正準変換とポアソン括弧：母関数・シンプレクティック条件から量子交換関係へ

0. この記事の要点

• ハミルトン形式では座標 $q$ と運動量 $p$ が対等な役割を持つので、両者を混ぜる変換まで許せます。そのうちハミルトン方程式の形を保つものを正準変換と呼びます。
• 正準変換は 1 つのスカラー関数（母関数）から生成されます。母関数の型は 4 つあり、互いにルジャンドル変換で移り合います。
• ポアソン括弧 $\{f, g\}$ を導入すると、任意の物理量の時間発展が $\dfrac{df}{dt} = \{f, H\} + \dfrac{\partial f}{\partial t}$ という 1 本の式に統一されます。保存量であることは $\{f, H\} = 0$ と同値になります。
• 変換が正準であることは、ヤコビ行列 $M$ がシンプレクティック条件 $MJM^{\mathsf{T}} = J$ を満たすことと同値です。これは基本ポアソン括弧が保たれることと同じ主張です。
• ポアソン括弧は量子力学の交換子 $\dfrac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]$ に対応します。この対応が、正準形式を「量子化の入口」にしています。

1. 動機：座標変換の自由をどこまで広げられるか

ラグランジュ形式のありがたさの 1 つは、座標の取り替えに強いことでした。ラグランジュ形式の力学で見たとおり、$Q^i = f^i(q^1, \ldots, q^n, t)$ という点変換を行っても、ラグランジュ方程式は同じ形のまま成り立ちます（オイラー・ラグランジュ方程式の共変性（Theorem 5.2）［Lagrangian Mechanics］）。極座標を使おうが斜交座標を使おうが、$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot Q^i} - \frac{\partial L}{\partial Q^i} = 0$ が変わらない。だから問題に合わせて座標を選べたわけです。

しかしこの自由には限界があります。点変換は「位置は位置に、その時間微分は自動的に決まる」という形しか許しません。新しい座標 $Q$ を古い運動量 $p$ に依存させることはできないのです。

ハミルトン形式の力学に移ると、状況が変わります。ハミルトン方程式（ハミルトンの正準方程式（Theorem 4.2）［ハミルトン形式の力学］）

$$\dot q^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i} \qquad (i = 1, \ldots, n)$$

を眺めると、$q$ と $p$ の役割はほとんど対称です。$(q, p) \to (p, -q)$ と置き換えれば方程式は自分自身に戻ります。つまりハミルトン形式では、位置と運動量の区別は絶対的なものではありません。**ならば、$q$ と $p$ を混ぜる変換まで許してよいのではないか。**これが正準変換の出発点です。

自由を広げると何が得か。極端な例を考えましょう。もしうまい変換で新しいハミルトニアン $K$ が新しい座標 $Q$ をまったく含まないようにできたとします。すると $\dot P_i = -\partial K/\partial Q^i = 0$ なので、$P$ はすべて定数です。残る方程式 $\dot Q^i = \partial K/\partial P_i$ の右辺も定数ですから、$Q^i = (\text{定数})\, t + (\text{定数})$ と積分できてしまいます。適切な座標を選べば、運動方程式を解く作業が「変換を見つける作業」に置き換わるのです。この発想を極限まで押し進めたものがハミルトン・ヤコビ理論であり、後の章で扱う作用・角変数の方法です。

さらに、正準変換の理論からポアソン括弧という演算が自然に現れます。これは古典力学の代数構造を剥き出しにするもので、20 世紀に入ってディラックが量子力学の交換関係と対応づけた対象でもあります。この章の目標は、正準変換の定義から出発してポアソン括弧に到達し、その先に量子力学が見えるところまで進むことです。

2. 準備：記号と変分原理

以下、自由度を $n$ とし、相空間の点を $(q, p) = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)$ と書きます。総和は明示するか、同じ添字が上下に現れたときの総和規約を使います。すべての関数は必要なだけ滑らか（$C^2$ 以上）とし、変換は逆写像も滑らかな全単射（微分同相）とします。

まず、ハミルトン方程式が変分原理から出ることを確認しておきます。これがこの章の議論の土台になります。

Proposition 2.1（変形されたハミルトンの原理）

$H(q, p, t)$ を与えられたハミルトニアンとし、区間 $[t_1, t_2]$ 上の相空間の曲線 $t \mapsto (q(t), p(t))$ に対して汎関数

$$S[q, p] = \int_{t_1}^{t_2} \left( \sum_{i=1}^{n} p_i \dot q^i - H(q, p, t) \right) dt$$

を考える。両端で $\delta q^i(t_1) = \delta q^i(t_2) = 0$ を課し、$\delta p_i$ には端点条件を課さない。このとき $S$ が停留する（$\delta S = 0$ が任意の許容変分に対して成り立つ）ことと、その曲線がハミルトン方程式 $\dot q^i = \partial H/\partial p_i$, $\dot p_i = -\partial H/\partial q^i$ を満たすことは同値である。

Proof（Proposition 2.1）

$q^i \to q^i + \delta q^i$, $p_i \to p_i + \delta p_i$ と変分を取り、1 次の項を集めます。

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left( \delta p_i\, \dot q^i + p_i\, \delta \dot q^i - \frac{\partial H}{\partial q^i}\delta q^i - \frac{\partial H}{\partial p_i}\delta p_i \right) dt .$$

第 2 項を部分積分します。$\delta \dot q^i = \frac{d}{dt}\delta q^i$ なので

$$\int_{t_1}^{t_2} p_i\, \delta \dot q^i \, dt = \Big[\, p_i\, \delta q^i \,\Big]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \dot p_i\, \delta q^i \, dt .$$

端点条件 $\delta q^i(t_1) = \delta q^i(t_2) = 0$ により境界項は消えます。したがって

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ \left( \dot q^i - \frac{\partial H}{\partial p_i} \right) \delta p_i - \left( \dot p_i + \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) \delta q^i \right] dt .$$

$\delta q^i$ と $\delta p_i$ は互いに独立で、$(t_1, t_2)$ の内部で任意に取れます。変分法の基本補題（Lemma 3.3）［Lagrangian Mechanics］（連続関数 $g$ が任意の滑らかな $\varphi$ に対し $\int g\varphi\,dt = 0$ を満たすなら $g \equiv 0$）を各成分に適用すれば、括弧内が恒等的に $0$、すなわちハミルトン方程式が得られます。逆にハミルトン方程式が成り立てば上式より $\delta S = 0$ です。

∎

この命題の要点は、ハミルトン方程式が「被積分関数 $\sum p_i \dot q^i - H$ の停留条件」として書けることです。すると次のことに気づきます。被積分関数が完全微分 $dF/dt$ だけ違っても、積分は端点での値の差しか変わりません。停留条件は同じになるはずです。この観察が正準変換の定義そのものになります。

3. 正準変換の定義

Definition 3.1（正準変換）

相空間（と時間）の上で定義された滑らかな可逆写像

$$Q^i = Q^i(q, p, t), \qquad P_i = P_i(q, p, t) \qquad (i = 1, \ldots, n)$$

が正準変換であるとは、ある関数 $K(Q, P, t)$ と、相空間上の関数 $F$ が存在して、微分形式の等式

$$\sum_{i=1}^{n} p_i \, dq^i - H \, dt \;=\; \sum_{i=1}^{n} P_i \, dQ^i - K \, dt + dF$$

が恒等的に成り立つことをいう。$F$ を変換の母関数、$K$ を新しいハミルトニアンと呼ぶ。

左辺の $dq^i$ と右辺の $dQ^i$ は、いずれも同じ相空間上の 1 次微分形式です。この等式は「$\sum p_i\,dq^i$ と $\sum P_i\,dQ^i$ が、$dt$ の項と完全微分の差を除いて等しい」ことを要求しています。$dF$ という「ゴミ」を許すのがポイントで、これがなければ条件が強すぎてほとんどの変換が排除されてしまいます。

