群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み

0. この記事の要点

• 群準同型 $f \colon G \to H$ とは積を積に写す写像です。単位元・逆元・整数べきが保たれることは要求せずとも定義から従います。
• 核 $\operatorname{Ker} f$ は $G$ の正規部分群、像 $\operatorname{Im} f$ は $H$ の部分群です。逆に、任意の正規部分群はある準同型の核として現れます。つまり「正規部分群」と「準同型の核」は同じものの表と裏です。
• $f$ が単射であることと $\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$ は同値です。核は「$f$ がどれだけ情報を潰したか」を測る量です。
• 準同型定理：$G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$。証明の要は「$f(x) = f(y)$ と $x\operatorname{Ker} f = y\operatorname{Ker} f$ が同値」という一点だけです。
• 応用すると $GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^{\times}$ や $S_n/A_n \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ が、また $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が複素平面の単位円と同型であることが、いずれも数行で出ます。商群の正体を「見慣れた群」として同定する道具です。
• $G$ が有限群なら $|G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f|$ が成り立ち、$H$ も有限群なら像の位数は $|G|$ と $|H|$ の共通の約数になります。

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1. 動機 — 群を「比べる」ための写像、「潰す」ための写像

前章までで、部分群・剰余類・正規部分群・商群を作ってきました。商群 $G/N$ は「$N$ の元をすべて単位元とみなして得られる群」として構成しましたが、素朴な疑問が残っているはずです。そうやって抽象的に作った群は、いったい何者なのか、という疑問です。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ なら時計の文字盤だと納得できます。しかし $GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R})$ と言われて、その正体がすぐ見える人はいないでしょう。剰余類の集合という定義に戻っても、行列の集合の集合が並ぶだけで、手応えがありません。

この章の主定理である準同型定理は、この問いに一般的な答えを与えます。乱暴に言えばこうです。

商群 $G/N$ の正体を知りたければ、$N$ をちょうど潰すような見慣れた群への全射を 1 本見つけよ。$G/N$ はその行き先と同型である。

$GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R})$ なら行列式 $\det$ がその 1 本で、答えは $\mathbb{R}^{\times}$（$0$ でない実数の乗法群）です。剰余類をいちいち書き下す必要はありません。

動機はもう一つあります。二つの群が「同じ」とはどういうことかという問いです。集合としての大きさだけでは足りません。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ はどちらも位数 $4$ ですが、前者には位数 $4$ の元 $\bar{1}$ があるのに対し、後者では単位元以外のすべての元 $(\bar1,\bar0), (\bar0,\bar1), (\bar1,\bar1)$ が位数 $2$ です。だから両者は「同じ群」とは言えません。比べるべきは元の個数ではなく積の表であり、積の表を保つ全単射こそが「同じ」の正しい定義になります。

そして、積を保つ写像は全単射でなくても意味を持ちます。整数を偶奇に潰す、行列を行列式に潰す、置換を符号に潰す。どれも情報を捨てていますが、捨て方が積と整合しているので、潰した先にもまた群の構造が残ります。捨てられた情報の全体がちょうど核であり、準同型定理は「捨てたぶんだけ商にとれば、残るのは像そのもの」という一種の保存則になっています。

群・環・加群に共通するこの形の定理群が現在の姿に整理されたのは、E. ネーターの 1920 年代の仕事によるとされ、今日でも「ネーターの同型定理」と呼ばれます。この記事で扱うのはその第一（準同型定理）と第三で、第二は演習に回します。

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2. 準備 — 記号と、前章から使う事実

記号を確認します。群 $G$ の単位元を $e_G$（紛れのないときは単に $e$）と書きます。$K$ が $G$ の部分群であることを $K \le G$、正規部分群であることを $N \trianglelefteq G$ と書きます。$\mathbb{Z}$ は整数全体の加法群、$\mathbb{N} = \{1,2,\ldots\}$ とします。

前章 正規部分群と商群 と 部分群と剰余類（ラグランジュの定理） から、次の事実を断りなく使います。証明の各所で参照するので、ここに並べておきます。

1. 部分群の判定法（Proposition 3.3［Subgroups and Cosets］）：$K \subseteq G$ が空でなく、$a, b \in K \implies ab^{-1} \in K$ を満たすなら $K \le G$。
2. 左剰余類（Lemma 5.2［Subgroups and Cosets］）：$x, y \in G$、$K \le G$ に対して $xK = yK \iff x^{-1}y \in K$。また $x \in xK$ であり、二つの左剰余類は一致するか交わらないかのどちらかで、$G$ は左剰余類に分割されます。写像 $k \mapsto xk$ は $K$ から $xK$ への全単射なので $|xK| = |K|$ です。
3. 正規部分群（Definition 4.1［Normal Subgroups and Quotient Groups］）：$N \le G$ が $N \trianglelefteq G$ であるとは、すべての $g \in G$ に対して $gNg^{-1} = N$ が成り立つことです。これは $gN = Ng$（すべての $g$）とも同値です。
4. 商群（Theorem 5.1［Normal Subgroups and Quotient Groups］）：$N \trianglelefteq G$ のとき、左剰余類の集合 $G/N = \{gN : g \in G\}$ に積 $(xN)(yN) = xyN$ を定めると、これは代表元の取り方によらずに定まり、$G/N$ は群になります。単位元は $eN = N$、$xN$ の逆元は $x^{-1}N$ です。
5. 標準全射：$\pi \colon G \to G/N$、$\pi(g) = gN$。
6. ラグランジュの定理（Theorem 6.1［Subgroups and Cosets］）：$G$ が有限群で $K \le G$ なら $|G| = [G : K]\,|K|$。特に $N \trianglelefteq G$ なら $|G/N| = |G|/|N|$ です。

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3. 準同型写像とその基本性質

Definition 3.1（群準同型写像）

$(G, \cdot)$ と $(H, \ast)$ を群とします。写像 $f \colon G \to H$ が

$$f(x \cdot y) = f(x) \ast f(y) \qquad (\forall x, y \in G)$$

を満たすとき、$f$ を $G$ から $H$ への群準同型写像（または単に準同型）といいます。以後、両群の演算はどちらも並置で書きます。

条件は 1 本だけです。「$G$ の中で先に掛けてから写す」ことと「写してから $H$ の中で掛ける」ことが一致する、と言っています。単位元を単位元に写すことも、逆元を逆元に写すことも要求していない点に注意してください。それらは次の命題のとおり自動的に従います（モノイドの準同型では単位元の保存を別に要求します。群では逆元の存在がこの差を埋めてくれます）。

Definition 3.2（同型写像と同型）

準同型 $f \colon G \to H$ が全単射であるとき、$f$ を同型写像といいます。$G$ から $H$ への同型写像が少なくとも一つ存在するとき、$G$ と $H$ は同型であるといい、$G \cong H$ と書きます。$G$ から $G$ 自身への同型写像を自己同型といい、その全体を $\operatorname{Aut}(G)$ と書きます。

同型写像 $f$ の逆写像 $f^{-1}$ もまた準同型です。実際、$u, v \in H$ に対し $u = f(x)$、$v = f(y)$ と書けば、$f(xy) = uv$ なので $f^{-1}(uv) = xy = f^{-1}(u)f^{-1}(v)$ となります。したがって $\cong$ は反射律（恒等写像）・対称律（逆写像）・推移律（合成写像は準同型）を満たす同値関係のようにふるまい、「$G \cong H$ ならば $G$ と $H$ は群としては区別できない」と考えてよいことになります。群論の目標のひとつは、群を同型を除いて分類することです。

