回る」のです。この誘導電場を使って電子を加速する装置がベータトロンです。
Theorem 4.1 は静止した回路の話でした。回路が動く場合、E \mathcal{E} E v × B \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} v × B Axiom 3.3 はこの場合も含めて成り立つと主張していますが、それが微分形と整合することを確かめる必要があります。鍵は次の補題です。
Lemma 5.1 （運動する曲面上の磁束の時間微分 ）
C ( t ) C(t) C ( t ) v ( r , t ) \boldsymbol{v}(\boldsymbol{r},t) v ( r , t ) S ( t ) S(t) S ( t ) B \boldsymbol{B} B C 1 C^1 C 1 div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0
d d t ∫ S ( t ) B ⋅ d S = ∫ S ( t ) ∂ B ∂ t ⋅ d S − ∮ C ( t ) ( v × B ) ⋅ d l \frac{d}{dt}\int_{S(t)} \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}
= \int_{S(t)} \frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S} - \oint_{C(t)} (\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l} d t d ∫ S ( t ) B ⋅ d S = ∫ S ( t ) ∂ t ∂ B ⋅ d S − ∮ C ( t ) ( v × B ) ⋅ d l が成り立つ。
Proof（Lemma 5.1） 時刻 t t t t + d t t+dt t + d t S S S V V V V V V S ( t ) S(t) S ( t ) − n -\boldsymbol{n} − n S ( t + d t ) S(t+dt) S ( t + d t ) + n +\boldsymbol{n} + n C C C Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ d S Σ = d l × ( v d t ) d\boldsymbol{S}_\Sigma = d\boldsymbol{l}\times(\boldsymbol{v}\,dt) d S Σ = d l × ( v d t ) C C C n \boldsymbol{n} n
時刻 t + d t t+dt t + d t B \boldsymbol{B} B div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 V V V 0 0 0
∫ S ( t + d t ) B ( t + d t ) ⋅ d S − ∫ S ( t ) B ( t + d t ) ⋅ d S + ∮ C B ( t + d t ) ⋅ ( d l × v d t ) = 0 \int_{S(t+dt)}\boldsymbol{B}(t+dt)\cdot d\boldsymbol{S} - \int_{S(t)}\boldsymbol{B}(t+dt)\cdot d\boldsymbol{S} + \oint_C \boldsymbol{B}(t+dt)\cdot\bigl(d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{v}\,dt\bigr) = 0 ∫ S ( t + d t ) B ( t + d t ) ⋅ d S − ∫ S ( t ) B ( t + d t ) ⋅ d S + ∮ C B ( t + d t ) ⋅ ( d l × v d t ) = 0 が成り立ちます。第 1 項は Φ B ( t + d t ) \Phi_B(t+dt) Φ B ( t + d t ) B ( t + d t ) = B ( t ) + ( ∂ B / ∂ t ) d t + O ( d t 2 ) \boldsymbol{B}(t+dt) = \boldsymbol{B}(t) + (\partial\boldsymbol{B}/\partial t)\,dt + O(dt^2) B ( t + d t ) = B ( t ) + ( ∂ B / ∂ t ) d t + O ( d t 2 )
∫ S ( t ) B ( t + d t ) ⋅ d S = Φ B ( t ) + d t ∫ S ( t ) ∂ B ∂ t ⋅ d S + O ( d t 2 ) \int_{S(t)}\boldsymbol{B}(t+dt)\cdot d\boldsymbol{S} = \Phi_B(t) + dt\int_{S(t)}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S} + O(dt^2) ∫ S ( t ) B ( t + d t ) ⋅ d S = Φ B ( t ) + d t ∫ S ( t ) ∂ t ∂ B ⋅ d S + O ( d t 2 ) です。第 3 項はすでに d t dt d t B ( t + d t ) \boldsymbol{B}(t+dt) B ( t + d t ) B ( t ) \boldsymbol{B}(t) B ( t ) O ( d t 2 ) O(dt^2) O ( d t 2 ) B ⋅ ( d l × v ) = d l ⋅ ( v × B ) \boldsymbol{B}\cdot(d\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{v}) = d\boldsymbol{l}\cdot(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) B ⋅ ( d l × v ) = d l ⋅ ( v × B ) d t ∮ C ( v × B ) ⋅ d l dt\oint_C(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l} d t ∮ C ( v × B ) ⋅ d l d t dt d t d t → 0 dt\to 0 d t → 0
∎ Theorem 5.2 （フラックス則 ）