Theorem 3.2（正準変換はハミルトン形式を保つ）

Definition 3.1 の意味で正準変換であり、その母関数が $F = F_1(q, Q, t)$ の形（すなわち $(q, Q)$ を独立変数として書ける形）であるとする。このとき、$(q(t), p(t))$ がハミルトニアン $H$ のハミルトン方程式を満たすならば、その像 $(Q(t), P(t))$ はハミルトニアン $K$ のハミルトン方程式

$$\dot Q^i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \qquad \dot P_i = -\frac{\partial K}{\partial Q^i}$$

を満たす。

Proof（Theorem 3.2）

Definition 3.1 の等式を曲線に沿って $t$ で割ると、任意の曲線に対して

$$\sum_i p_i \dot q^i - H \;=\; \sum_i P_i \dot Q^i - K + \frac{dF}{dt}$$

が成り立ちます。これを $[t_1, t_2]$ で積分すると

$$\int_{t_1}^{t_2}\!\Big(\sum_i p_i \dot q^i - H\Big) dt \;=\; \int_{t_1}^{t_2}\!\Big(\sum_i P_i \dot Q^i - K\Big) dt + F\big|_{t_1}^{t_2}$$

となります。ここで両端で $q^i$ と $Q^i$ を固定した変分を考えます。$F = F_1(q, Q, t)$ ですから、端点で $q$ と $Q$ が固定されていれば $F\big|_{t_1}^{t_2}$ は変分を受けません。すなわち $\delta\big(F|_{t_1}^{t_2}\big) = 0$ です。

したがって左辺の汎関数が停留することと、右辺第 1 項の汎関数が停留することは同値です。左辺の停留条件は Proposition 2.1 により $H$ に対するハミルトン方程式、右辺第 1 項の停留条件は同じ命題を $(Q, P, K)$ に適用して $K$ に対するハミルトン方程式です。よって両者は同値であり、主張が従います。

∎

Remark 3.3

この証明は「端点で $q$ と $Q$ の両方を固定できる」ことに依存しています。$(q, Q)$ が独立変数として使えない母関数（たとえば後述の $F_2$ 型で恒等変換に近いもの）では、端点で固定すべき変数の組が変わるため、議論を型ごとに読み替える必要があります。すべての型を一度に扱える、より代数的で完全な判定条件は Theorem 7.2 で与えます。実用上は、そちらを「正準性の定義」として採用しても構いません。

Remark 3.4

文献によっては、Definition 3.1 の左辺に定数 $\lambda \ne 0$ を掛けた $\lambda\big(\sum p_i dq^i - H dt\big) = \sum P_i dQ^i - K dt + dF$ を許し、これを拡張正準変換と呼びます。$\lambda \ne 1$ の場合は $Q = \lambda q$, $P = p$ のような単なるスケール変換が入ってきますが、物理量の値そのものが変わってしまうため、以下では $\lambda = 1$ の場合だけを扱います。

4. 母関数

Definition 3.1 は「$F$ が存在すれば正準」という形をしています。これを裏返すと、$F$ を勝手に 1 つ選べば正準変換が 1 つ作れるということです。この使い方を整理しましょう。

4.1. 第 1 種母関数

Theorem 4.1（第 1 種母関数が定める正準変換）

$F_1(q, Q, t)$ を $C^2$ 級関数とし、行列 $\left( \dfrac{\partial^2 F_1}{\partial q^i \partial Q^j} \right)_{i,j}$ が考えている領域で正則であるとする。このとき関係式

$$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q^i}(q, Q, t), \qquad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q^i}(q, Q, t), \qquad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}$$

は局所的に $(q, p) \mapsto (Q, P)$ という正準変換を定める。

Proof（Theorem 4.1）

まず変換が定義できることを見ます。第 1 式 $p_i = \partial F_1/\partial q^i(q, Q, t)$ を $Q$ について解きたい。$q$, $t$ を固定して写像 $Q \mapsto \big(\partial F_1/\partial q^i\big)_i$ を考えると、そのヤコビ行列は $\left( \partial^2 F_1/(\partial q^i \partial Q^j) \right)$ であり、仮定によりこれは正則です。よって逆関数定理から局所的に $Q = Q(q, p, t)$ と解け、第 2 式に代入して $P = P(q, p, t)$ が定まります。逆向きも同様に解けるので、写像は局所微分同相です。

次に Definition 3.1 の等式を確かめます。$F = F_1(q, Q, t)$ の全微分は

$$dF_1 = \sum_i \frac{\partial F_1}{\partial q^i} dq^i + \sum_i \frac{\partial F_1}{\partial Q^i} dQ^i + \frac{\partial F_1}{\partial t} dt = \sum_i p_i\, dq^i - \sum_i P_i\, dQ^i + \frac{\partial F_1}{\partial t} dt$$

です（2 番目の等号で上の 2 つの関係式を使いました）。移項すると

$$\sum_i p_i\, dq^i - \sum_i P_i\, dQ^i = dF_1 - \frac{\partial F_1}{\partial t} dt .$$

一方 $K = H + \partial F_1/\partial t$ より $-H\,dt + K\,dt = \frac{\partial F_1}{\partial t}dt$ ですから、両辺に $-H\,dt + K\,dt$ を足せば

$$\sum_i p_i\, dq^i - H\, dt = \sum_i P_i\, dQ^i - K\, dt + dF_1$$

となり、Definition 3.1 の条件そのものです。

∎

4.2. 4 つの型とルジャンドル変換

$F_1$ は $(q, Q)$ を独立変数に取りました。しかし $(q, P)$、$(p, Q)$、$(p, P)$ を独立変数に取るほうが便利な場合があります。たとえば恒等変換 $Q = q$, $P = p$ は $(q, Q)$ が独立でないので $F_1$ では書けません。そこでルジャンドル変換で変数を取り替えます。

flowchart LR
F1["F1(q, Q, t)<br/>p = ∂F1/∂q<br/>P = −∂F1/∂Q"]
F2["F2(q, P, t) = F1 + ΣQP<br/>p = ∂F2/∂q<br/>Q = ∂F2/∂P"]
F3["F3(p, Q, t) = F1 − Σqp<br/>q = −∂F3/∂p<br/>P = −∂F3/∂Q"]
F4["F4(p, P, t) = F1 − Σqp + ΣQP<br/>q = −∂F4/∂p<br/>Q = ∂F4/∂P"]
F1 -- "Q を P に取り替え" --> F2
F1 -- "q を p に取り替え" --> F3
F2 -- "q を p に取り替え" --> F4
F3 -- "Q を P に取り替え" --> F4

4 種類の母関数とルジャンドル変換による関係

導出はすべて同じ手順です。例として $F_2$ を確認します。$F = F_2(q, P, t) - \sum_i Q^i P_i$ と置くと

$$dF = \sum_i \frac{\partial F_2}{\partial q^i} dq^i + \sum_i \frac{\partial F_2}{\partial P_i} dP_i + \frac{\partial F_2}{\partial t} dt - \sum_i Q^i dP_i - \sum_i P_i dQ^i$$

なので、これを Definition 3.1 の右辺に代入すると $\sum_i P_i dQ^i$ が相殺され、

$$\sum_i p_i dq^i - H dt = \sum_i \frac{\partial F_2}{\partial q^i} dq^i + \sum_i \left( \frac{\partial F_2}{\partial P_i} - Q^i \right) dP_i + \left( \frac{\partial F_2}{\partial t} - K \right) dt$$

となります。$(q, P, t)$ を独立変数とみて $dq^i$, $dP_i$, $dt$ の係数を比較すれば、$p_i = \partial F_2/\partial q^i$、$Q^i = \partial F_2/\partial P_i$、$K = H + \partial F_2/\partial t$ が出ます。

