非可換トーラス A_θ：無理数回転がつくる「点のない空間」

0. この記事の要点

• 非可換トーラス（回転代数）$A_\theta$ は、2 つのユニタリ $U, V$ を $VU = e^{2\pi i\theta}UV$ という関係だけで縛って生成される普遍 C*-代数です。$\theta \in \mathbb{Z}$ のとき $C(\mathbb{T}^2)$ に一致し、それ以外では非可換になります。
• $A_\theta$ は交叉積 $C(\mathbb{T}) \rtimes_{\theta} \mathbb{Z}$ と同型で、通常の位相では潰れてしまう商空間（無理数回転の軌道空間、Kronecker 葉層の葉空間）の座標環として現れます。
• $\theta$ が無理数なら $A_\theta$ は単純であり、トレース状態はただ 1 つに限ります。これは「軌道が稠密である」という力学系の事実の、代数側での言い換えです。
• 微分 $\delta_1, \delta_2$ と滑らかな部分代数 $A_\theta^\infty$ が定まり、スペクトル次元 $2$ のスペクトル三つ組が構成できます。固有値の Weyl 漸近は可換トーラスと完全に一致し、$\theta$ に依りません。
• $K_0(A_\theta) \cong K_1(A_\theta) \cong \mathbb{Z}^2$ であり、トレースの像は $\tau_*(K_0(A_\theta)) = \mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$ です。トレース値がちょうど $\theta$ の射影（Powers–Rieffel 射影）を陽に構成します。
• 帰結として、無理数 $\theta, \theta'$ に対し $A_\theta \cong A_{\theta'}$ となるのは $\theta' \equiv \pm\theta \pmod{\mathbb{Z}}$ のときに限ること、および磁場中の電子のスペクトルギャップに $\mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$ のラベルが付くこと（ギャップラベル定理）が導かれます。

1. 動機：葉空間には点が足りない

ゲルファント–ナイマルクの定理（Theorem 4.6）［Motivating Noncommutative Geometry］ は、可換 C*-代数の圏と局所コンパクト Hausdorff 空間の圏が（射の向きを逆にして）同値であることを主張します。空間 $X$ からは関数環 $C(X)$ が、可換 C*-代数 $A$ からはその指標空間が得られ、両者は互いに逆の操作です。この辞書を出発点に「空間とは可換 C*-代数のことである」と定義し直し、可換性を外したものを空間と呼ぼう、というのが非可換幾何学の出発点でした（非可換幾何学への動機、C*-代数の基礎）。

この一般化が単なる言い換えでないことを示すには、「幾何学が実際に必要としているのに、可換な辞書に載らない空間」を挙げなければなりません。もっとも古典的な例が商空間です。

トーラス $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ に、傾き $\theta$ の直線の像を葉とする葉層構造 $\mathcal{F}_\theta$（Kronecker 葉層）を入れます。すなわち点 $(x, y)$ を通る葉は $\{(x + t,\, y + \theta t) : t \in \mathbb{R}\}$ の $\mathbb{T}^2$ における像です。葉空間 $\mathbb{T}^2/\mathcal{F}_\theta$、つまり「各葉を 1 点に潰した空間」を考えると、$\theta$ が無理数のとき次のことが起こります。

Proposition 1.1（葉空間の位相は密着位相）

$\theta$ を無理数とすると、$\mathbb{T}^2/\mathcal{F}_\theta$ の商位相の開集合は空集合と全体だけです。したがって連続関数 $\mathbb{T}^2/\mathcal{F}_\theta \to \mathbb{C}$ は定数関数に限り、$C(\mathbb{T}^2/\mathcal{F}_\theta) = \mathbb{C}$ となります。