div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 rot E = − ∂ B / ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t rot E = − ∂ B / ∂ t v \boldsymbol{v} v C ( t ) C(t) C ( t )
∮ C ( t ) ( E + v × B ) ⋅ d l = − d d t ∫ S ( t ) B ⋅ d S \oint_{C(t)} (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt}\int_{S(t)}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C ( t ) ( E + v × B ) ⋅ d l = − d t d ∫ S ( t ) B ⋅ d S が成り立つ。すなわち Axiom 3.3 は、静止回路の微分形 Theorem 4.1 とローレンツ力から導かれる。
Proof（Theorem 5.2） Lemma 5.1 より
− d Φ B d t = − ∫ S ( t ) ∂ B ∂ t ⋅ d S + ∮ C ( t ) ( v × B ) ⋅ d l -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\int_{S(t)}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S} + \oint_{C(t)}(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l} − d t d Φ B = − ∫ S ( t ) ∂ t ∂ B ⋅ d S + ∮ C ( t ) ( v × B ) ⋅ d l です。ここで仮定 rot E = − ∂ B / ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t rot E = − ∂ B / ∂ t
− ∫ S ( t ) ∂ B ∂ t ⋅ d S = ∫ S ( t ) rot E ⋅ d S = ∮ C ( t ) E ⋅ d l -\int_{S(t)}\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_{S(t)}\operatorname{rot}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \oint_{C(t)}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} − ∫ S ( t ) ∂ t ∂ B ⋅ d S = ∫ S ( t ) rot E ⋅ d S = ∮ C ( t ) E ⋅ d l となります（最後の等号はストークスの定理）。この 2 式を足し合わせれば主張が出ます。なお div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 div B = 0 Lemma 5.1 の証明で使われています。
∎ この定理が §1 で述べた「不自然さ」の正体です。磁石を動かすと ∂ B / ∂ t ≠ 0 \partial\boldsymbol{B}/\partial t \ne \boldsymbol{0} ∂ B / ∂ t = 0 v × B \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} v × B 両者の和がちょうど磁束の全微分になる ので、結果は同じ式で書けます。この「偶然」は、後に相対論において E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B
Example 5.3 （レール上を滑る導体棒 ）
間隔 L L L v v v B B B
棒の中の自由電子は棒とともに速度 v \boldsymbol{v} v q v × B q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} q v × B v B vB v B L L L Definition 3.2 より
E = ∫ 0 L v B d l = B L v \mathcal{E} = \int_0^L vB\, dl = BLv E = ∫ 0 L v B d l = B Lv です（レールの部分は動いていないので v × B \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} v × B
一方、フラックスで計算すると、回路が囲む面積は A ( t ) = L x ( t ) A(t) = L\,x(t) A ( t ) = L x ( t ) d x / d t = v dx/dt = v d x / d t = v Φ B = B L x ( t ) \Phi_B = BLx(t) Φ B = B Lx ( t ) E = − d Φ B / d t = − B L v \mathcal{E} = -d\Phi_B/dt = -BLv E = − d Φ B / d t = − B Lv Theorem 5.2 が保証するとおりです。
回路の全抵抗を R R R I = B L v / R I = BLv/R I = B Lv / R F = B I L = B 2 L 2 v / R F = BIL = B^2L^2v/R F = B I L = B 2 L 2 v / R F v = B 2 L 2 v 2 / R Fv = B^2L^2v^2/R F v = B 2 L 2 v 2 / R I 2 R = B 2 L 2 v 2 / R I^2R = B^2L^2v^2/R I 2 R = B 2 L 2 v 2 / R
Example 6.1 （平行板コンデンサを充電する回路 ）
電池と抵抗と平行板コンデンサを直列につないだ回路を考えます。スイッチを入れた直後、導線には電流 I ( t ) I(t) I ( t )
導線を囲む閉曲線 C C C Corollary 6.3［Steady Currents and Magnetostatic Fields］ ）
∮ C B ⋅ d l = μ 0 ∫ S j ⋅ d S \oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 \int_S \boldsymbol{j}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C B ⋅ d l = μ 0 ∫ S j ⋅ d S を適用します。C C C S 1 S_1 S 1 μ 0 I ( t ) \mu_0 I(t) μ 0 I ( t ) C C C 間 を通る曲面 S 2 S_2 S 2 S 2 S_2 S 2 0 0 0