いずれの型でも $K = H + \partial F/\partial t$ という形は共通です。母関数が時間を陽に含まないなら、新しいハミルトニアンは古いハミルトニアンの値そのもの（変数を書き換えただけ）になります。

4.3. 具体例

Example 4.2（恒等変換と、座標と運動量の交換）

(1) 恒等変換。 $F_2(q, P) = \sum_i q^i P_i$ と取ります。すると

$$p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q^i} = P_i, \qquad Q^i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} = q^i .$$

つまり $Q = q$, $P = p$ で恒等変換です。$\partial F_2/\partial t = 0$ なので $K = H$。この例から、$F_2$ 型が「恒等変換の近く」を扱うのに適した型だとわかります。

(2) 交換変換。 $F_1(q, Q) = \sum_i q^i Q^i$ と取ります。$\partial^2 F_1/(\partial q^i \partial Q^j) = \delta_{ij}$ は正則なので Theorem 4.1 が使えて

$$p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = Q^i, \qquad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = -q^i .$$

すなわち $Q^i = p_i$, $P_i = -q^i$ で、座標と運動量が符号を伴って入れ替わります。$K = H$ ですから、たとえば $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2$（1 自由度）は新変数で $K = \frac{Q^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 P^2$ になります。**「座標」と呼ばれていたものが運動量に、運動量だったものが座標になる。**ハミルトン形式で $q$ と $p$ を区別する絶対的な理由がないことが、この例にはっきり表れています。

Example 4.3（点変換は正準変換の特別な場合）

$Q^i = f^i(q, t)$（$i = 1, \ldots, n$）を、ヤコビ行列 $(\partial f^i/\partial q^j)$ が正則な点変換とします。母関数

$$F_2(q, P, t) = \sum_{i=1}^{n} f^i(q, t)\, P_i$$

を取ると、Theorem 4.1 と同じ手順（$F_2$ 型の公式）から

$$Q^i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i} = f^i(q, t), \qquad p_j = \frac{\partial F_2}{\partial q^j} = \sum_i \frac{\partial f^i}{\partial q^j} P_i .$$

第 2 式は $P$ について線形で、係数行列が正則ですから $P$ について解けます。運動量は座標変換のヤコビ行列の転置の逆で変換される、という見慣れた規則です。

$K = H + \partial F_2/\partial t = H + \sum_i \frac{\partial f^i}{\partial t} P_i$ となり、変換が時間に依存するときはハミルトニアンが補正を受けます。回転座標系に移ったときに遠心力とコリオリ力に対応する項が現れるのは、この補正の具体例です。

**要点は、ラグランジュ形式で許されていた点変換が正準変換の真部分集合だということです。**正準変換は $q$ と $p$ を混ぜられるぶん、はるかに広い集合をなします。

Example 4.4（調和振動子を作用・角変数で解く）

1 自由度の調和振動子

$$H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2$$

を考えます。第 1 節で述べた戦略、すなわち「新しいハミルトニアンが新しい座標を含まないようにする」を実行してみます。$H$ を $\omega P$ という形にできれば $\dot P = 0$、$\dot Q = \omega$ で終わりです。

母関数として

$$F_1(q, Q) = \frac{m \omega q^2}{2} \cot Q \qquad (0 < Q < \pi)$$

を取ります。Theorem 4.1 の公式に入れると

$$p = \frac{\partial F_1}{\partial q} = m \omega q \cot Q, \qquad P = -\frac{\partial F_1}{\partial Q} = \frac{m \omega q^2}{2 \sin^2 Q}$$

です（$\frac{d}{dQ}\cot Q = -\frac{1}{\sin^2 Q}$ を使いました）。第 2 式を $q$ について解くと

$$q = \sqrt{\frac{2P}{m\omega}}\, \sin Q ,$$

これを第 1 式に代入して

$$p = m\omega \sqrt{\frac{2P}{m\omega}}\, \sin Q \cdot \frac{\cos Q}{\sin Q} = \sqrt{2 m \omega P}\, \cos Q .$$

新しいハミルトニアンを計算します。$F_1$ は $t$ を陽に含まないので $K = H$ であり、

$$K = \frac{2m\omega P \cos^2 Q}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \cdot \frac{2P}{m\omega} \sin^2 Q = \omega P \cos^2 Q + \omega P \sin^2 Q = \omega P .$$

狙いどおり $K$ は $Q$ を含みません。ハミルトン方程式は

$$\dot P = -\frac{\partial K}{\partial Q} = 0, \qquad \dot Q = \frac{\partial K}{\partial P} = \omega$$

となり、直ちに $P = \text{const.}$、$Q = \omega t + \varphi$ と解けます。$K = H = E$ より $P = E/\omega$ です。元の変数に戻せば

$$q(t) = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\, \sin(\omega t + \varphi), \qquad p(t) = \sqrt{2mE}\, \cos(\omega t + \varphi)$$

で、よく知られた解が得られました。$P = E/\omega$ を作用変数、$Q$ を角変数と呼びます。微分方程式を解く代わりに、母関数を 1 つ選ぶだけで運動が決まったことに注意してください。

逆変換も書いておきます。$\tan Q = m\omega q / p$、$P = \dfrac{p^2 + m^2\omega^2 q^2}{2m\omega} = \dfrac{H}{\omega}$ です。

調和振動子：もとの相空間では楕円だった軌道が、作用・角変数では水平な直線になる

Remark 4.5

Example 4.4 の発想を一般化すると、$F_2 = S(q, P, t)$ を「$K \equiv 0$ になるように」選ぶ問題になります。$K = H + \partial S/\partial t$ と $p_i = \partial S/\partial q^i$ を代入すると

$$H\!\left(q^1, \ldots, q^n, \frac{\partial S}{\partial q^1}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q^n}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$$

という 1 階非線形偏微分方程式が得られます。これがハミルトン・ヤコビ方程式です。その完全解 $S$ が求まれば運動は完全に決まります。$S$ は作用そのものの役割を果たし、後に量子力学の波動関数の位相 $\psi \sim e^{iS/\hbar}$ として再登場します。

5. ポアソン括弧

正準変換を「見つける」のとは別に、正準構造そのものを表す演算があると便利です。それがポアソン括弧です。

Definition 5.1（ポアソン括弧）

相空間上の $C^1$ 級関数 $f(q, p, t)$, $g(q, p, t)$ に対し、そのポアソン括弧を

$$\{f, g\} \;=\; \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q^i} \right)$$

で定義する。時間 $t$ は微分の対象ではなく、パラメータとして扱う。

定義から直ちに、座標と運動量そのものについて

$$\{q^i, q^j\} = 0, \qquad \{p_i, p_j\} = 0, \qquad \{q^i, p_j\} = \delta^i_{\;j}$$

が成り立ちます。実際、$\{q^i, p_j\} = \sum_k \left( \frac{\partial q^i}{\partial q^k}\frac{\partial p_j}{\partial p_k} - \frac{\partial q^i}{\partial p_k}\frac{\partial p_j}{\partial q^k} \right) = \sum_k \delta^i_{\;k}\delta_{jk} - 0 = \delta^i_{\;j}$ です。この 3 本を基本ポアソン括弧と呼びます。相空間の「幾何」はこれで尽きています。

Proposition 5.2（ポアソン括弧の代数的性質）

$f$, $g$, $h$ を相空間上の十分滑らかな関数、$a$, $b$ を実定数とする。次が成り立つ。

1. （双線形性）$\{af + bg,\, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}$、および第 2 引数についても同様。
2. （反対称性）$\{f, g\} = -\{g, f\}$。特に $\{f, f\} = 0$。
3. （ライプニッツ則）$\{fg,\, h\} = f\{g, h\} + \{f, h\}\, g$。
4. （ヤコビ恒等式）$\{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0$。
5. （時間微分との交換）$\dfrac{\partial}{\partial t}\{f, g\} = \left\{ \dfrac{\partial f}{\partial t}, g \right\} + \left\{ f, \dfrac{\partial g}{\partial t} \right\}$。