Proposition 3.3（準同型の基本性質）

$f \colon G \to H$ を群準同型とします。このとき次が成り立ちます。

1. $f(e_G) = e_H$。
2. すべての $x \in G$ に対して $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$。
3. すべての $x \in G$ とすべての $n \in \mathbb{Z}$ に対して $f(x^n) = f(x)^n$。
4. $x \in G$ の位数が有限な $n$ であれば、$f(x)$ の位数は有限で $n$ の約数である。
5. $K \le G$ ならば $f(K) \le H$。また $L \le H$ ならば $f^{-1}(L) \le G$ であり、さらに $L \trianglelefteq H$ ならば $f^{-1}(L) \trianglelefteq G$ である。

Proof（Proposition 3.3）

(1) $e_G e_G = e_G$ に $f$ を施すと、準同型の定義（Definition 3.1）から $f(e_G)f(e_G) = f(e_G)$ を得ます。$H$ は群なので $f(e_G)$ は $H$ の中に逆元 $f(e_G)^{-1}$ を持ちます。それを両辺の左から掛けると、左辺は $f(e_G)^{-1}f(e_G)f(e_G) = e_H f(e_G) = f(e_G)$、右辺は $f(e_G)^{-1}f(e_G) = e_H$ となり、$f(e_G) = e_H$ が従います。

(2) $f(x)f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = f(e_G) = e_H$ です。ここで最初の等号は準同型性、最後の等号は (1) を使いました。同様に $f(x^{-1})f(x) = f(x^{-1}x) = e_H$ です。群では逆元は一意なので、$f(x^{-1})$ は $f(x)$ の逆元、すなわち $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ です。

(3) まず $n \ge 0$ を $n$ についての帰納法で示します。$n = 0$ のときは $x^0 = e_G$ と (1) から $f(x^0) = e_H = f(x)^0$ です。$f(x^n) = f(x)^n$ を仮定すると、

$$f(x^{n+1}) = f(x^n x) = f(x^n) f(x) = f(x)^n f(x) = f(x)^{n+1}$$

となり、二つめの等号が準同型性、三つめが帰納法の仮定です。次に $n < 0$ のときは $m = -n > 0$ とおくと $x^n = (x^m)^{-1}$ であり、(2) と既に示した非負の場合から $f(x^n) = f((x^m)^{-1}) = f(x^m)^{-1} = (f(x)^m)^{-1} = f(x)^{-m} = f(x)^n$ です。

(4) $x$ の位数が $n$ とは $x^n = e_G$ を満たす最小の正整数が $n$ ということです。(3) と (1) から $f(x)^n = f(x^n) = f(e_G) = e_H$ なので、$f(x)$ の位数は有限です。$f(x)$ の位数を $d$ とすると、$n$ を $d$ で割って $n = qd + r$（$0 \le r < d$）と書けば

$$e_H = f(x)^n = (f(x)^d)^q f(x)^r = f(x)^r$$

となり、$d$ の最小性から $r = 0$、すなわち $d \mid n$ です。

(5) まず $f(K)$ について。$K \le G$ なので $e_G \in K$ であり、(1) から $e_H = f(e_G) \in f(K)$、特に空ではありません。$u, v \in f(K)$ を取り $u = f(a)$、$v = f(b)$（$a, b \in K$）と書くと、(2) と準同型性から

$$uv^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1})$$

であり、$K \le G$ より $ab^{-1} \in K$ なので $uv^{-1} \in f(K)$ です。準備 2 節の部分群の判定法から $f(K) \le H$ です。

次に $f^{-1}(L)$ について。(1) より $f(e_G) = e_H \in L$ なので $e_G \in f^{-1}(L)$ で空ではありません。$a, b \in f^{-1}(L)$ なら、上と同じ計算で $f(ab^{-1}) = f(a)f(b)^{-1} \in L$（$L$ が部分群であることを使いました）となり $ab^{-1} \in f^{-1}(L)$ です。よって $f^{-1}(L) \le G$ です。最後に $L \trianglelefteq H$ を仮定します。$g \in G$、$a \in f^{-1}(L)$ に対し

$$f(gag^{-1}) = f(g)f(a)f(g)^{-1} \in f(g)\,L\,f(g)^{-1} = L$$

となります。ここで最初の等号は準同型性と (2)、最後の等号は $L$ の正規性です。したがって $gag^{-1} \in f^{-1}(L)$、すなわち $g\,f^{-1}(L)\,g^{-1} \subseteq f^{-1}(L)$ がすべての $g$ で成り立ちます。この包含を $g^{-1}$ に対して使うと $g^{-1} f^{-1}(L) g \subseteq f^{-1}(L)$、両辺を $g \cdot (-) \cdot g^{-1}$ で写して $f^{-1}(L) \subseteq g f^{-1}(L) g^{-1}$ を得るので、等号 $g f^{-1}(L) g^{-1} = f^{-1}(L)$ が成り立ち、$f^{-1}(L) \trianglelefteq G$ です。

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Proposition 3.3 の (4) は「位数が保たれる」とは言っていません。約数に落ちるだけです。実際、$f \colon \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を「$4$ を法とする剰余類を $2$ を法とする剰余類に読み替える写像」とすると（$4\mathbb{Z} \subseteq 2\mathbb{Z}$ なのでこれは代表元の取り方によらず定まります）、$f$ は準同型ですが、位数 $4$ の元 $\bar1$ の像 $f(\bar1) = \bar1$ の位数は $2$ です。$2$ は $4$ の約数なので主張と矛盾しません。

Caution

$K \trianglelefteq G$ でも $f(K) \trianglelefteq H$ とは限りません。包含写像 $f \colon S_2 \hookrightarrow S_3$（$S_2 = \{e, (1\,2)\}$ を $S_3$ の部分群とみなす）を考えると、$S_2$ はそれ自身の正規部分群ですが、像 $\{e, (1\,2)\}$ は $S_3$ で正規ではありません。実際 $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1} = (2\,3)$ であり、これは $\{e,(1\,2)\}$ に属しません。ただし $f$ が全射なら正規性は保たれます。$h \in H$ を $h = f(g)$ と書けば $h f(K) h^{-1} = f(gKg^{-1}) = f(K)$ となるからです。

Example 3.4（準同型の見本帳と、準同型でない写像）

以下はすべて群準同型です。括弧内に準同型性の根拠を書きます。

写像	定義域 → 値域	準同型である理由
自明写像 $g \mapsto e_H$	$G \to H$	$e_H = e_H e_H$
包含写像 $\iota(k) = k$	$K \to G$（$K \le G$）	$G$ の積が $K$ の積の拡張だから
標準全射 $\pi(g) = gN$	$G \to G/N$（$N \trianglelefteq G$）	商群の積の定義 $(xN)(yN) = xyN$
行列式 $\det$	$GL_n(K) \to K^{\times}$	$\det(AB) = \det A \det B$
置換の符号 $\operatorname{sgn}$	$S_n \to \{\pm 1\}$	$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}\sigma \cdot \operatorname{sgn}\tau$
指数関数 $t \mapsto e^{t}$	$(\mathbb{R},+) \to (\mathbb{R}_{>0}, \times)$	$e^{s+t} = e^s e^t$
$z \mapsto z^n$	$\mathbb{C}^{\times} \to \mathbb{C}^{\times}$	$(zw)^n = z^n w^n$（可換だから）
共役 $c_g(x) = gxg^{-1}$	$G \to G$	$c_g(xy) = gxyg^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1})$