同じ左辺に対して、右辺が μ 0 I \mu_0 I μ 0 I 0 0 0
同じ境界 C をもつ 2 つの曲面。S₁ は導線を横切り、S₂ は極板の間を通る Proposition 6.2 （静磁場のアンペールの法則の限界 ）
B \boldsymbol{B} B C 2 C^2 C 2 rot B = μ 0 j \operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{j} rot B = μ 0 j ∂ ρ / ∂ t = 0 \partial\rho/\partial t = 0 ∂ ρ / ∂ t = 0
Proof（Proposition 6.2） 任意の C 2 C^2 C 2 F \boldsymbol{F} F div ( rot F ) = 0 \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = 0 div ( rot F ) = 0
div ( rot F ) = ∂ x ( ∂ y F z − ∂ z F y ) + ∂ y ( ∂ z F x − ∂ x F z ) + ∂ z ( ∂ x F y − ∂ y F x ) \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{F}) = \partial_x(\partial_y F_z - \partial_z F_y) + \partial_y(\partial_z F_x - \partial_x F_z) + \partial_z(\partial_x F_y - \partial_y F_x) div ( rot F ) = ∂ x ( ∂ y F z − ∂ z F y ) + ∂ y ( ∂ z F x − ∂ x F z ) + ∂ z ( ∂ x F y − ∂ y F x ) で、∂ x ∂ y F z \partial_x\partial_y F_z ∂ x ∂ y F z − ∂ y ∂ x F z -\partial_y\partial_x F_z − ∂ y ∂ x F z 0 0 0
そこで rot B = μ 0 j \operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{j} rot B = μ 0 j 0 = μ 0 div j 0 = \mu_0\operatorname{div}\boldsymbol{j} 0 = μ 0 div j div j = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} = 0 div j = 0 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \partial\rho/\partial t = 0 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0 ∂ ρ / ∂ t = 0 \partial\rho/\partial t = 0 ∂ ρ / ∂ t = 0
∎ つまりアンペールの法則は、静磁場という前提を外した瞬間に、電荷保存則と衝突します。Example 6.1 の逆理は、この一般的な事実が具体的な回路として現れたものにすぎません。
flowchart TD
A["アンペールの法則 rot B = μ0 j"] --> B["両辺の div をとる<br/>div(rot B) = 0 は恒等式"]
B --> C["div j = 0 が必要"]
D["電荷保存則<br/>div j + ∂ρ/∂t = 0"] --> E["ρ が変化する場では div j ≠ 0"]
C --> F["矛盾"]
E --> F
F --> G["補正項を足す<br/>rot B = μ0 (j + jd)"]
G --> H["div jd = ∂ρ/∂t が必要"]
I["ガウスの法則<br/>ρ = ε0 div E"] --> J["jd = ε0 ∂E/∂t"]
H --> J 変位電流が要請される論理 Definition 6.3 （変位電流密度 ）
真空中で
j d : = ε 0 ∂ E ∂ t \boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} := \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} j d := ε 0 ∂ t ∂ E を変位電流密度 という。次元は電流密度と同じ A/m² である。曲面 S S S 変位電流 I d I_{\mathrm{d}} I d I d = ∫ S j d ⋅ d S I_{\mathrm{d}} = \int_S \boldsymbol{j}_{\mathrm{d}}\cdot d\boldsymbol{S} I d = ∫ S j d ⋅ d S
「電流」と呼びますが、電荷が流れているわけではありません。マクスウェルは当時、真空を満たすエーテルの微小な変位（displacement）が生む電流としてこれを解釈しました。エーテルは否定されましたが、名前だけが残っています。実体は「電場の時間変化」です。
Proposition 6.4 （変位電流による修復 ）
アンペールの法則を
rot B = μ 0 ( j + ε 0 ∂ E ∂ t ) \operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0\left(\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\right) rot B = μ 0 ( j + ε 0 ∂ t ∂ E ) と修正すれば、ガウスの法則 div E = ρ / ε 0 \operatorname{div}\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0 div E = ρ / ε 0 j d \boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} j d j d \boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} j d ε 0 ∂ E / ∂ t \varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t ε 0 ∂ E / ∂ t 0 0 0