Proof（Proposition 5.2）

1 は偏微分の線形性からただちに従います。

2 は定義式で $f$ と $g$ を入れ替えると各項の符号が反転することによります。すなわち $\{g, f\} = \sum_i \left( \frac{\partial g}{\partial q^i}\frac{\partial f}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q^i} \right) = -\{f, g\}$。

3 は積の微分則 $\partial(fg)/\partial q^i = f\,\partial g/\partial q^i + (\partial f/\partial q^i)\, g$ を定義式に代入し、$f$ を含む項と $g$ を含む項に分けるだけです。

5 は $\partial/\partial t$ と $\partial/\partial q^i$, $\partial/\partial p_i$ が（$f$, $g$ が $C^2$ なら）交換すること、および積の微分則から従います。

4 のヤコビ恒等式だけは計算量があるので、Appendix にまとめました。

∎

性質 1、2、4 は、ポアソン括弧が関数の空間にリー代数の構造を入れることを意味します。さらに 3 のライプニッツ則があるため、$g \mapsto \{f, g\}$ は微分作用素として振る舞います。この「リー代数 + ライプニッツ則」という組み合わせが、後で量子力学の交換子と重なる部分です。

6. 時間発展と保存量

Theorem 6.1（物理量の時間発展）

ハミルトニアン $H(q, p, t)$ に従う運動 $t \mapsto (q(t), p(t))$ を考える。$f(q, p, t)$ を $C^1$ 級関数とし、$f(t) := f(q(t), p(t), t)$ と置く。このとき

$$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

が成り立つ。

Proof（Theorem 6.1）

合成関数の微分則（連鎖律）により

$$\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} \dot q^i + \frac{\partial f}{\partial p_i} \dot p_i \right) + \frac{\partial f}{\partial t}$$

です。ここで $\dot q^i$, $\dot p_i$ にハミルトン方程式 $\dot q^i = \partial H/\partial p_i$, $\dot p_i = -\partial H/\partial q^i$ を代入すると

$$\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) + \frac{\partial f}{\partial t}$$

となり、第 1 項は Definition 5.1 によりちょうど $\{f, H\}$ です。

∎

この 1 本の式が、ハミルトン形式の力学を代数の言葉に翻訳します。実際、$f = q^i$ と取れば $\partial q^i/\partial t = 0$ かつ $\{q^i, H\} = \partial H/\partial p_i$ なので $\dot q^i = \partial H/\partial p_i$、$f = p_i$ と取れば $\dot p_i = \{p_i, H\} = -\partial H/\partial q^i$ となり、ハミルトン方程式自体が Theorem 6.1 の特別な場合になっています。

Corollary 6.2（保存量の判定条件）

$f(q, p)$ が時間を陽に含まない（$\partial f/\partial t = 0$）とする。$f$ がすべての運動に沿って保存する（$df/dt = 0$）ための必要十分条件は $\{f, H\} = 0$ である。特に $H$ が時間を陽に含まないとき、$\{H, H\} = 0$（Proposition 5.2 の反対称性）より $H$ 自身が保存する。

Proof（Corollary 6.2）

Theorem 6.1 に $\partial f/\partial t = 0$ を代入すると $df/dt = \{f, H\}$ です。相空間の任意の点を初期条件とする運動が存在するので、「すべての運動に沿って $df/dt = 0$」と「相空間上で恒等的に $\{f, H\} = 0$」は同値です。$H$ の場合は Proposition 5.2 の 2 より $\{H, H\} = -\{H, H\}$、したがって $\{H, H\} = 0$ です。

∎

Example 6.3（角運動量のポアソン括弧）

3 次元空間で $\boldsymbol{q} = (q^1, q^2, q^3)$, $\boldsymbol{p} = (p_1, p_2, p_3)$ とし、角運動量を $L_1 = q^2 p_3 - q^3 p_2$、$L_2 = q^3 p_1 - q^1 p_3$、$L_3 = q^1 p_2 - q^2 p_1$ とします。$\{L_1, L_2\}$ を最後まで計算します。

まず偏微分を並べます。

$$\begin{aligned} &\left( \frac{\partial L_1}{\partial q^1}, \frac{\partial L_1}{\partial q^2}, \frac{\partial L_1}{\partial q^3} \right) = (0,\ p_3,\ -p_2), & &\left( \frac{\partial L_1}{\partial p_1}, \frac{\partial L_1}{\partial p_2}, \frac{\partial L_1}{\partial p_3} \right) = (0,\ -q^3,\ q^2), \\[2pt] &\left( \frac{\partial L_2}{\partial q^1}, \frac{\partial L_2}{\partial q^2}, \frac{\partial L_2}{\partial q^3} \right) = (-p_3,\ 0,\ p_1), & &\left( \frac{\partial L_2}{\partial p_1}, \frac{\partial L_2}{\partial p_2}, \frac{\partial L_2}{\partial p_3} \right) = (q^3,\ 0,\ -q^1). \end{aligned}$$

Definition 5.1 に入れると、第 1 の和は

$$\sum_i \frac{\partial L_1}{\partial q^i}\frac{\partial L_2}{\partial p_i} = 0 \cdot q^3 + p_3 \cdot 0 + (-p_2)(-q^1) = q^1 p_2 ,$$

第 2 の和は

$$\sum_i \frac{\partial L_1}{\partial p_i}\frac{\partial L_2}{\partial q^i} = 0 \cdot (-p_3) + (-q^3)\cdot 0 + q^2 \cdot p_1 = q^2 p_1 .$$

したがって

$$\{L_1, L_2\} = q^1 p_2 - q^2 p_1 = L_3 .$$

添字を巡回させて $\{L_2, L_3\} = L_1$、$\{L_3, L_1\} = L_2$ も同様に得られます。まとめて $\{L_i, L_j\} = \sum_k \varepsilon_{ijk} L_k$ です。

この関係式は回転群のリー代数そのものです。角運動量が保存するかどうかは、Corollary 6.2 により $\{L_i, H\} = 0$ を調べればよく、対称性と保存則（ネーターの定理）で見た回転対称性と保存則の対応（全角運動量の保存（Example 4.4）［対称性と保存則］）が、ここでは括弧の消滅として現れます。中心力の場合の具体的な確認は Exercise 9.2 で行います。

Theorem 6.4（ポアソンの定理）

$f(q, p, t)$, $g(q, p, t)$ がともにハミルトニアン $H$ の運動の保存量である（$df/dt = 0$ かつ $dg/dt = 0$ が恒等的に成り立つ）とする。このとき $\{f, g\}$ もまた保存量である。

Proof（Theorem 6.4）

Theorem 6.1 を $\{f, g\}$ に適用します。

$$\frac{d}{dt}\{f, g\} = \big\{ \{f, g\},\, H \big\} + \frac{\partial}{\partial t}\{f, g\} .$$

右辺第 2 項は Proposition 5.2 の 5 より $\{\partial_t f, g\} + \{f, \partial_t g\}$ です。

右辺第 1 項を変形します。Proposition 5.2 の 4（ヤコビ恒等式）を $f$, $g$, $H$ に対して書くと

$$\{f, \{g, H\}\} + \{g, \{H, f\}\} + \{H, \{f, g\}\} = 0$$

なので、反対称性（同 2）を使って $\{ \{f,g\}, H \} = -\{H, \{f,g\}\}$ に注意すれば

$$\big\{ \{f, g\},\, H \big\} = \{f, \{g, H\}\} + \{g, \{H, f\}\} = \{f, \{g, H\}\} - \{g, \{f, H\}\} .$$