最後の行の計算を確認しておきます。$c_g(x)c_g(y) = gxg^{-1}gyg^{-1} = gx e y g^{-1} = g(xy)g^{-1} = c_g(xy)$ です。また $c_g \circ c_{g^{-1}} = c_{g^{-1}} \circ c_g = \operatorname{id}_G$ なので $c_g$ は全単射、すなわち自己同型です。

一方、次は準同型ではありません。

• $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$、$f(n) = n + 1$。$f(0) = 1 \ne 0$ となり Proposition 3.3 の (1) に反します。
• $f \colon G \to G$、$f(x) = x^2$（$G$ が非可換のとき）。$f(xy) = xyxy$ に対し $f(x)f(y) = xxyy$ であり、これらが常に等しいことは $xy = yx$ と同値です。たとえば $G = S_3$、$x = (1\,2)$、$y = (1\,3)$ とします（置換の積は右の置換から順に作用させる合成とします）。$xy$ は $1 \mapsto 3$、$3 \mapsto 2$、$2 \mapsto 1$ なので $xy = (1\,3\,2)$ であり、$f(xy) = (1\,3\,2)^2 = (1\,2\,3)$ です。一方 $x^2 = y^2 = e$ なので $f(x)f(y) = e \cdot e = e$ となり、両者は一致しません。
• $f \colon \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ で $f(\bar1) = \bar1$ とするもの。そもそも矛盾なく定まりません。$\bar1 + \bar1 = \bar0$ から $f(\bar0) = \bar1 + \bar1 = \bar2 \ne \bar0$ となり、(1) に反します。

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4. 核と像

Definition 4.1（核と像）

$f \colon G \to H$ を群準同型とします。

$$\operatorname{Ker} f = \{x \in G : f(x) = e_H\} = f^{-1}(\{e_H\}), \qquad \operatorname{Im} f = f(G) = \{f(x) : x \in G\}$$

をそれぞれ $f$ の核（kernel）、像（image）といいます。

核は「$f$ によって単位元に潰される元の全体」、像は「$f$ の値として実際に現れる元の全体」です。核は $G$ の側、像は $H$ の側にあることに注意してください。

Proposition 4.2（核と像の基本性質）

$f \colon G \to H$ を群準同型とします。

1. $\operatorname{Im} f \le H$。
2. $\operatorname{Ker} f \trianglelefteq G$。
3. 逆に、$N \trianglelefteq G$ ならば標準全射 $\pi \colon G \to G/N$ は全射準同型であり $\operatorname{Ker} \pi = N$ である。

したがって、$G$ の部分群 $N$ について「$N$ がある群準同型の核である」ことと「$N \trianglelefteq G$」であることは同値です。

Proof（Proposition 4.2）

(1) Proposition 3.3 の (5) で $K = G$ とすればよく、$\operatorname{Im} f = f(G) \le H$ です。

(2) 直接確かめます。まず部分群であること。Proposition 3.3 の (1) から $f(e_G) = e_H$ なので $e_G \in \operatorname{Ker} f$ となり空ではありません。$x, y \in \operatorname{Ker} f$ とすると、Proposition 3.3 の (2) と準同型性から

$$f(xy^{-1}) = f(x)f(y)^{-1} = e_H e_H^{-1} = e_H$$

なので $xy^{-1} \in \operatorname{Ker} f$ です。判定法より $\operatorname{Ker} f \le G$ です。次に正規性。$g \in G$、$x \in \operatorname{Ker} f$ に対して

$$f(gxg^{-1}) = f(g)f(x)f(g)^{-1} = f(g)\,e_H\,f(g)^{-1} = f(g)f(g)^{-1} = e_H$$

なので $gxg^{-1} \in \operatorname{Ker} f$、つまり $g(\operatorname{Ker} f)g^{-1} \subseteq \operatorname{Ker} f$ がすべての $g \in G$ で成り立ちます。この包含を $g$ の代わりに $g^{-1}$ に適用すると $g^{-1}(\operatorname{Ker} f)g \subseteq \operatorname{Ker} f$ となり、両辺を左から $g$、右から $g^{-1}$ で挟むと $\operatorname{Ker} f \subseteq g(\operatorname{Ker} f)g^{-1}$ を得ます。二つの包含から $g(\operatorname{Ker} f)g^{-1} = \operatorname{Ker} f$、すなわち $\operatorname{Ker} f \trianglelefteq G$ です。（Proposition 3.3 の (5) で $L = \{e_H\} \trianglelefteq H$ とした特別な場合でもあります。）

(3) 準同型性は商群の積の定義そのものです。$\pi(xy) = xyN = (xN)(yN) = \pi(x)\pi(y)$。全射性は、$G/N$ の任意の元が定義により $gN$（$g \in G$）の形であり、これが $\pi(g)$ に等しいことから従います。核については、$G/N$ の単位元が $eN = N$ であることに注意すると

$$x \in \operatorname{Ker}\pi \iff xN = N \iff x^{-1}e \in N \iff x \in N$$

です（二つめの同値は準備 2 節の左剰余類の性質 $xN = yN \iff x^{-1}y \in N$ を $y = e$ に適用したもの）。よって $\operatorname{Ker}\pi = N$ です。

最後の主張は、(2) が「核ならば正規」を、(3) が「正規ならば（$\pi$ の）核」を与えることから従います。

∎

(3) は見かけよりも重要です。正規部分群は、商群を作るために便宜的に導入された条件のように見えますが、実際には「準同型の核になれる部分群」という内在的な特徴づけを持っていた、ということだからです。この視点は環のイデアル（イデアルと剰余環）やベクトル空間の部分空間でもそのまま繰り返されます。

4.1. ファイバーは核の剰余類である

準同型定理の証明は、次の補題にほとんど尽きています。これは「$f$ が同じ値を取る元の集まり（ファイバー）は、核の左剰余類にほかならない」と述べています。

Lemma 4.3（ファイバーは核の左剰余類）

$f \colon G \to H$ を群準同型、$N = \operatorname{Ker} f$ とおきます。$x, y \in G$ に対して次の三つは同値です。

1. $f(x) = f(y)$
2. $x^{-1}y \in N$
3. $xN = yN$

さらに $h \in \operatorname{Im} f$ と $f(x) = h$ なる $x$ に対して、$f^{-1}(\{h\}) = xN$ が成り立ちます。

Proof（Lemma 4.3）

(1) $\Rightarrow$ (2)：$f(x) = f(y)$ とします。Proposition 3.3 の (2) と準同型性から $f(x^{-1}y) = f(x)^{-1}f(y) = f(x)^{-1}f(x) = e_H$ なので $x^{-1}y \in \operatorname{Ker} f = N$ です。

(2) $\Rightarrow$ (1)：$x^{-1}y \in N$ とすると $e_H = f(x^{-1}y) = f(x)^{-1}f(y)$ です。両辺に左から $f(x)$ を掛けると $f(x) = f(y)$ を得ます。

(2) $\Leftrightarrow$ (3)：これは準備 2 節に挙げた左剰余類の性質 $xN = yN \iff x^{-1}y \in N$ そのものです。念のため両向きを書いておきます。$x^{-1}y = n \in N$ なら $y = xn$ であり、$N$ が部分群なので $nN = N$、したがって $yN = xnN = xN$ です。逆に $xN = yN$ なら $y = ye \in yN = xN$ より $y = xn$ となる $n \in N$ が存在し、$x^{-1}y = n \in N$ です。