Proof（Proposition 6.4） （整合性） 修正した式の両辺の発散を取ります。左辺は Proposition 6.2 の証明で示した恒等式により 0 0 0
μ 0 ( div j + ε 0 ∂ ∂ t div E ) = μ 0 ( div j + ε 0 ∂ ∂ t ρ ε 0 ) = μ 0 ( div j + ∂ ρ ∂ t ) \mu_0\left(\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\boldsymbol{E}\right)
= \mu_0\left(\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)
= \mu_0\left(\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \frac{\partial\rho}{\partial t}\right) μ 0 ( div j + ε 0 ∂ t ∂ div E ) = μ 0 ( div j + ε 0 ∂ t ∂ ε 0 ρ ) = μ 0 ( div j + ∂ t ∂ ρ ) となり（2 番目の等号でガウスの法則、および時間微分と空間微分の交換可能性を使いました）、連続の式によりこれは 0 0 0 0 0 0
（ほぼ一意） 修正項を j d \boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} j d div j + div j d = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \operatorname{div}\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} = 0 div j + div j d = 0
div j d = ∂ ρ ∂ t = ε 0 ∂ ∂ t div E = div ( ε 0 ∂ E ∂ t ) \operatorname{div}\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} = \frac{\partial\rho}{\partial t} = \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\boldsymbol{E} = \operatorname{div}\left(\varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\right) div j d = ∂ t ∂ ρ = ε 0 ∂ t ∂ div E = div ( ε 0 ∂ t ∂ E ) です。よって div ( j d − ε 0 ∂ E / ∂ t ) = 0 \operatorname{div}\bigl(\boldsymbol{j}_{\mathrm{d}} - \varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t\bigr) = 0 div ( j d − ε 0 ∂ E / ∂ t ) = 0 0 0 0
∎ Example 6.6 （コンデンサの極板間の磁場 ）
半径 R R R d d d d ≪ R d \ll R d ≪ R I I I Q ( t ) Q(t) Q ( t ) d Q / d t = I dQ/dt = I d Q / d t = I
極板間の電場は（縁の効果を無視すれば）一様で、大きさは面電荷密度 σ = Q / ( π R 2 ) \sigma = Q/(\pi R^2) σ = Q / ( π R 2 ) E = σ / ε 0 = Q / ( ε 0 π R 2 ) E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/(\varepsilon_0 \pi R^2) E = σ / ε 0 = Q / ( ε 0 π R 2 )
j d = ε 0 ∂ E ∂ t = ε 0 ⋅ 1 ε 0 π R 2 d Q d t = I π R 2 j_{\mathrm{d}} = \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} = \varepsilon_0 \cdot \frac{1}{\varepsilon_0 \pi R^2}\frac{dQ}{dt} = \frac{I}{\pi R^2} j d = ε 0 ∂ t ∂ E = ε 0 ⋅ ε 0 π R 2 1 d t d Q = π R 2 I です。極板の全断面 π R 2 \pi R^2 π R 2 I d = I I_{\mathrm{d}} = I I d = I 極板間を「流れる」変位電流は、導線を流れる伝導電流にちょうど等しい わけです。これで Example 6.1 の逆理は消えます。S 1 S_1 S 1 I I I S 2 S_2 S 2 I I I
極板間、軸から距離 r r r r r r C r C_r C r Proposition 6.4 ）の積分形を適用すると、r < R r < R r < R
B ( r ) ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ I π R 2 ⋅ π r 2 ⟹ B ( r ) = μ 0 I r 2 π R 2 B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0 \cdot \frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2
\quad\Longrightarrow\quad
B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} B ( r ) ⋅ 2 π r = μ 0 ⋅ π R 2 I ⋅ π r 2 ⟹ B ( r ) = 2 π R 2 μ 0 I r r > R r > R r > R I I I