以上を合わせ、双線形性（同 1）で項をまとめます。

$$\frac{d}{dt}\{f, g\} = \Big\{ f,\ \{g, H\} + \frac{\partial g}{\partial t} \Big\} + \Big\{ \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t},\ g \Big\} = \Big\{ f, \frac{dg}{dt} \Big\} + \Big\{ \frac{df}{dt}, g \Big\} .$$

（2 番目の等号で再び Theorem 6.1 を使いました。また $-\{g, \{f,H\}\} = \{\{f,H\}, g\}$ と反対称性を使っています。）仮定より $df/dt = dg/dt = 0$ なので右辺は $0$ です。

∎

Remark 6.5

ポアソンの定理は「保存量から新しい保存量を作る機械」ですが、いつも新しいものが出るとは限りません。$\{f, g\}$ が定数だったり、既知の保存量の関数だったりすることも多いのです。Example 6.3 の $\{L_1, L_2\} = L_3$ は、$L_1$, $L_2$ が保存するなら $L_3$ も保存する、という有意義な帰結を与えます。ケプラー問題ではラプラス・ルンゲ・レンツベクトルと角運動量の括弧が閉じた代数をなし、軌道が閉じる理由を代数的に説明します（惑星の運動と中心力の ラプラス–ルンゲ–レンツベクトルの保存（Proposition 7.1）［Planetary Motion and Central Forces］ 参照）。

7. 正準性の判定：シンプレクティック条件

Definition 3.1 は母関数の存在を要求するので、目の前の変換が正準かどうかを判定するには使いにくいものです。ここでは行列を使った実用的な判定条件を与えます。

相空間の座標をまとめて $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_{2n}) = (q^1, \ldots, q^n, p_1, \ldots, p_n)$ と書き、$2n \times 2n$ の行列

$$J = \begin{pmatrix} O_n & I_n \\ -I_n & O_n \end{pmatrix}$$

を導入します（$I_n$ は $n$ 次単位行列）。$J^{\mathsf{T}} = -J$、$J^2 = -I_{2n}$、$J^{-1} = -J = J^{\mathsf{T}}$ です。この記法でハミルトン方程式は

$$\dot \xi = J\, \nabla_\xi H, \qquad \nabla_\xi H = \left( \frac{\partial H}{\partial \xi_1}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial \xi_{2n}} \right)^{\mathsf{T}}$$

と 1 行で書けます。実際、上半分は $\dot q^i = \partial H/\partial p_i$、下半分は $\dot p_i = -\partial H/\partial q^i$ です。同様にポアソン括弧は

$$\{f, g\} = (\nabla_\xi f)^{\mathsf{T}} J\, (\nabla_\xi g)$$

と書けます。とくに $\{\xi_a, \xi_b\} = J_{ab}$ であり、これは基本ポアソン括弧の内容そのものです。

Definition 7.1（シンプレクティック行列）

$2n$ 次実正方行列 $M$ が $M J M^{\mathsf{T}} = J$ を満たすとき、$M$ をシンプレクティック行列という。

Theorem 7.2（正準性のシンプレクティック判定）

時間に依存しない滑らかな可逆写像 $\eta = \eta(\xi)$（$\eta = (Q^1, \ldots, Q^n, P_1, \ldots, P_n)$）を考え、そのヤコビ行列を

$$M = M(\xi), \qquad M_{ab} = \frac{\partial \eta_a}{\partial \xi_b}$$

とする。次の 3 条件は互いに同値である。

1. 任意のハミルトニアン $H$ について、$\dot\xi = J\nabla_\xi H$ の解の像 $\eta(\xi(t))$ が $K(\eta) := H(\xi(\eta))$ をハミルトニアンとするハミルトン方程式 $\dot\eta = J \nabla_\eta K$ を満たす。
2. すべての点で $M J M^{\mathsf{T}} = J$（シンプレクティック条件）。
3. 基本ポアソン括弧が保たれる。すなわち、もとの変数 $\xi$ に関するポアソン括弧について $\{Q^i, Q^j\} = 0$、$\{P_i, P_j\} = 0$、$\{Q^i, P_j\} = \delta^i_{\;j}$ が成り立つ。

Proof（Theorem 7.2）

2 と 3 の同値。 上で見たように、任意の $f$, $g$ に対し $\{f, g\} = (\nabla_\xi f)^{\mathsf{T}} J (\nabla_\xi g)$ です。$f = \eta_a$, $g = \eta_b$ と取ると $\nabla_\xi \eta_a$ は $M$ の第 $a$ 行の転置ですから

$$\{\eta_a, \eta_b\} = \sum_{c,d} M_{ac} J_{cd} M_{bd} = \big( M J M^{\mathsf{T}} \big)_{ab} .$$

条件 3 は左辺の $2n \times 2n$ 行列が $J$ に等しいと言っており、これはちょうど $MJM^{\mathsf{T}} = J$ です。

1 と 2 の同値。 連鎖律により $\dot\eta = M \dot\xi$ です。$\dot\xi = J\nabla_\xi H$ を代入して

$$\dot\eta = M J \nabla_\xi H .$$

一方、$H(\xi) = K(\eta(\xi))$ を $\xi$ で微分すると（連鎖律）$\dfrac{\partial H}{\partial \xi_b} = \sum_a \dfrac{\partial K}{\partial \eta_a} \dfrac{\partial \eta_a}{\partial \xi_b}$、すなわち $\nabla_\xi H = M^{\mathsf{T}} \nabla_\eta K$ です。これを代入して

$$\dot\eta = M J M^{\mathsf{T}} \nabla_\eta K .$$

したがって $MJM^{\mathsf{T}} = J$ ならば $\dot\eta = J \nabla_\eta K$ となり、条件 1 が成り立ちます。

逆を示します。条件 1 を仮定すると、すべての $H$ について $\big( MJM^{\mathsf{T}} - J \big) \nabla_\eta K = 0$ が成り立ちます。$K$ としては任意の滑らかな関数が取れる（$H := K \circ \eta$ と定めればよい）ので、勝手な点 $\eta_0$ と勝手なベクトル $\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{2n}$ に対して $K(\eta) = \boldsymbol{v}^{\mathsf{T}}\eta$ と取れば $\nabla_\eta K = \boldsymbol{v}$ です。ゆえに $\big( MJM^{\mathsf{T}} - J \big)\boldsymbol{v} = 0$ がすべての $\boldsymbol{v}$ について成り立ち、$MJM^{\mathsf{T}} = J$ を得ます。

∎

Tip

実際に「この変換は正準か」を確かめるときは、条件 3 を使うのが最も速いです。1 自由度なら $\{Q, P\} = \dfrac{\partial Q}{\partial q}\dfrac{\partial P}{\partial p} - \dfrac{\partial Q}{\partial p}\dfrac{\partial P}{\partial q} = 1$ を確かめるだけで済みます。

Corollary 7.3（ポアソン括弧は正準変換で不変）

$\eta = \eta(\xi)$ を Theorem 7.2 の意味で正準な変換とする。任意の $C^1$ 級関数 $f$, $g$ に対し、$\xi$ で計算したポアソン括弧と $\eta$ で計算したポアソン括弧は一致する。すなわち $\{f, g\}_\xi = \{f, g\}_\eta$ である。

Proof（Corollary 7.3）

連鎖律より $\nabla_\xi f = M^{\mathsf{T}} \nabla_\eta f$、$\nabla_\xi g = M^{\mathsf{T}} \nabla_\eta g$ です（Theorem 7.2 の証明中と同じ計算）。したがって

$$\{f, g\}_\xi = (\nabla_\xi f)^{\mathsf{T}} J (\nabla_\xi g) = \big( M^{\mathsf{T}}\nabla_\eta f \big)^{\mathsf{T}} J \big( M^{\mathsf{T}}\nabla_\eta g \big) = (\nabla_\eta f)^{\mathsf{T}} \big( M J M^{\mathsf{T}} \big) (\nabla_\eta g) .$$