最後の主張：$f(x) = h$ とします。任意の $y \in G$ について

$$y \in f^{-1}(\{h\}) \iff f(y) = h = f(x) \iff xN = yN$$

であり（二つめは (1) $\Leftrightarrow$ (3)）、$xN = yN$ かつ $y \in yN$ から $y \in xN$ が従います。逆に $y \in xN$ なら $y = xn$ から $yN = xnN = xN$ となり (3) が成り立ちます。よって $f^{-1}(\{h\}) = xN$ です。

∎

この補題を絵にすると次のようになります。$G$ は核の左剰余類たちに分割され、各剰余類まるごとが $\operatorname{Im} f$ のただ 1 点に潰れます。しかも異なる剰余類は異なる点に行きます（Lemma 4.3 の (1) $\Leftrightarrow$ (3) の対偶）。

核の左剰余類による G の分割と、像の点との一対一対応。各帯（剰余類）はちょうど 1 点に潰れ、異なる帯は異なる点に行く。帯の大きさはどれも |Ker f| に等しい。

4.2. 単射性は単位元だけで判定できる

Proposition 4.4（単射性の判定）

群準同型 $f \colon G \to H$ について、$f$ が単射であることと $\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$ であることは同値です。

Proof（Proposition 4.4）

($\Rightarrow$) $f$ を単射とします。$x \in \operatorname{Ker} f$ なら $f(x) = e_H = f(e_G)$（後半の等号は Proposition 3.3 の (1)）なので、単射性から $x = e_G$ です。逆に $e_G \in \operatorname{Ker} f$ は同じ (1) から言えるので、$\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$ です。

($\Leftarrow$) $\operatorname{Ker} f = \{e_G\}$ とします。$f(x) = f(y)$ とすると Lemma 4.3 の (1) $\Rightarrow$ (2) から $x^{-1}y \in \operatorname{Ker} f = \{e_G\}$、すなわち $x^{-1}y = e_G$ となり $y = x$ です。よって $f$ は単射です。

∎

線形代数で「線形写像が単射であることと核が $\{\boldsymbol{0}\}$ であることは同値」と習った命題（ベクトル空間と線形変換 の Proposition 7.2［Vector Spaces and Linear Maps］）は、この命題を加法群に適用したものです。一般の写像では単射性は「すべての点対」を調べる条件ですが、群準同型では単位元の 1 点だけを調べれば済む、というのがここでの利得です。

Remark 4.5

$G$ が有限群のとき、Lemma 4.3 から、空でないファイバー $f^{-1}(\{h\})$ はすべて核の左剰余類であり、準備 2 節の性質から $|f^{-1}(\{h\})| = |\operatorname{Ker} f|$ です。つまり $f$ は「どの点の上でも同じ枚数だけ重なる被覆」のようにふるまいます。核が大きいほど大量の情報が潰れ、核が自明なら何も潰れない（単射）、というわけです。

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5. 準同型定理

準備は整いました。Lemma 4.3 は「$\operatorname{Im} f$ の点」と「$\operatorname{Ker} f$ の左剰余類」が一対一に対応することを言っています。ところで左剰余類の集合は、核が正規部分群である（Proposition 4.2 の (2)）おかげで、それ自身が群 $G/\operatorname{Ker} f$ になっていました。ならばこの一対一対応は、単なる集合の全単射ではなく群の同型になっているはずです。それが準同型定理です。

Theorem 5.1（準同型定理（第一同型定理））

$G$、$H$ を群、$f \colon G \to H$ を群準同型とし、$N = \operatorname{Ker} f$ とおきます。このとき $N \trianglelefteq G$ であって商群 $G/N$ が定義され、写像

$$\bar{f} \colon G/N \longrightarrow \operatorname{Im} f, \qquad \bar{f}(xN) = f(x)$$

は代表元の取り方によらずに定まり、群同型写像となります。すなわち

$$G/\operatorname{Ker} f \;\cong\; \operatorname{Im} f .$$

さらに $\pi \colon G \to G/N$ を標準全射、$\iota \colon \operatorname{Im} f \hookrightarrow H$ を包含写像とすると、$f = \iota \circ \bar{f} \circ \pi$ が成り立ちます。特に $f$ が全射ならば $G/\operatorname{Ker} f \cong H$ です。

Proof（Theorem 5.1）

Step 0（対象が定義されること）：$N = \operatorname{Ker} f \trianglelefteq G$ は Proposition 4.2 の (2) です。よって商群 $G/N$ が定義できます。また $\operatorname{Im} f \le H$ は同命題の (1) なので、$\operatorname{Im} f$ は $H$ の演算で群になります。$\bar{f}$ の行き先を $H$ ではなく $\operatorname{Im} f$ に取っているのは、全射にするためです。

Step 1（well-defined であること）：$G/N$ の元 $c$ を一つ取ると、$c = xN$ と書く書き方は一般に複数あります。$\bar{f}$ が写像として定まるには、$xN = yN$ ならば $f(x) = f(y)$ でなければなりません。これはまさに Lemma 4.3 の (3) $\Rightarrow$ (1) です。よって $\bar{f}(c)$ は代表元の選び方によらず一意に定まります。また値は $f(x) \in \operatorname{Im} f$ なので、行き先も正しく取れています。

Step 2（準同型であること）：$xN, yN \in G/N$ に対して、

$$\bar{f}\bigl((xN)(yN)\bigr) = \bar{f}(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xN)\,\bar{f}(yN)$$

です。最初の等号は商群の積の定義（準備 2 節の 4）、二つめと四つめは $\bar{f}$ の定義、三つめは $f$ が準同型であること（Definition 3.1）です。

Step 3（全射であること）：$\operatorname{Im} f$ の任意の元は、定義より $f(x)$（$x \in G$）の形に書けます。そして $f(x) = \bar{f}(xN)$ なので、$xN \in G/N$ がその原像になります。

Step 4（単射であること）：Step 2 より $\bar{f}$ は群準同型なので、Proposition 4.4 を使えば $\operatorname{Ker}\bar{f}$ が自明であることを示せば十分です。$G/N$ の単位元は $N = eN$ です。$xN \in \operatorname{Ker}\bar{f}$ とすると $f(x) = \bar{f}(xN) = e_H$、つまり $x \in \operatorname{Ker} f = N$ であり、このとき $xN = N$（準備 2 節の左剰余類の性質）となって $xN$ は単位元です。逆に単位元 $N = eN$ は $\bar{f}(eN) = f(e) = e_H$（Proposition 3.3 の (1)）より核に属します。よって $\operatorname{Ker}\bar{f} = \{N\}$ は自明群であり、$\bar{f}$ は単射です。

Step 5（分解）：$x \in G$ に対して $(\iota \circ \bar{f} \circ \pi)(x) = \iota\bigl(\bar{f}(xN)\bigr) = \iota\bigl(f(x)\bigr) = f(x)$ なので $f = \iota \circ \bar{f} \circ \pi$ です。

Step 1 から Step 4 により $\bar{f}$ は全単射な準同型、すなわち同型写像（Definition 3.2）であり、$G/\operatorname{Ker} f \cong \operatorname{Im} f$ が示されました。$f$ が全射のときは $\operatorname{Im} f = H$ なので $G/\operatorname{Ker} f \cong H$ です。

∎

flowchart LR
G["G"] -->|"f"| H["H"]
G -->|"π 標準全射"| Q["G / Ker f"]
Q -->|"誘導写像 同型"| I["Im f"]
I -->|"包含 ι"| H