B ( r ) ⋅ 2 π r = μ 0 I ⟹ B ( r ) = μ 0 I 2 π r B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0 I \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} B ( r ) ⋅ 2 π r = μ 0 I ⟹ B ( r ) = 2 π r μ 0 I となります。前者は一様な電流が流れる太い導線の内部の磁場（Example 6.5［Steady Currents and Magnetostatic Fields］ ）と、後者は細い導線がつくる磁場（Example 3.3［Steady Currents and Magnetostatic Fields］ ）と、それぞれ同じ形です。極板間には電荷の流れが一切ないのに、あたかも電流が流れているかのような磁場ができます。
数値を入れます。R = 5.0 R = 5.0 R = 5.0 I = 1.0 I = 1.0 I = 1.0 r = R r = R r = R
B = μ 0 I 2 π R = 4 π × 10 − 7 × 1.0 2 π × 0.050 = 2 × 10 − 7 0.050 = 4.0 × 10 − 6 T B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{4\pi\times10^{-7}\times 1.0}{2\pi\times 0.050} = \frac{2\times10^{-7}}{0.050} = 4.0\times10^{-6}\ \text{T} B = 2 π R μ 0 I = 2 π × 0.050 4 π × 1 0 − 7 × 1.0 = 0.050 2 × 1 0 − 7 = 4.0 × 1 0 − 6 T で、4.0 μ T 4.0\ \mu\text{T} 4.0 μ T 50 μ T 50\ \mu\text{T} 50 μ T
Example 6.7 （変位電流はいつ効くか（数値評価） ）
導体の中では、伝導電流と変位電流のどちらが優勢でしょうか。オームの法則 j = σ E \boldsymbol{j} = \sigma\boldsymbol{E} j = σ E σ \sigma σ ω \omega ω
∣ ε 0 ∂ E / ∂ t ∣ ∣ σ E ∣ = ε 0 ω σ \frac{|\varepsilon_0 \partial\boldsymbol{E}/\partial t|}{|\sigma\boldsymbol{E}|} = \frac{\varepsilon_0\omega}{\sigma} ∣ σ E ∣ ∣ ε 0 ∂ E / ∂ t ∣ = σ ε 0 ω です。銅の場合 σ = 5.96 × 10 7 \sigma = 5.96\times10^7 σ = 5.96 × 1 0 7 f = 1.0 f = 1.0 f = 1.0 ω = 6.28 × 10 9 \omega = 6.28\times10^9 ω = 6.28 × 1 0 9
ε 0 ω σ = 8.85 × 10 − 12 × 6.28 × 10 9 5.96 × 10 7 = 5.56 × 10 − 2 5.96 × 10 7 ≈ 9.3 × 10 − 10 \frac{\varepsilon_0\omega}{\sigma} = \frac{8.85\times10^{-12}\times 6.28\times10^{9}}{5.96\times10^{7}} = \frac{5.56\times10^{-2}}{5.96\times10^{7}} \approx 9.3\times10^{-10} σ ε 0 ω = 5.96 × 1 0 7 8.85 × 1 0 − 12 × 6.28 × 1 0 9 = 5.96 × 1 0 7 5.56 × 1 0 − 2 ≈ 9.3 × 1 0 − 10 で、変位電流は伝導電流の 10 億分の 1 以下です。金属導体の中では、光の振動数に近づくまで変位電流は無視できます。
逆に、真空や良い絶縁体の中では σ = 0 \sigma = 0 σ = 0
これで 4 本が揃いました。
名称 微分形 積分形 ガウスの法則 div E = ρ ε 0 \operatorname{div}\boldsymbol{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} div E = ε 0 ρ ∮ ∂ V E ⋅ d S = Q in ε 0 \displaystyle\oint_{\partial V}\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} ∮ ∂ V E ⋅ d S = ε 0 Q in 磁場のガウスの法則 div B = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{B} = 0 div B = 0 ∮ ∂ V B ⋅ d S = 0 \displaystyle\oint_{\partial V}\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} = 0 ∮ ∂ V B ⋅ d S = 0 ファラデーの法則 rot E = − ∂ B ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} rot E = − ∂ t ∂ B ∮ C E ⋅ d l = − d d t ∫ S B ⋅ d S \displaystyle\oint_C \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d}{dt}\int_S\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C E ⋅ d l = − d t d ∫ S B ⋅ d S アンペール・マクスウェルの法則 rot B = μ 0 j + ε 0 μ 0 ∂ E ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} rot B = μ 0 j + ε 0 μ 0 ∂ t ∂ E ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I in + ε 0 μ 0 d d t ∫ S E ⋅ d S \displaystyle\oint_C \boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{in}} + \varepsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_S\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{S} ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I in + ε 0 μ 0 d t d ∫ S E ⋅ d S