シンプレクティック条件 $MJM^{\mathsf{T}} = J$（同定理の条件 2）を使えば右辺は $(\nabla_\eta f)^{\mathsf{T}} J (\nabla_\eta g) = \{f, g\}_\eta$ です。

∎

この系の意味は大きいです。**ポアソン括弧はどの正準座標で計算しても同じ値を与える。**つまり括弧は座標の取り方によらない、相空間そのものに備わった構造です。この構造をシンプレクティック構造と呼びます。Theorem 6.1 の $df/dt = \{f, H\} + \partial f/\partial t$ が座標に依存しない形をしているのも、この不変性のおかげです。

Corollary 7.4（相空間の体積の保存（リウヴィルの定理））

シンプレクティック行列 $M$ は $\det M = 1$ を満たす。したがって正準変換は相空間の体積要素 $dq^1\cdots dq^n\, dp_1 \cdots dp_n$ を保つ。とくにハミルトン流（時刻 $0$ の状態を時刻 $t$ の状態に写す写像）は正準変換なので、相空間の任意の領域の体積は運動によって変化しない。

Proof（Corollary 7.4）

$MJM^{\mathsf{T}} = J$ の両辺の行列式を取ります。$\det(MJM^{\mathsf{T}}) = \det M \cdot \det J \cdot \det M^{\mathsf{T}} = (\det M)^2 \det J$ であり（行列式とその性質の 積の定理（Theorem 6.1）［Determinants and Their Properties］ と $\det M^{\mathsf{T}} = \det M$）、$\det J = 1 \ne 0$ なので $(\det M)^2 = 1$、つまり $\det M = \pm 1$ です。

$\det M$ は $\xi$ の連続関数で、値は $\{+1, -1\}$ のいずれか。連結な領域上では中間値の定理により符号は一定です。恒等変換を含む連続族としてつながる変換（$M = I$ で $\det M = 1$）を考えれば $\det M = 1$ となります。

体積の保存は重積分の変数変換公式（Theorem 6.3）［重積分と累次積分］ $\int_{\eta(D)} d\eta = \int_D |\det M|\, d\xi = \int_D d\xi$ から従います。ハミルトン流が各時刻 $t$ について正準変換であることは、母関数 $F_2 = \sum_i q^i P_i + t\, H(q, P) + O(t^2)$ が無限小の時間発展を生成することからわかります（Exercise 9.4 参照）。

∎

8. 量子力学への橋渡し

1925 年、ディラックはハイゼンベルクの新しい力学を読んで、行列 $x$, $p$ が $xp - px \ne 0$ を満たすことに引っかかりました。そして古典力学のポアソン括弧が、まさに同じ代数的性質（双線形性、反対称性、ライプニッツ則、ヤコビ恒等式）を持つことに気づきます。交換子 $[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A$ もこの 4 つを満たすからです。

たとえばライプニッツ則は、交換子について

$$[\hat A, \hat B \hat C] = \hat A\hat B\hat C - \hat B\hat C\hat A = (\hat A \hat B - \hat B\hat A)\hat C + \hat B(\hat A\hat C - \hat C \hat A) = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]$$

と、中間に $\hat B\hat A\hat C$ を足し引きするだけで確かめられます。Proposition 5.2 の 3 を反対称性と組み合わせた形 $\{f, gh\} = \{f, g\}\, h + g\, \{f, h\}$ と同じです。

そこでディラックは、古典量 $f$ を作用素 $\hat f$ に、ポアソン括弧を交換子に置き換える対応

$$\{f, g\} \;\longmapsto\; \frac{1}{i\hbar}\big[\hat f, \hat g\big]$$

を提案しました。$1/(i\hbar)$ という係数の必然性は次元解析からわかります。$\{q, p\}$ は無次元（$1$）ですが、$[\hat q, \hat p]$ は長さ × 運動量 = 作用の次元を持ちます。両者を結ぶには作用の次元を持つ定数で割らなければならず、しかも $\{f,g\}$ が実数であるためには純虚数 $i\hbar$ で割る必要があります（エルミート作用素 $\hat f$, $\hat g$ に対し $[\hat f, \hat g]$ は反エルミート、$\frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]$ はエルミート）。

対応表にまとめます。

古典力学（この記事）	量子力学
相空間上の実関数 $f(q, p)$	ヒルベルト空間上の自己共役作用素 $\hat f$
ポアソン括弧 $\{f, g\}$	$\dfrac{1}{i\hbar}\big[\hat f, \hat g\big]$
基本括弧 $\{q^i, p_j\} = \delta^i_{\;j}$	正準交換関係 $[\hat q^i, \hat p_j] = i\hbar\, \delta^i_{\;j}$
$\dfrac{df}{dt} = \{f, H\} + \dfrac{\partial f}{\partial t}$（Theorem 6.1）	ハイゼンベルク方程式 $\dfrac{d\hat f}{dt} = \dfrac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat H] + \dfrac{\partial \hat f}{\partial t}$
保存量の条件 $\{f, H\} = 0$（Corollary 6.2）	$[\hat f, \hat H] = 0$
正準変換（Theorem 7.2）	ユニタリ変換 $\hat f \mapsto \hat U^{*} \hat f \hat U$
角運動量 $\{L_i, L_j\} = \sum_k \varepsilon_{ijk} L_k$（Example 6.3）	$[\hat L_i, \hat L_j] = i\hbar \sum_k \varepsilon_{ijk} \hat L_k$

正準変換がユニタリ変換に対応する理由も、この表から見て取れます。正準変換はポアソン括弧を保つ変換でした（Corollary 7.3）。量子論で交換関係を保つ変換は、（連続なものに限れば）ユニタリ変換です。どちらも「構造を保つ変換」という同じ役割を果たしています。

Remark 8.1（対応は完全ではない）

この対応をどんな関数にも一貫して拡張できるか、というのが「量子化」の問題です。答えは否定的で、フローネヴォルト（1946 年）とファン・ホーヴェが証明した定理により、$\{f, g\} \mapsto \frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]$ をすべての多項式に対して成り立たせつつ $\hat q$, $\hat p$ をシュレーディンガー表現に取ることは不可能です。破綻は 3 次以上の多項式で起こります。原因は、古典量の積が可換なのに作用素の積が非可換であること、すなわち $q^2p$ を $\hat q^2\hat p$ と書くか $\hat q \hat p \hat q$ と書くかという順序の曖昧さです。

したがって「ポアソン括弧を交換子に置き換える」は厳密な写像ではなく、指導原理です。しかし 2 次までの多項式（自由粒子、調和振動子、一様な力、角運動量）では正確に成り立つため、量子力学の基本的な模型を作るには十分でした。

9. 演習

Exercise 9.1標準

1 自由度の相空間で、領域 $q > 0$、$0 < p < \pi$ 上の変換

$$Q = \log\!\left( \frac{\sin p}{q} \right), \qquad P = q \cot p$$

を考えます。この変換が正準変換であることを、Theorem 7.2 の条件 3 を用いて示してください。また、ヤコビ行列 $M$ の行列式を計算し、Corollary 7.4 と整合することを確かめてください。

Solution

$Q = \log \sin p - \log q$ と分けておくと微分が楽です。

$$\frac{\partial Q}{\partial q} = -\frac{1}{q}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial p} = \frac{\cos p}{\sin p} = \cot p ,$$$$\frac{\partial P}{\partial q} = \cot p, \qquad \frac{\partial P}{\partial p} = -\frac{q}{\sin^2 p} .$$