Proof（Proposition 1.1）

Kronecker の稠密定理より、$\theta$ が無理数のとき各葉は $\mathbb{T}^2$ で稠密です。商位相の開集合は、$\mathbb{T}^2$ の飽和した（葉の合併である）開集合に対応します。$\Omega \subseteq \mathbb{T}^2$ を飽和した空でない開集合とし、$F = \mathbb{T}^2 \setminus \Omega$ とおきます。$F$ も飽和した閉集合です。もし $F \ne \emptyset$ なら $F$ はある葉 $L'$ を丸ごと含み、$F$ が閉であることから $\overline{L'} \subseteq F$、すなわち $\mathbb{T}^2 = \overline{L'} \subseteq F$ となって $\Omega = \emptyset$ に矛盾します。ゆえに $F = \emptyset$、つまり $\Omega = \mathbb{T}^2$ です。

密着位相の空間から Hausdorff 空間への連続写像は定数です。実際、$f$ が 2 つの異なる値 $a \ne b$ を取れば、$a, b$ を分離する開集合の逆像が空でも全体でもない開集合になり、上に矛盾します。

∎

つまり、可換な辞書に葉空間を通すと情報がすべて消えます。しかし葉層そのものは豊かな幾何学的対象で、たとえば「葉に沿った微分作用素の指数」を考えたいという要求は現実にあります。Connes の処方箋は、商を取る操作を「同値関係を潰す」ではなく「同値関係（より一般には亜群）の畳み込み代数を作る」に置き換えることでした。潰す代わりに、点 $p$ と点 $q$ が同値であるという関係そのものを行列成分 $(p, q)$ として残すのです。得られる代数は非可換ですが、情報は失われていません。

本章では、この処方箋がもっとも簡単な非自明例で何を生むかを、最後まで具体的に追いかけます。生まれる代数が非可換トーラス $A_\theta$ です。同じ代数は、一様磁場中の 2 次元電子の磁気平行移動が生成する代数としても現れ、整数量子ホール効果の数学的定式化の舞台になります。ひとつの C*-代数が、微分幾何・力学系・固体物理の交点に立っているわけです。

傾き θ の Kronecker 葉層。太線は 1 本の葉で、正方形を何度も横切りながら（θ が無理数なら）稠密になる。破線は横断切断 T で、葉との交点は回転 R_θ の軌道 nθ (mod 1) を描く。

2. 準備と記号

以下、$\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を円周とし、$t \in \mathbb{T}$ に対して $e(t) = e^{2\pi i t}$ と書きます。$\theta \in \mathbb{R}$ を固定し、

$$\lambda = e^{2\pi i \theta}$$

とおきます。C*-代数はすべて単位的、$\mathcal{H}$ 上の有界作用素環を $B(\mathcal{H})$、コンパクト作用素のイデアルを $\mathcal{K}$ と書きます。C*-代数と K-理論、スペクトル三つ組の基礎は既知とします（C*-代数の基礎、K-理論入門、スペクトル三つ組）。特に スペクトル三つ組の定義（Definition 3.1）［スペクトル三つ組 (A, H, D)］ は 5 節でそのまま使います。

生成元と関係による普遍 C*-代数。 記号 $u, v$ とその共役からなる自由 *-代数を $\mathcal{F}$ とし、関係 $R$ を「$u, v$ はユニタリ」かつ「$vu = \lambda uv$」とします。$R$ を満たす作用素の組 $(\pi(u), \pi(v))$ による *-表現 $\pi : \mathcal{F} \to B(\mathcal{H})$ を全部集めて

$$\|x\|_{\mathrm{univ}} = \sup_{\pi} \|\pi(x)\|$$

と定めると、$x$ が単項式 $u^{m}v^{n}$ の有限線形結合であり各表現でユニタリの積のノルムが $1$ であることから $\|x\|_{\mathrm{univ}} \le \sum |c_{mn}| < \infty$ となり、上限は有限です。$\|\cdot\|_{\mathrm{univ}}$ による商と完備化が普遍 C*-代数で、$R$ を満たす任意の組 $(u', v')$ に対し $u \mapsto u'$, $v \mapsto v'$ を延ばす単位的 *-準同型がただ 1 つ存在する、という普遍性で特徴づけられます。