これに、電荷が受ける力を与えるローレンツ力の式 F = q ( E + v × B ) \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) F = q ( E + v × B )
Corollary 7.1 （電荷保存則はマクスウェル方程式の帰結 ）
マクスウェル方程式のうちガウスの法則とアンペール・マクスウェルの法則が成り立つならば、連続の式 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \partial\rho/\partial t = 0 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0
Proof（Corollary 7.1） アンペール・マクスウェルの法則の両辺の発散を取ります。左辺は恒等式 div ( rot B ) = 0 \operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol{B}) = 0 div ( rot B ) = 0 Proposition 6.2 の証明を参照）により 0 0 0
μ 0 div j + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t div E = μ 0 div j + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t ( ρ ε 0 ) = μ 0 ( div j + ∂ ρ ∂ t ) \mu_0\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\boldsymbol{E}
= \mu_0\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)
= \mu_0\left(\operatorname{div}\boldsymbol{j} + \frac{\partial\rho}{\partial t}\right) μ 0 div j + ε 0 μ 0 ∂ t ∂ div E = μ 0 div j + ε 0 μ 0 ∂ t ∂ ( ε 0 ρ ) = μ 0 ( div j + ∂ t ∂ ρ ) です（2 番目の等号でガウスの法則を使いました）。μ 0 ≠ 0 \mu_0 \ne 0 μ 0 = 0 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \partial\rho/\partial t = 0 div j + ∂ ρ / ∂ t = 0
∎ これは注目に値します。§6 では電荷保存則を外から課す制約 として使って変位電流を導きました。ところが完成した方程式系では、電荷保存則は方程式から導かれる定理 になっています。方程式系がそれだけ強く縛られている、ということです。
次章では、真空中（ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 j = 0 \boldsymbol{j} = \boldsymbol{0} j = 0 E \boldsymbol{E} E B \boldsymbol{B} B 1 / ε 0 μ 0 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} 1/ ε 0 μ 0
Exercise 8.1 標準
半径 R = 5.0 R = 5.0 R = 5.0 I = 2.0 I = 2.0 I = 2.0 r = 2.0 r = 2.0 r = 2.0
Solution (1) Example 6.6 と同じ計算です。極板間の電場は一様で E = Q / ( ε 0 π R 2 ) E = Q/(\varepsilon_0\pi R^2) E = Q / ( ε 0 π R 2 )
j d = ε 0 ∂ E ∂ t = I π R 2 = 2.0 π × ( 0.050 ) 2 = 2.0 7.854 × 10 − 3 = 2.5 × 10 2 A/m 2 j_{\mathrm{d}} = \varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t} = \frac{I}{\pi R^2} = \frac{2.0}{\pi\times(0.050)^2} = \frac{2.0}{7.854\times10^{-3}} = 2.5\times10^{2}\ \text{A/m}^2 j d = ε 0 ∂ t ∂ E = π R 2 I = π × ( 0.050 ) 2 2.0 = 7.854 × 1 0 − 3 2.0 = 2.5 × 1 0 2 A/m 2 およそ 255 255 255
(2) r = 2.0 cm < R = 5.0 cm r = 2.0\ \text{cm} < R = 5.0\ \text{cm} r = 2.0 cm < R = 5.0 cm r r r I d ( r ) = j d ⋅ π r 2 = I r 2 / R 2 I_{\mathrm{d}}(r) = j_{\mathrm{d}}\cdot\pi r^2 = I r^2/R^2 I d ( r ) = j d ⋅ π r 2 = I r 2 / R 2 Proposition 6.4 ）から
B ⋅ 2 π r = μ 0 I r 2 R 2 ⟹ B = μ 0 I r 2 π R 2 = ( 4 π × 10 − 7 ) ( 2.0 ) ( 0.020 ) 2 π × ( 0.050 ) 2 B\cdot 2\pi r = \mu_0 \frac{I r^2}{R^2}
\quad\Longrightarrow\quad
B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}
= \frac{(4\pi\times10^{-7})(2.0)(0.020)}{2\pi\times(0.050)^2} B ⋅ 2 π r = μ 0 R 2 I r 2 ⟹ B = 2 π R 2 μ 0 I r = 2 π × ( 0.050 ) 2 ( 4 π × 1 0 − 7 ) ( 2.0 ) ( 0.020 ) 分子は 4 π × 10 − 7 × 0.040 = 1.6 π × 10 − 8 4\pi\times10^{-7}\times 0.040 = 1.6\pi\times10^{-8} 4 π × 1 0 − 7 × 0.040 = 1.6 π × 1 0 − 8 2 π × 2.5 × 10 − 3 = 5.0 π × 10 − 3 2\pi\times 2.5\times10^{-3} = 5.0\pi\times10^{-3} 2 π × 2.5 × 1 0 − 3 = 5.0 π × 1 0 − 3