準同型定理の可換図式。任意の群準同型 f は「核で潰す（全射 π）」「同型で読み替える」「像を H に埋め込む（単射 ι）」の 3 段に分解される。真ん中の段が同型であることが定理の内容。

この図式の読み方を一言で書いておきます。あらゆる群準同型は、全射と同型と単射の合成に一意に分解される、というのが準同型定理の内容です。全射の部分（潰す操作）は核だけで決まり、単射の部分（埋め込む操作）は像だけで決まります。その間に挟まっているものは、同型を除いて何もありません。準同型という一般の写像を調べる問題が、「核」と「像」という二つの部分群を調べる問題に還元される、と言い換えてもよいでしょう。

Corollary 5.2（位数の分解）

$G$ を有限群、$f \colon G \to H$ を群準同型とします。このとき

$$|G| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f|$$

が成り立ちます。特に $|\operatorname{Im} f|$ は $|G|$ の約数です。さらに $H$ も有限群ならば、$|\operatorname{Im} f|$ は $|H|$ の約数でもあります。

Proof（Corollary 5.2）

$N = \operatorname{Ker} f$ とおきます。Theorem 5.1 より $G/N \cong \operatorname{Im} f$ であり、同型写像は特に全単射なので $|G/N| = |\operatorname{Im} f|$ です。一方 $N \le G$ とラグランジュの定理（準備 2 節の 6）から $|G/N| = |G|/|N|$ なので、

$$|G| = |N| \cdot |G/N| = |\operatorname{Ker} f| \cdot |\operatorname{Im} f|$$

です。この等式から $|\operatorname{Im} f|$ が $|G|$ を割ることが従います。また $\operatorname{Im} f \le H$（Proposition 4.2 の (1)）なので、$H$ が有限ならふたたびラグランジュの定理から $|\operatorname{Im} f|$ は $|H|$ を割ります。

∎

Remark 5.3

実用上、準同型定理は次の「レシピ」として使われます。商群 $G/N$ の正体を知りたいとします。

1. よく知っている群 $H$ と、準同型 $f \colon G \to H$ を見つける。
2. $\operatorname{Ker} f = N$ を確かめる。
3. $\operatorname{Im} f$ を決定する（多くの場合、全射であることを示す）。
4. 結論：$G/N \cong \operatorname{Im} f$。

剰余類を書き下したり、代表元ごとの積を計算したりする必要はまったくありません。次の節でこのレシピを 4 回使います。

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6. 応用：準同型定理で群を同定する

Example 6.1（巡回群の分類）

$G = \langle a \rangle$ を $a$ で生成される巡回群とします。写像 $f \colon \mathbb{Z} \to G$ を $f(n) = a^n$ で定めます。指数法則 $a^{m+n} = a^m a^n$ より $f$ は加法群 $\mathbb{Z}$ から $G$ への準同型で、$G$ の元はすべて $a^n$ の形なので $f$ は全射、つまり $\operatorname{Im} f = G$ です。

核 $\operatorname{Ker} f$ は $\mathbb{Z}$ の部分群です（Proposition 4.2 の (2)）。$\mathbb{Z}$ の部分群 $M$ は必ず $m\mathbb{Z}$ の形になります。実際、$M = \{0\}$ なら $m = 0$ とすればよく、$M \ne \{0\}$ なら $M$ は正の元を含む（$x \in M$、$x \ne 0$ なら $-x \in M$ でもある）ので最小の正の元 $m$ が取れ、任意の $n \in M$ を $n = qm + r$（$0 \le r < m$）と割ると $r = n - qm \in M$ となり、$m$ の最小性から $r = 0$、すなわち $n \in m\mathbb{Z}$ です。逆の包含 $m\mathbb{Z} \subseteq M$ は、$m \in M$ と $M$ が部分群であることから、任意の $q \in \mathbb{Z}$ について $qm \in M$ となることによります。以上で $M = m\mathbb{Z}$ を得ます。

そこで $\operatorname{Ker} f = m\mathbb{Z}$（$m \ge 0$）と書けば、Theorem 5.1 より

$$G \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$$

です。$m = 0$ のときは $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ なので $G \cong \mathbb{Z}$（無限巡回群）、$m \ge 1$ のときは $|G| = m$ です。結論として、巡回群は $\mathbb{Z}$ か $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ のいずれかに同型であり、特に位数 $n$ の巡回群は同型を除いてただ一つに定まります。「同型を除く分類」の最初の例です。

Example 6.2（一般線形群を特殊線形群で割ると何になるか）

$K$ を体、$n \ge 1$ とし、$GL_n(K)$ を $K$ 成分の $n$ 次正則行列のなす群、$K^{\times} = K \setminus \{0\}$ を $K$ の乗法群とします。行列式は積を保つので

$$\det \colon GL_n(K) \to K^{\times}, \qquad \det(AB) = \det A \cdot \det B$$

は群準同型です（行列式とその性質 の Theorem 6.1［Determinants and Their Properties］）。

• 核：$\operatorname{Ker}(\det) = \{A \in GL_n(K) : \det A = 1\} = SL_n(K)$。これは特殊線形群の定義そのものです。同時に、Proposition 4.2 の (2) から $SL_n(K) \trianglelefteq GL_n(K)$ が無料で従います。正規性を共役の計算で直接示す必要はありません。
• 像：任意の $a \in K^{\times}$ に対して対角行列 $D_a = \operatorname{diag}(a, 1, \ldots, 1)$ は正則で $\det D_a = a$ なので、$\det$ は全射です。よって $\operatorname{Im}(\det) = K^{\times}$。

Theorem 5.1 より

$$GL_n(K)/SL_n(K) \cong K^{\times}.$$

$K = \mathbb{R}$ なら右辺は $\mathbb{R}^{\times}$ で、「行列を、その行列式という 1 個のスカラーに要約したもの」が商群の正体だと分かります。

数値でも確かめておきます。$K = \mathbb{F}_3$（$3$ 元体）、$n = 2$ とすると

$$|GL_2(\mathbb{F}_3)| = (3^2 - 1)(3^2 - 3) = 8 \cdot 6 = 48$$

（第 1 列は零ベクトル以外の $8$ 通り、第 2 列は第 1 列の張る $1$ 次元部分空間の $3$ 個のベクトル以外の $9 - 3 = 6$ 通り）。$|\mathbb{F}_3^{\times}| = 2$ なので、Corollary 5.2 から

$$|SL_2(\mathbb{F}_3)| = \frac{|GL_2(\mathbb{F}_3)|}{|\mathbb{F}_3^{\times}|} = \frac{48}{2} = 24$$

です。$24$ 個の行列を数え上げることなく位数が決まりました。

Example 6.3（交代群の指数は 2 である）

$n \ge 2$ とし、$S_n$ を $n$ 次対称群、$\operatorname{sgn} \colon S_n \to \{\pm 1\}$ を置換の符号とします。$\{\pm 1\}$ は乗法について位数 $2$ の群で、$\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$ なので $\operatorname{sgn}$ は準同型です。

• 核：定義により $\operatorname{Ker}(\operatorname{sgn}) = A_n$（偶置換全体、交代群）。したがって $A_n \trianglelefteq S_n$ です。
• 像：$n \ge 2$ なら互換 $(1\,2) \in S_n$ が存在し $\operatorname{sgn}((1\,2)) = -1$、また $\operatorname{sgn}(e) = 1$ なので $\operatorname{Im}(\operatorname{sgn}) = \{\pm 1\}$、すなわち全射です。