交叉積。 位相空間 $X$ とその同相写像 $\varphi$ が与えられたとき、交叉積 $C(X) \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$（$\alpha(f) = f \circ \varphi$）は、$C(X)$ とユニタリ $V$ で生成され、関係 $V f V^{*} = \alpha(f)$（$f \in C(X)$）で縛られる普遍 C*-代数として定義できます。$\mathbb{Z}$ は従順群なので、この完全交叉積は簡約交叉積と一致します。

3. 非可換トーラスの定義と存在

Definition 3.1（非可換トーラス（回転代数））

$\theta \in \mathbb{R}$ とし $\lambda = e^{2\pi i\theta}$ とおきます。非可換トーラス $A_\theta$ とは、2 つのユニタリ $U, V$ で生成され、関係

$$VU = \lambda\, UV = e^{2\pi i \theta}\, UV$$

のみで縛られる普遍 C*-代数のことです。$\theta$ が無理数のとき、$A_\theta$ を無理数回転代数とも呼びます。

関係は $\lambda$ にしか依存しないので、$A_\theta$ は $\theta$ の整数部分に依りません。すなわち $A_{\theta + 1} = A_\theta$ であり、$\theta \in [0, 1)$ としてよいことになります。

Caution

文献によっては同じ代数を $UV = e^{2\pi i\theta}VU$ で定義します。これは本記事の $A_{-\theta}$ にあたりますが、Corollary 6.3 のとおり両者は同型なので、結論に違いは生じません。ただし途中の計算では符号が入れ替わるので、他の文献と突き合わせるときは規約を確認してください。

Proposition 3.2（存在と具体表現）

$A_\theta$ は $0$ でない C*-代数であり、次の作用素はその関係を満たします。$\ell^2(\mathbb{Z})$ の標準正規直交基底を $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$、$\varphi \in \mathbb{R}$ を任意の定数として

$$\pi_\varphi(U)\,e_n = e^{2\pi i (n\theta + \varphi)} e_n, \qquad \pi_\varphi(V)\, e_n = e_{n-1}$$

と定めると、$\pi_\varphi(U), \pi_\varphi(V)$ はユニタリで $\pi_\varphi(V)\pi_\varphi(U) = \lambda\, \pi_\varphi(U)\pi_\varphi(V)$ を満たします。したがって普遍性により単位的 *-準同型 $\pi_\varphi : A_\theta \to B(\ell^2(\mathbb{Z}))$ が定まります。

Proof（Proposition 3.2）

$\pi_\varphi(U)$ は正規直交基底を絶対値 $1$ のスカラー倍に写すのでユニタリ、$\pi_\varphi(V)$ は基底を基底に全単射に写すのでユニタリです。関係を確かめます。

$$\pi_\varphi(V)\pi_\varphi(U)e_n = e^{2\pi i(n\theta + \varphi)}e_{n-1}, \qquad \pi_\varphi(U)\pi_\varphi(V)e_n = \pi_\varphi(U)e_{n-1} = e^{2\pi i((n-1)\theta + \varphi)}e_{n-1}$$

であり、前者は後者の $e^{2\pi i\theta} = \lambda$ 倍です。すべての $n$ で成り立つので $\pi_\varphi(V)\pi_\varphi(U) = \lambda\,\pi_\varphi(U)\pi_\varphi(V)$ です。

この表現が存在するので、普遍ノルムは $\|U\|_{\mathrm{univ}} \ge \|\pi_\varphi(U)\| = 1$ を満たし、特に $A_\theta \ne 0$ です。