B = 1.6 × 10 − 8 5.0 × 10 − 3 = 3.2 × 10 − 6 T B = \frac{1.6\times10^{-8}}{5.0\times10^{-3}} = 3.2\times10^{-6}\ \text{T} B = 5.0 × 1 0 − 3 1.6 × 1 0 − 8 = 3.2 × 1 0 − 6 T すなわち 3.2 μ T 3.2\ \mu\text{T} 3.2 μ T
Exercise 8.2 標準
鉛直に立てた間隔 L L L m m m B B B R R R v ∞ v_\infty v ∞ m = 10 m = 10 m = 10 L = 0.20 L = 0.20 L = 0.20 B = 0.50 B = 0.50 B = 0.50 R = 0.10 Ω R = 0.10\ \Omega R = 0.10 Ω g = 9.8 g = 9.8 g = 9.8
Solution 速度 v v v Example 5.3 と同じ計算で起電力の大きさは E = B L v \mathcal{E} = BLv E = B Lv I = B L v / R I = BLv/R I = B Lv / R F = B I L = B 2 L 2 v / R F = BIL = B^2L^2v/R F = B I L = B 2 L 2 v / R Axiom 3.3 のマイナス符号）より向きは運動を妨げる向き、つまり上向きです。
運動方程式は
m d v d t = m g − B 2 L 2 R v m\frac{dv}{dt} = mg - \frac{B^2L^2}{R}v m d t d v = m g − R B 2 L 2 v です。終端速度は d v / d t = 0 dv/dt = 0 d v / d t = 0
v ∞ = m g R B 2 L 2 v_\infty = \frac{mgR}{B^2L^2} v ∞ = B 2 L 2 m g R 数値を入れると
v ∞ = ( 0.010 ) ( 9.8 ) ( 0.10 ) ( 0.50 ) 2 ( 0.20 ) 2 = 9.8 × 10 − 3 0.25 × 0.040 = 9.8 × 10 − 3 1.0 × 10 − 2 = 0.98 m/s v_\infty = \frac{(0.010)(9.8)(0.10)}{(0.50)^2(0.20)^2} = \frac{9.8\times10^{-3}}{0.25\times 0.040} = \frac{9.8\times10^{-3}}{1.0\times10^{-2}} = 0.98\ \text{m/s} v ∞ = ( 0.50 ) 2 ( 0.20 ) 2 ( 0.010 ) ( 9.8 ) ( 0.10 ) = 0.25 × 0.040 9.8 × 1 0 − 3 = 1.0 × 1 0 − 2 9.8 × 1 0 − 3 = 0.98 m/s 約 0.98 0.98 0.98 v ( t ) = v ∞ ( 1 − e − t / τ ) v(t) = v_\infty\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr) v ( t ) = v ∞ ( 1 − e − t / τ ) τ = m R / ( B 2 L 2 ) = 0.10 \tau = mR/(B^2L^2) = 0.10 τ = m R / ( B 2 L 2 ) = 0.10 v ∞ v_\infty v ∞
Exercise 8.3 標準
半径 R R R n n n I ( t ) = I 0 sin ω t I(t) = I_0\sin\omega t I ( t ) = I 0 sin ω t B ( t ) = μ 0 n I ( t ) B(t) = \mu_0 n I(t) B ( t ) = μ 0 n I ( t ) 0 0 0 r > R r > R r > R E φ ( r , t ) E_\varphi(r,t) E φ ( r , t ) r r r
Solution Example 4.3 の r > R r > R r > R r r r C r C_r C r Axiom 3.3 を適用すると、C r C_r C r Φ B = π R 2 B ( t ) \Phi_B = \pi R^2 B(t) Φ B = π R 2 B ( t )
2 π r E φ = − d d t ( π R 2 μ 0 n I 0 sin ω t ) = − π R 2 μ 0 n I 0 ω cos ω t 2\pi r E_\varphi = -\frac{d}{dt}\bigl(\pi R^2 \mu_0 n I_0\sin\omega t\bigr) = -\pi R^2\mu_0 n I_0\omega\cos\omega t 2 π r E φ = − d t d ( π R 2 μ 0 n I 0 sin ω t ) = − π R 2 μ 0 n I 0 ω cos ω t したがって
E φ ( r , t ) = − μ 0 n R 2 I 0 ω 2 r cos ω t E_\varphi(r,t) = -\frac{\mu_0 n R^2 I_0 \omega}{2r}\cos\omega t E φ ( r , t ) = − 2 r μ 0 n R 2 I 0 ω cos ω t です。振幅は r r r B = 0 \boldsymbol{B} = \boldsymbol{0} B = 0
（補足：ここでは準定常近似、すなわち ω r / c ≪ 1 \omega r/c \ll 1 ω r / c ≪ 1 r r r
Exercise 8.4 難
アンペール・マクスウェルの法則の積分形に現れる量
∫ S ( j + ε 0 ∂ E ∂ t ) ⋅ d S \int_S \left(\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\right)\cdot d\boldsymbol{S} ∫ S ( j + ε 0 ∂ t ∂ E ) ⋅ d S が、境界 C C C S 1 , S 2 S_1, S_2 S 1 , S 2 S 1 , S 2 S_1, S_2 S 1 , S 2 ∂ V \partial V ∂ V