Theorem 5.1 より $S_n/A_n \cong \{\pm 1\} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ となり、Corollary 5.2 から

$$|A_n| = \frac{|S_n|}{|\{\pm 1\}|} = \frac{n!}{2}$$

です。たとえば $n = 4$ なら $|A_4| = 24/2 = 12$。偶置換と奇置換がちょうど半々である、という事実の証明がこれです。

Example 6.4（実数直線を整数で割ると円になる）

$U = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ を複素平面の単位円周とします。$U$ は複素数の乗法について群です。写像

$$f \colon (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^{\times}, \times), \qquad f(t) = e^{2\pi i t}$$

を考えます。指数法則 $e^{2\pi i (s+t)} = e^{2\pi i s} e^{2\pi i t}$ より $f$ は準同型です。

• 像：$|f(t)| = 1$ なので $\operatorname{Im} f \subseteq U$。逆に $z \in U$ は極形式で $z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$（$0 \le \theta < 2\pi$）と書けるので、$t = \theta/(2\pi)$ とすれば $f(t) = z$ です。よって $\operatorname{Im} f = U$。
• 核：$e^{2\pi i t} = 1$ は $\cos 2\pi t = 1$ かつ $\sin 2\pi t = 0$ と同値で、これは $2\pi t \in 2\pi\mathbb{Z}$、すなわち $t \in \mathbb{Z}$ と同値です。よって $\operatorname{Ker} f = \mathbb{Z}$。

Theorem 5.1 より

$$\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong U .$$

「実数から整数部分を忘れた世界」は円である、という直観がこれで正当化されます。$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の元 $t + \mathbb{Z}$ は小数部分だけで決まり、それが円周上の角度に対応するわけです。同じ計算を $f(t) = e^{it}$ で行えば $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong U$ となり、周期 $2\pi$ の周期関数の話とつながります。

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7. 普遍性と第三同型定理

Theorem 5.1 の $\bar{f}$ は「$f$ が $G/N$ の上に降りてきたもの」と読めます。この「降ろす」操作は、$N$ が核ちょうどでなくても、$N$ が核に含まれてさえいれば実行できます。これが商群の普遍性です。

Theorem 7.1（準同型の分解定理（商群の普遍性））

$G$、$H$ を群、$f \colon G \to H$ を群準同型、$N \trianglelefteq G$ とし、$\pi \colon G \to G/N$ を標準全射とします。このとき次の二つは同値です。

1. $N \subseteq \operatorname{Ker} f$。
2. $f = \bar{f} \circ \pi$ を満たす群準同型 $\bar{f} \colon G/N \to H$ が存在する。

さらにこのとき $\bar{f}$ は一意に定まり、$\bar{f}(xN) = f(x)$ で与えられ、

$$\operatorname{Im}\bar{f} = \operatorname{Im} f, \qquad \operatorname{Ker}\bar{f} = (\operatorname{Ker} f)/N$$

が成り立ちます。ここで $(\operatorname{Ker} f)/N$ は、$N \trianglelefteq \operatorname{Ker} f$ による商群を $G/N$ の部分群とみなしたものです。

Proof（Theorem 7.1）

(2) $\Rightarrow$ (1)：$f = \bar{f} \circ \pi$ とします。$n \in N$ に対し $\pi(n) = nN = N$ は $G/N$ の単位元なので、Proposition 3.3 の (1) を $\bar{f}$ に適用して $f(n) = \bar{f}(\pi(n)) = \bar{f}(N) = e_H$ を得ます。よって $n \in \operatorname{Ker} f$、すなわち $N \subseteq \operatorname{Ker} f$ です。

(1) $\Rightarrow$ (2)：$N \subseteq \operatorname{Ker} f$ を仮定し、$\bar{f}(xN) = f(x)$ と定めます。well-defined であること：$xN = yN$ とすると準備 2 節の性質から $x^{-1}y \in N \subseteq \operatorname{Ker} f$ であり、Lemma 4.3 の (2) $\Rightarrow$ (1) から $f(x) = f(y)$ です。準同型であること：Theorem 5.1 の Step 2 とまったく同じ計算で $\bar{f}((xN)(yN)) = \bar{f}(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = \bar{f}(xN)\bar{f}(yN)$ となります。$f = \bar{f}\circ\pi$ は $\bar{f}(\pi(x)) = \bar{f}(xN) = f(x)$ から従います。

一意性：$g \colon G/N \to H$ が $f = g \circ \pi$ を満たすとします。$G/N$ の任意の元は $\pi$ の全射性（Proposition 4.2 の (3)）から $\pi(x) = xN$ の形なので、$g(xN) = g(\pi(x)) = f(x) = \bar{f}(xN)$ となり $g = \bar{f}$ です。

像：$\operatorname{Im}\bar{f} = \{\bar{f}(xN) : x \in G\} = \{f(x) : x \in G\} = \operatorname{Im} f$。

核：$N \trianglelefteq G$ かつ $N \subseteq \operatorname{Ker} f \le G$ なので、$N$ は部分群 $\operatorname{Ker} f$ の中でも正規です（$g \in \operatorname{Ker} f \subseteq G$ に対して $gNg^{-1} = N$ が成り立つから）。よって商群 $(\operatorname{Ker} f)/N$ が定義でき、その元は $x \in \operatorname{Ker} f$ による剰余類 $xN$ たちなので $G/N$ の部分集合です。そして

$$xN \in \operatorname{Ker}\bar{f} \iff f(x) = e_H \iff x \in \operatorname{Ker} f \iff xN \in (\operatorname{Ker} f)/N$$

です。最後の同値の右向きは定義そのものです。左向きは、$xN = yN$ なる $y \in \operatorname{Ker} f$ が取れたとすると $x^{-1}y \in N$、したがって $y^{-1}x = (x^{-1}y)^{-1} \in N \subseteq \operatorname{Ker} f$ となり、$x = y(y^{-1}x)$ は $\operatorname{Ker} f$ の二元の積なので $x \in \operatorname{Ker} f$、というように従います。

∎

Corollary 7.2（第三同型定理）

$G$ を群、$N$ と $K$ を $G$ の正規部分群で $N \subseteq K$ を満たすものとします。このとき $K/N$ は $G/N$ の正規部分群であり、

$$(G/N)\big/(K/N) \;\cong\; G/K$$

が成り立ちます。

Proof（Corollary 7.2）

$\pi_K \colon G \to G/K$ を標準全射とします。Proposition 4.2 の (3) より $\pi_K$ は全射準同型で $\operatorname{Ker}\pi_K = K$ です。仮定 $N \subseteq K = \operatorname{Ker}\pi_K$ と $N \trianglelefteq G$ から、Theorem 7.1 が適用でき、群準同型

$$\overline{\pi_K} \colon G/N \to G/K, \qquad \overline{\pi_K}(xN) = xK$$

が得られます。同定理の後半から

$$\operatorname{Im}\overline{\pi_K} = \operatorname{Im}\pi_K = G/K, \qquad \operatorname{Ker}\overline{\pi_K} = (\operatorname{Ker}\pi_K)/N = K/N$$

です。特に $K/N$ は準同型 $\overline{\pi_K}$ の核なので、Proposition 4.2 の (2) より $K/N \trianglelefteq G/N$ です。あとは Theorem 5.1 を $\overline{\pi_K}$ に適用すれば

$$(G/N)\big/(K/N) = (G/N)\big/\operatorname{Ker}\overline{\pi_K} \cong \operatorname{Im}\overline{\pi_K} = G/K$$