（$\dfrac{d}{dp}\cot p = -\dfrac{1}{\sin^2 p}$ を使いました。）よって

$$\{Q, P\} = \frac{\partial Q}{\partial q}\frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p}\frac{\partial P}{\partial q} = \left( -\frac{1}{q} \right)\left( -\frac{q}{\sin^2 p} \right) - \cot p \cdot \cot p = \frac{1}{\sin^2 p} - \frac{\cos^2 p}{\sin^2 p} = \frac{1 - \cos^2 p}{\sin^2 p} = 1 .$$

1 自由度なので基本括弧は $\{Q, Q\} = \{P, P\} = 0$（反対称性より自動）と $\{Q, P\} = 1$ の 3 本で、すべて満たされました。よって Theorem 7.2 により正準変換です。

ヤコビ行列は

$$M = \begin{pmatrix} \partial Q/\partial q & \partial Q/\partial p \\ \partial P/\partial q & \partial P/\partial p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/q & \cot p \\ \cot p & -q/\sin^2 p \end{pmatrix}$$

で、$\det M = \dfrac{1}{\sin^2 p} - \cot^2 p = 1$。これは 1 自由度では $\det M = \{Q, P\}$ が成り立つことの現れであり、$\det M = 1$ という Corollary 7.4 の主張と一致します。

なお、領域の制限（$q > 0$, $0 < p < \pi$）は $\log$ の引数を正に保ち、$\sin p \ne 0$ とするために必要です。この制限を外すと変換は定義されないか、可逆でなくなります。

Exercise 9.2標準

3 次元空間で $r^2 = \sum_i (q^i)^2$、$\boldsymbol{p}^2 = \sum_i p_i^2$ と置きます。角運動量の第 3 成分 $L_3 = q^1p_2 - q^2p_1$ について、$\{L_3, r^2\} = 0$ と $\{L_3, \boldsymbol{p}^2\} = 0$ を示し、そこから中心力のハミルトニアン $H = \dfrac{\boldsymbol{p}^2}{2m} + V(r)$ に対して $L_3$ が保存することを結論してください（$V$ は $C^1$ 級とします）。

Solution

Example 6.3 で求めた偏微分を使います。$L_3 = q^1p_2 - q^2p_1$ に対して

$$\left( \frac{\partial L_3}{\partial q^i} \right)_i = (p_2,\ -p_1,\ 0), \qquad \left( \frac{\partial L_3}{\partial p_i} \right)_i = (-q^2,\ q^1,\ 0) .$$

$r^2$ は $p$ を含まないので $\partial r^2/\partial p_i = 0$、また $\partial r^2/\partial q^i = 2q^i$ です。したがって

$$\{L_3, r^2\} = \sum_i \frac{\partial L_3}{\partial q^i} \cdot 0 - \sum_i \frac{\partial L_3}{\partial p_i} \cdot 2q^i = -\big[ (-q^2)(2q^1) + (q^1)(2q^2) + 0 \big] = -\big[ -2q^1q^2 + 2q^1q^2 \big] = 0 .$$

同様に $\boldsymbol{p}^2$ は $q$ を含まず $\partial \boldsymbol{p}^2/\partial p_i = 2p_i$ なので

$$\{L_3, \boldsymbol{p}^2\} = \sum_i \frac{\partial L_3}{\partial q^i} \cdot 2p_i - 0 = p_2(2p_1) + (-p_1)(2p_2) + 0 = 0 .$$

次に $V(r)$ です。$V$ は $r = \sqrt{r^2}$ を通じて $r^2$ の関数と見なせるので、$V = \tilde V(r^2)$ と書けます。ポアソン括弧の連鎖律（Proposition 5.2 のライプニッツ則から従います。$g$ が $u$ の関数のとき $\{f, g(u)\} = g'(u)\{f, u\}$）により

$$\{L_3, V\} = \tilde V'(r^2)\, \{L_3, r^2\} = 0 .$$

よって双線形性（同 1）から

$$\{L_3, H\} = \frac{1}{2m}\{L_3, \boldsymbol{p}^2\} + \{L_3, V\} = 0 .$$

$L_3$ は時間を陽に含まないので、Corollary 6.2 により $L_3$ は保存量です。$L_1$, $L_2$ についても添字を巡回させれば同じ計算が成り立ち、角運動量ベクトル全体が保存します。これは球対称ポテンシャルの回転対称性の帰結であり、惑星の運動と中心力で軌道が 1 つの平面に載る理由（運動の平面性（Corollary 3.2）［Planetary Motion and Central Forces］）でもあります。

Exercise 9.3標準

自由粒子 $H = \dfrac{p^2}{2m}$（1 自由度）に対するハミルトン・ヤコビ方程式（Remark 4.5）を書き下し、変数分離により $K \equiv 0$ となる第 2 種母関数 $S(q, P, t)$ を 1 つ求めてください。さらに、そこから運動 $q(t)$ を導いてください。

Solution

$p = \partial S/\partial q$ を代入すると、ハミルトン・ヤコビ方程式は

$$\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S}{\partial q} \right)^{\!2} + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$$

です。$S(q, t) = W(q) - Et$ の形（変数分離）を仮定すると $\partial S/\partial t = -E$、$\partial S/\partial q = W'(q)$ なので

$$\frac{1}{2m}\big( W'(q) \big)^2 = E \quad \Longrightarrow \quad W'(q) = \sqrt{2mE} .$$

積分定数は落としてよく、$W(q) = \sqrt{2mE}\, q$。新しい運動量を $P = \alpha := \sqrt{2mE}$（すなわち $E = \alpha^2/2m$）と取ると

$$S(q, P, t) = P q - \frac{P^2}{2m} t .$$

これが求める母関数です。$F_2$ 型の公式から

$$p = \frac{\partial S}{\partial q} = P, \qquad Q = \frac{\partial S}{\partial P} = q - \frac{P}{m} t, \qquad K = H + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{P^2}{2m} - \frac{P^2}{2m} = 0 .$$

$K \equiv 0$ なので $\dot Q = \partial K/\partial P = 0$、$\dot P = -\partial K/\partial Q = 0$、すなわち $Q$ も $P$ も定数です。$Q = q_0$、$P = p_0$ と書けば

$$q(t) = q_0 + \frac{p_0}{m} t, \qquad p(t) = p_0$$

で、等速直線運動が出ました。新しい正準座標 $(Q, P)$ は初期条件そのものになっています。これがハミルトン・ヤコビ理論の一般的な描像です。運動を解くとは、初期条件を座標とするような正準座標系を見つけることだ、と言い換えられます。

Exercise 9.4難

$f(q, p)$ を相空間上の $C^2$ 級関数、$\epsilon$ を微小な実数とし、無限小変換

$$\delta \xi_a = \epsilon \sum_b J_{ab} \frac{\partial f}{\partial \xi_b} \qquad \text{すなわち} \quad \delta q^i = \epsilon\, \frac{\partial f}{\partial p_i}, \quad \delta p_i = -\epsilon\, \frac{\partial f}{\partial q^i}$$

を考えます。

(1) この変換が $\epsilon$ の 1 次までシンプレクティック条件を満たすことを示してください。

(2) 任意の $C^1$ 級関数 $g$ について、変換による変化が $\delta g = \epsilon \{g, f\}$ と書けることを示してください。