Solution K : = j + ε 0 ∂ E / ∂ t \boldsymbol{K} := \boldsymbol{j} + \varepsilon_0\partial\boldsymbol{E}/\partial t K := j + ε 0 ∂ E / ∂ t div K = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{K} = 0 div K = 0 div E = ρ / ε 0 \operatorname{div}\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0 div E = ρ / ε 0
div K = div j + ε 0 ∂ ∂ t div E = div j + ∂ ρ ∂ t = 0 \operatorname{div}\boldsymbol{K} = \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{div}\boldsymbol{E}
= \operatorname{div}\boldsymbol{j} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 div K = div j + ε 0 ∂ t ∂ div E = div j + ∂ t ∂ ρ = 0 （最後の等号は連続の式）です。
次に S 1 S_1 S 1 S 2 S_2 S 2 ∂ V \partial V ∂ V C C C C C C ∂ V \partial V ∂ V S 2 S_2 S 2 S 1 S_1 S 1
∫ S 2 K ⋅ d S − ∫ S 1 K ⋅ d S = ∮ ∂ V K ⋅ d S = ∫ V div K d V = 0 \int_{S_2}\boldsymbol{K}\cdot d\boldsymbol{S} - \int_{S_1}\boldsymbol{K}\cdot d\boldsymbol{S} = \oint_{\partial V}\boldsymbol{K}\cdot d\boldsymbol{S} = \int_V \operatorname{div}\boldsymbol{K}\, dV = 0 ∫ S 2 K ⋅ d S − ∫ S 1 K ⋅ d S = ∮ ∂ V K ⋅ d S = ∫ V div K d V = 0 となり、2 つの面積分は等しくなります。
これが Example 6.1 の逆理が解消される理由の一般形です。逆理が生じたのは K \boldsymbol{K} K j \boldsymbol{j} j div j ≠ 0 \operatorname{div}\boldsymbol{j}\ne 0 div j = 0 j \boldsymbol{j} j
R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics , Vol. II — Chapter 17 “The Laws of Induction”, Chapter 18 “The Maxwell Equations”. 全文が 公式サイト で公開されています。フラックス則が使えない例（ファラデーの円盤など）の議論は第 17 章にあります。
D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , 4th ed., Cambridge University Press, 2017 — Chapter 7 “Electrodynamics”。電磁誘導と変位電流の標準的な扱い。
J. D. Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd ed., Wiley, 1999 — Chapter 5, Chapter 6。より進んだ扱いと、準定常近似の適用範囲。
砂川重信『理論電磁気学 第3版』紀伊國屋書店、1999 — 日本語の標準的な教科書。積分形と微分形の対応を丁寧に扱っています。
J. C. Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865), 459–512. 変位電流と電磁波の予言が提示された原論文。
A. Einstein, “Zur Elektrodynamik bewegter Körper”, Annalen der Physik 17 (1905), 891–921. 冒頭で「磁石と導体の相対運動」の非対称性が問題提起されています。
フラックス則は「回路」の概念に依存しています。 Theorem 5.2 は、速度場 v \boldsymbol{v} v C ( t ) C(t) C ( t ) t t t t + d t t+dt t + d t Σ \Sigma Σ − d Φ B / d t -d\Phi_B/dt − d Φ B / d t
典型例はファラデーの円盤（単極誘導）です。 一様な磁場 B B B ω \omega ω r r r v = ω r v = \omega r v = ω r ω r B \omega r B ω r B Definition 3.2 に従って軸から縁（半径 a a a
E = ∫ 0 a ω r B d r = 1 2 ω B a 2 \mathcal{E} = \int_0^a \omega r B\, dr = \frac{1}{2}\omega B a^2 E = ∫ 0 a ω r B d r = 2 1 ω B a 2 となり、これが実測値と一致します。ところがこの回路で「磁束」を計算しようとすると困ります。回路の形（軸 → 円板 → ブラシ → 外部導線 → 軸）は時間とともに変化しておらず、磁場も一定なので、素朴に描いた回路が囲む磁束は変化しません。それでも起電力は出ます。
この矛盾は、円板の中で「どの経路が回路なのか」が一意に決まらないことから来ています。 円板は連続体なので、電流の経路を特定の閉曲線として指定できません。Theorem 5.2 の前提である「物質とともに動く閉曲線」が定義できないのです。
したがって、より基本的なのは微分形とローレンツ力です。 rot E = − ∂ B / ∂ t \operatorname{rot}\boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t rot E = − ∂ B / ∂ t F = q ( E + v × B ) \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) F = q ( E + v × B ) v × B \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B} v × B 導かれた規則 であって、法則の本体ではない、と理解しておいてください。