となり、主張が示されました。

∎

Remark 7.3

第三同型定理は「約分の規則」と覚えると使いやすいです。分母 $N$ で先に割ってからさらに $K/N$ で割ることと、はじめから $K$ で割ることが同じ、というわけです。

具体例で確かめます。$G = \mathbb{Z}$、$N = 12\mathbb{Z}$、$K = 4\mathbb{Z}$ とすると $12\mathbb{Z} \subseteq 4\mathbb{Z}$（$12 = 4 \cdot 3$）で、$\mathbb{Z}$ は可換群なのでどちらも正規です。定理より

$$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})\big/(4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$

です。左辺を直接数えてみます。$4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の中の $\{\bar0, \bar4, \bar8\}$ で位数 $3$、よって商の位数は $12/3 = 4$ となり、右辺の位数 $4$ と一致します。しかも $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は巡回群なのでその商も巡回群であり、Example 6.1 から位数 $4$ の巡回群は $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ただ一つですから、同型であることが独立に確認できます。

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8. 演習

Exercise 8.1易

$G$、$H$ を有限群とし、$|G| = m$、$|H| = n$、$\gcd(m, n) = 1$ とします。このとき群準同型 $f \colon G \to H$ は自明写像（すべての $g$ を $e_H$ に写す写像）に限ることを示してください。また、この結果を使って $S_3$ から $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ への準同型をすべて求めてください。

Solution

$f \colon G \to H$ を群準同型とし、$d = |\operatorname{Im} f|$ とおきます。Corollary 5.2 より $d$ は $|G| = m$ の約数です。一方 $\operatorname{Im} f \le H$（Proposition 4.2 の (1)）なので、ラグランジュの定理から $d$ は $|H| = n$ の約数でもあります。よって $d$ は $m$ と $n$ の公約数であり、$d \mid \gcd(m,n) = 1$ から $d = 1$ です。位数 $1$ の部分群は単位元のみからなるので $\operatorname{Im} f = \{e_H\}$、すなわちすべての $g \in G$ で $f(g) = e_H$ です。

$G = S_3$、$H = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ の場合、$|S_3| = 6$、$|\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}| = 5$ で $\gcd(6,5) = 1$ なので、準同型は自明写像 $f(\sigma) = \bar0$ ただ一つです。

Exercise 8.2標準

$m, n$ を正整数とします。群準同型 $f \colon \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の個数はちょうど $\gcd(m,n)$ 個であることを示してください。$m = 4$、$n = 6$ の場合にすべて書き下してください。

Solution

$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ は $\bar1$ で生成される巡回群なので、準同型 $f$ は $f(\bar1)$ の値だけで決まります。実際 Proposition 3.3 の (3)（加法群なので $f(k\bar1) = k f(\bar1)$）から $f(\bar k) = k\,f(\bar1)$ です。そこで $f(\bar1) = \bar a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ とおきます。

逆に $a$ を勝手に決めて $f(\bar k) = \overline{ka}$ と定めたとき、これが写像として矛盾なく定まる条件を求めます。$\bar k = \bar{k'}$（$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ で）とは $m \mid k - k'$ ということなので、$\overline{ka} = \overline{k'a}$ が必要十分になるのは「$m \mid k-k' \implies n \mid (k-k')a$」、すなわち $n \mid ma$ のときです（$k - k' = m$ の場合が最も強い条件で、逆にこれが成り立てば $k-k' = qm$ に対し $(k-k')a = q(ma)$ も $n$ で割り切れます）。これは Theorem 7.1 を $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$k \mapsto \overline{ka}$ と $N = m\mathbb{Z}$ に適用した条件「$m\mathbb{Z} \subseteq \operatorname{Ker}$」と同じことです。

$d = \gcd(m,n)$ とおき、$m = d m'$、$n = d n'$（$\gcd(m',n') = 1$）と書きます。

$$n \mid ma \iff d n' \mid d m' a \iff n' \mid m'a \iff n' \mid a$$

です。最後の同値は $\gcd(m', n') = 1$ とユークリッドの補題によります。$0 \le a < n = dn'$ の範囲で $n'$ の倍数は $a = 0, n', 2n', \ldots, (d-1)n'$ のちょうど $d$ 個です。よって準同型は $\gcd(m,n)$ 個あります。

$m = 4$、$n = 6$ のときは $d = \gcd(4,6) = 2$、$n' = 6/2 = 3$ なので $a \in \{0, 3\}$ の $2$ 個です。すなわち

• $f_0(\bar k) = \bar0$（自明写像）
• $f_1(\bar k) = \overline{3k}$、つまり $\bar0 \mapsto \bar0$、$\bar1 \mapsto \bar3$、$\bar2 \mapsto \bar0$、$\bar3 \mapsto \bar3$

の 2 つです。検算として $f_1$ の整合性を見ると、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で $\bar4 = \bar0$ に対し $\overline{3 \cdot 4} = \overline{12} = \bar0$（$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ で）となり矛盾しません。なお $\operatorname{Ker} f_1 = \{\bar0, \bar2\}$、$\operatorname{Im} f_1 = \{\bar0,\bar3\}$ で、Corollary 5.2 の $4 = 2 \cdot 2$ も成り立っています。

Exercise 8.3標準

群 $G$ に対し、$g \in G$ による共役写像を $c_g(x) = gxg^{-1}$ とし、$Z(G) = \{g \in G : \forall x \in G,\ gx = xg\}$ を $G$ の中心、$\operatorname{Inn}(G) = \{c_g : g \in G\}$ を内部自己同型全体とします。

1. $\Phi \colon G \to \operatorname{Aut}(G)$、$\Phi(g) = c_g$ が群準同型であることを示してください。
2. $\operatorname{Ker}\Phi = Z(G)$ を示し、$G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)$ を導いてください。
3. $G/Z(G)$ が巡回群ならば $G$ は可換群であることを示してください。

Solution

(1) 各 $c_g$ が自己同型であることは Example 3.4 で確かめました。$\operatorname{Aut}(G)$ の演算は写像の合成です。任意の $x \in G$ に対して

$$c_{gh}(x) = (gh)x(gh)^{-1} = g\,(hxh^{-1})\,g^{-1} = c_g\bigl(c_h(x)\bigr) = (c_g \circ c_h)(x)$$

なので $\Phi(gh) = c_{gh} = c_g \circ c_h = \Phi(g)\Phi(h)$ であり、$\Phi$ は準同型です。二つめの等号では $(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$ を使いました。

(2) $\operatorname{Aut}(G)$ の単位元は恒等写像 $\operatorname{id}_G$ です。

$$g \in \operatorname{Ker}\Phi \iff c_g = \operatorname{id}_G \iff \forall x \in G,\ gxg^{-1} = x \iff \forall x \in G,\ gx = xg \iff g \in Z(G)$$

（三つめの同値は両辺に右から $g$ を掛ける操作で行き来できます）。よって $\operatorname{Ker}\Phi = Z(G)$ です。また像は定義により $\operatorname{Im}\Phi = \{c_g : g \in G\} = \operatorname{Inn}(G)$ なので、Theorem 5.1 から

$$G/Z(G) \cong \operatorname{Inn}(G)$$

です。ついでに Proposition 4.2 の (2) から $Z(G) \trianglelefteq G$、(1) から $\operatorname{Inn}(G) \le \operatorname{Aut}(G)$ も従います。