(3) (2) を使って、「$f$ が保存量である」ことと「$H$ が $f$ の生成する無限小変換で不変である」ことが同値だと結論してください。

Solution

(1) $S := \left( \dfrac{\partial^2 f}{\partial \xi_a \partial \xi_b} \right)_{a,b}$（$f$ のヘッセ行列）と置きます。$f$ が $C^2$ 級なので $S^{\mathsf{T}} = S$ です。変換 $\eta_a = \xi_a + \epsilon \sum_b J_{ab}\partial_b f$ のヤコビ行列は

$$M = I + \epsilon\, J S + O(\epsilon^2) .$$

転置は $M^{\mathsf{T}} = I + \epsilon\, S^{\mathsf{T}} J^{\mathsf{T}} = I - \epsilon\, S J$（$J^{\mathsf{T}} = -J$ と $S^{\mathsf{T}} = S$ を使いました）。したがって

$$M J M^{\mathsf{T}} = (I + \epsilon J S)\, J\, (I - \epsilon S J) = J - \epsilon\, J S J + \epsilon\, J S J + O(\epsilon^2) = J + O(\epsilon^2) .$$

$\epsilon$ の 1 次の項がちょうど打ち消し合いました。よって Definition 7.1 の条件が 1 次まで成り立ち、Theorem 7.2 の意味でこれは無限小正準変換です。$f$ をこの変換の生成子と呼びます。

(2) 連鎖律より、1 次までで

$$\delta g = \sum_a \frac{\partial g}{\partial \xi_a} \delta \xi_a = \epsilon \sum_{a,b} \frac{\partial g}{\partial \xi_a} J_{ab} \frac{\partial f}{\partial \xi_b} = \epsilon\, (\nabla_\xi g)^{\mathsf{T}} J (\nabla_\xi f) = \epsilon \{g, f\} .$$

（最後の等号は第 7 節のポアソン括弧の行列表示です。）

(3) (2) で $g = H$ と取ると $\delta H = \epsilon \{H, f\} = -\epsilon \{f, H\}$（反対称性、Proposition 5.2 の 2）。したがって

$$\delta H = 0 \ \text{（すべての点で）} \iff \{f, H\} = 0 .$$

右辺は Corollary 6.2 により「$f$ が保存量」と同値です。よって主張が示されました。

これはネーターの定理のハミルトン形式版です。対称性と保存則（ネーターの定理）の ネーターの定理（点変換版）（Theorem 4.1）［対称性と保存則］ ではラグランジアンの対称性から保存量を作りましたが、ここでは保存量と対称性の生成子が同じものであることが、$\{f, H\} = 0$ という 1 本の式の 2 通りの読み方として現れています。$f = p_i$ なら $\delta q^i = \epsilon$ で平行移動、$f = L_3$ なら $z$ 軸まわりの回転、$f = H$ なら時間発展そのもの（これが Corollary 7.4 でハミルトン流が正準変換だと述べた根拠です）。

参考文献

• H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, 2002 — 第 9 章（Canonical Transformations）、第 10 章（Hamilton–Jacobi Theory）。母関数の 4 つの型と多数の具体例。
• L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mechanics, 3rd ed., Butterworth-Heinemann, 1976 — 第 VII 章（正準方程式）。ポアソン括弧、正準変換、リウヴィルの定理を簡潔にまとめている。
• V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer, 1989 — 第 8 章・第 9 章。シンプレクティック多様体の言葉で正準形式を再構成する立場。
• 山本義隆・中村孔一『解析力学 I・II』朝倉書店、1998 — 正準形式と対称性を数学的に詳しく扱う日本語の標準的な文献。
• P. A. M. Dirac, “The Fundamental Equations of Quantum Mechanics”, Proceedings of the Royal Society A 109 (1925), 642–653. DOI: 10.1098/rspa.1925.0150 — ポアソン括弧と交換子の対応を提案した原論文。
• H. J. Groenewold, “On the principles of elementary quantum mechanics”, Physica 12 (1946), 405–460. DOI: 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 — 括弧と交換子の完全な対応が不可能であることを示した論文。

Appendix: ヤコビ恒等式の証明

方針。 Proposition 5.2 の 4 を示します。素直に展開すると膨大な項が出ますが、「2 階微分の項が打ち消し合う」ことに着目すると短く済みます。

第 7 節の記法を使います。相空間の座標を $\xi_1, \ldots, \xi_{2n}$、$\partial_a = \partial/\partial \xi_a$、定数行列 $J$ の成分を $J_{ab}$（$J_{ba} = -J_{ab}$）とすると

$$\{f, g\} = \sum_{a,b} J_{ab}\, \partial_a f\, \partial_b g$$

です。以下、繰り返す添字は $1$ から $2n$ まで和を取る規約を用います。示したいのは

$$\mathcal{S} := \{f, \{g, h\}\} + \{g, \{h, f\}\} + \{h, \{f, g\}\} = 0 .$$

各項の展開。 積の微分則から

$$\{f, \{g, h\}\} = J_{ab}\, \partial_a f\, \partial_b \big( J_{cd}\, \partial_c g\, \partial_d h \big) = J_{ab} J_{cd}\, \partial_a f \big( \partial_b \partial_c g\, \partial_d h + \partial_c g\, \partial_b \partial_d h \big) .$$

同様に他の 2 項も展開できます。$\mathcal{S}$ の各項は $f$, $g$, $h$ のいずれか 1 つの 2 階微分を必ず含みます（1 階微分だけの項は現れません）。そこで、$f$ の 2 階微分を含む項をすべて集めて $0$ になることを示せば十分です。$\mathcal{S}$ は $f \to g \to h \to f$ という巡回置換で不変なので、$g$ と $h$ についても同じ結論が自動的に従い、結局 $\mathcal{S}$ のすべての項が消えることになります。

$f$ の 2 階微分を含む項。 $f$ の 2 階微分は第 2 項と第 3 項からだけ出ます。

$$\{g, \{h, f\}\} = J_{ab} J_{cd}\, \partial_a g \big( \partial_b \partial_c h\, \partial_d f + \partial_c h\, \partial_b \partial_d f \big)$$

より、その寄与は $T_1 = J_{ab} J_{cd}\, \partial_a g\, \partial_c h\, \partial_b \partial_d f$。

$$\{h, \{f, g\}\} = J_{ab} J_{cd}\, \partial_a h \big( \partial_b \partial_c f\, \partial_d g + \partial_c f\, \partial_b \partial_d g \big)$$

より、その寄与は $T_2 = J_{ab} J_{cd}\, \partial_a h\, \partial_d g\, \partial_b \partial_c f$。

打ち消し。 $T_2$ の和の添字を付け替えます。$(a, b, c, d) \to (c, d, a, b)$ と名前を変えても和の値は変わらず、係数は $J_{cd}J_{ab} = J_{ab}J_{cd}$ のままなので

$$T_2 = J_{ab} J_{cd}\, \partial_c h\, \partial_b g\, \partial_a \partial_d f .$$

したがって

$$T_1 + T_2 = J_{cd}\, \partial_c h \Big[ J_{ab}\, \partial_a g\, \partial_b \partial_d f + J_{ab}\, \partial_b g\, \partial_a \partial_d f \Big] .$$

角括弧の第 2 項で $a$ と $b$ の名前を入れ替えると $J_{ba}\, \partial_a g\, \partial_b \partial_d f$ になり、$J$ の反対称性 $J_{ba} = -J_{ab}$ より、これは第 1 項の符号を変えたものです。よって角括弧は $0$、すなわち $T_1 + T_2 = 0$。

結論。 巡回対称性により $g$ の 2 階微分を含む項の総和も、$h$ の 2 階微分を含む項の総和も $0$ です。$\mathcal{S}$ の項はすべてこの 3 つのグループに分類されるので $\mathcal{S} = 0$、すなわちヤコビ恒等式が成り立ちます。

なお、この証明で使ったのは $J_{ab}$ が定数であること（$\partial_b$ が $J_{cd}$ を素通りする）と反対称であることだけです。座標に依存する反対称行列 $J_{ab}(\xi)$ でも、追加の条件を課せばヤコビ恒等式が成り立ち、その一般化がポアソン多様体の理論になります。