(3) $Z = Z(G)$ と略記し、$G/Z = \langle gZ \rangle$ が巡回群だとします。任意の $x \in G$ に対して $xZ \in G/Z$ はある整数 $i$ で $xZ = (gZ)^i = g^i Z$ と書けるので、準備 2 節の剰余類の性質から $x = g^i z$ となる $z \in Z$ が存在します。同様に $y \in G$ を $y = g^j w$（$w \in Z$）と書きます。$z, w$ は中心の元なので $G$ のすべての元と交換し、特に $g$ とも互いとも交換します。したがって

$$xy = g^i z\, g^j w = g^i g^j z w = g^{i+j} zw, \qquad yx = g^j w\, g^i z = g^j g^i w z = g^{i+j} zw$$

となり $xy = yx$ です。$x, y$ は任意だったので $G$ は可換群です。

（この結果の対偶として、$G$ が非可換なら $G/Z(G)$ は巡回群になりえません。たとえば $|G| = p^2$（$p$ は素数）の群が必ず可換であることの証明に使われます。）

Exercise 8.4難

$G$ を群、$H \le G$、$N \trianglelefteq G$ とし、$HN = \{hn : h \in H,\ n \in N\}$ とおきます。次を示してください（第二同型定理）。

1. $HN \le G$ であり、$N \trianglelefteq HN$。
2. $H \cap N \trianglelefteq H$。
3. $HN/N \cong H/(H \cap N)$。

Solution

(1) $e = ee \in HN$ なので空ではありません。$h_1n_1, h_2n_2 \in HN$ に対し、$n_3 = n_1 n_2^{-1} \in N$（$N \le G$）とおくと

$$(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1} = h_1 n_1 n_2^{-1} h_2^{-1} = h_1 n_3 h_2^{-1} = (h_1 h_2^{-1})\,\bigl(h_2 n_3 h_2^{-1}\bigr)$$

です。最後の変形は $h_1 n_3 h_2^{-1} = h_1 h_2^{-1} h_2 n_3 h_2^{-1}$ と $h_2^{-1}h_2 = e$ を挿入しただけです。$h_1h_2^{-1} \in H$ であり、$N \trianglelefteq G$ から $h_2 n_3 h_2^{-1} \in N$ なので、右辺は $HN$ に属します。判定法より $HN \le G$ です。次に $N \subseteq HN$（$n = en$ と書ける）で $N \le HN$ であり、$N$ は $G$ 全体で正規なのでその部分群 $HN$ の元による共役でも不変、すなわち $N \trianglelefteq HN$ です。

(2)(3) 一度に示します。包含写像 $H \hookrightarrow G$ と標準全射 $\pi \colon G \to G/N$ の合成

$$\varphi \colon H \to G/N, \qquad \varphi(h) = hN$$

を考えます。準同型の合成は準同型なので $\varphi$ は群準同型です（$\varphi(h_1h_2) = h_1h_2N = (h_1N)(h_2N) = \varphi(h_1)\varphi(h_2)$ と直接確かめてもかまいません）。

像：$\operatorname{Im}\varphi = \{hN : h \in H\}$ です。一方 $HN/N$（$HN$ を $N$ で割った商群、(1) によりこれは定義できます）の元は $hnN$（$h \in H$、$n \in N$）の形で、$nN = N$ より $hnN = hN$ です。よって集合として $\operatorname{Im}\varphi = HN/N$ であり、演算もどちらも $G/N$ から受け継いだものなので、群として一致します。

核：$G/N$ の単位元は $N$ なので

$$\operatorname{Ker}\varphi = \{h \in H : hN = N\} = \{h \in H : h \in N\} = H \cap N$$

です（二つめの等号は準備 2 節の $hN = N \iff h \in N$）。

Proposition 4.2 の (2) から $\operatorname{Ker}\varphi = H \cap N \trianglelefteq H$ となり (2) が示されました。そして Theorem 5.1 を $\varphi$ に適用して

$$H/(H \cap N) = H/\operatorname{Ker}\varphi \cong \operatorname{Im}\varphi = HN/N$$

となり (3) が示されました。

有限群の場合は位数を取ると $|HN| \cdot |H \cap N| = |H| \cdot |N|$ という積公式が得られます。実際 Corollary 5.2 と (3) から $|H|/|H\cap N| = |HN|/|N|$ だからです。

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参考文献

• 松坂和夫『代数系入門』岩波書店、1976 — 第 2 章「群」。準同型・核・像と同型定理を、日本語の入門書として最も丁寧に扱っています。
• 雪江明彦『代数学 1 群論入門』日本評論社、2010 — 群の準同型と同型定理の章。豊富な具体例が付いています。
• D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004 — Chapter 3 “Quotient Groups and Homomorphisms”。第一〜第四同型定理がまとめて扱われています。
• S. Lang, Algebra, revised 3rd ed., Springer GTM 211, 2002 — Chapter I “Groups”。普遍性（Theorem 7.1 の形）を前面に出した記述です。
• E. Noether, “Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern”, Mathematische Annalen 96 (1927) — 同型定理群が抽象的な形で整理された原典のひとつです。

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Appendix: 環と線形写像でも同じ定理が繰り返される

線形代数での姿。 $V$、$W$ を体 $K$ 上のベクトル空間、$T \colon V \to W$ を線形写像とします。$T$ は加法群としての準同型でもあるので、この記事の結果がそのまま使えます。核 $\operatorname{Ker} T$ は $V$ の部分空間、像 $\operatorname{Im} T$ は $W$ の部分空間で、商空間 $V/\operatorname{Ker} T$ を作れば

$$V/\operatorname{Ker} T \cong \operatorname{Im} T$$

が線形同型として成り立ちます。$V$ が有限次元なら両辺の次元を取り、$\dim(V/\operatorname{Ker} T) = \dim V - \dim \operatorname{Ker} T$ を使うと

$$\dim V = \dim \operatorname{Ker} T + \dim \operatorname{Im} T$$

すなわち階数・退化次数定理が出ます。線形代数で最初に習うこの定理は、準同型定理に「次元」という不変量を当てはめたものだったわけです。詳しくは ベクトル空間と線形変換 の Theorem 7.3［Vector Spaces and Linear Maps］ を参照してください。

環での姿。 $R$、$S$ を環、$\varphi \colon R \to S$ を環準同型とすると、$\operatorname{Ker}\varphi$ は $R$ のイデアルになり、$\operatorname{Im}\varphi$ は $S$ の部分環になって

$$R/\operatorname{Ker}\varphi \cong \operatorname{Im}\varphi$$

が成り立ちます（環の準同型定理（Theorem 5.1）［イデアルと剰余環］）。ここで正規部分群の役を果たすのがイデアルです。これは偶然ではなく、どちらも「商を作れる部分対象」＝「準同型の核になれる部分対象」という同じ役割を担っているからです（Proposition 4.2 の (3) が群でのその主張でした）。次章以降の 環と体の基礎 と イデアルと剰余環 で、この対応がそのまま繰り返されるのを確認してください。

共通の骨格。 群・環・加群・ベクトル空間・位相群のいずれでも、話の骨格は次の 3 点に集約されます。第一に、構造を保つ写像（準同型）を定める。第二に、「核になれる部分対象」を特徴づける（正規部分群／イデアル／部分空間）。第三に、核で割った商が像と同型であることを示す。この記事で Lemma 4.3 から Theorem 5.1 へ進んだ道筋は、どの代数系でもほとんど文字を置き換えるだけで再現できます。抽象代数を学ぶ利得のひとつは、この「一度証明すれば何度でも使える」構造にあります。