∎

生成元の単項式の積は関係から完全に決まります。$VU = \lambda UV$ を繰り返し使うと $V U^{p} = \lambda^{p} U^{p} V$、さらに $V^{n}U^{p} = \lambda^{np}U^{p}V^{n}$（$n, p \in \mathbb{Z}$）が従い、

$$(U^{m}V^{n})(U^{p}V^{q}) = \lambda^{np}\, U^{m+p}V^{n+q}, \qquad (U^{m}V^{n})^{*} = \lambda^{mn}\,U^{-m}V^{-n}$$

となります。2 番目の等式は $(U^mV^n)^* = V^{-n}U^{-m} = \lambda^{(-n)(-m)}U^{-m}V^{-n}$ から出ます。したがって $\mathcal{A}_\theta = \operatorname{span}\{U^{m}V^{n} : (m,n) \in \mathbb{Z}^2\}$ は $A_\theta$ の稠密な *-部分代数であり、これは 2-コサイクル $\sigma((m,n),(p,q)) = \lambda^{np}$ による $\mathbb{Z}^2$ のねじれ群環にほかなりません。$A_\theta$ の元は形式的な「フーリエ級数」$\sum_{m,n} a_{mn}U^{m}V^{n}$ として書けます（収束の意味は Corollary 4.4 で述べます）。

Proposition 3.3（交叉積としての実現）

$\beta$ を $C(\mathbb{T})$ の自己同型 $(\beta h)(t) = h(t + \theta)$ とすると、

$$A_\theta \;\cong\; C(\mathbb{T}) \rtimes_{\beta} \mathbb{Z}$$

が単位的 *-同型として成り立ちます。同型は $U \mapsto e(\cdot)$（座標関数）、$V \mapsto$（交叉積の標準ユニタリ）で与えられます。

Proof（Proposition 3.3）

$B = C(\mathbb{T}) \rtimes_\beta \mathbb{Z}$ とし、その標準ユニタリを $W$（$WhW^{*} = \beta(h)$）、座標関数を $z = e(\cdot) \in C(\mathbb{T})$ とします。$z$ はユニタリで、

$$W z W^{*} = \beta(z) = e(\cdot + \theta) = \lambda\, z$$

なので $Wz = \lambda z W$ が成り立ちます。よって $A_\theta$ の普遍性から *-準同型 $\Phi : A_\theta \to B$, $\Phi(U) = z$, $\Phi(V) = W$ が定まります。

逆向きを作ります。$A_\theta$ の中で $U$ はユニタリなので、連続関数計算（Corollary 6.2）［C*-Algebras］ により *-準同型 $C(\operatorname{sp}(U)) \to A_\theta$ が定まりますが、$\operatorname{sp}(U) = \mathbb{T}$ です。実際 Proposition 4.1 のゲージ自己同型 $\sigma_{(s,0)}$ が $U$ を $e(s)U$ に写すのでスペクトルは回転で不変であり、空でない閉集合で回転不変なものは $\mathbb{T}$ に限ります。こうして得た *-準同型 $\iota : C(\mathbb{T}) \to A_\theta$ と $V$ は $V\iota(h)V^{*} = \iota(\beta h)$ を満たします（$h = z$ で確かめれば十分で、$VUV^{*} = \lambda U$ がまさにそれです。両辺は $h$ について *-準同型なので、$z$ で一致すれば $C^*(z) = C(\mathbb{T})$ 全体で一致します）。交叉積の普遍性から $\Psi : B \to A_\theta$ が定まります。

$\Phi\circ\Psi$ と $\Psi\circ\Phi$ はそれぞれ生成元を固定するので恒等写像であり、$\Phi$ は同型です。

∎

この同型は本章の見方を一言で表しています。$C(\mathbb{T}) \rtimes_\beta \mathbb{Z}$ は「円周に回転 $\beta$ で作用する $\mathbb{Z}$」という力学系の代数であり、Proposition 1.1 の葉層で横断切断 $T$ に落とした姿にほかなりません（Remark 7.1）。

Example 3.4（θ が整数のとき：可換トーラス）

$\theta \in \mathbb{Z}$ なら $\lambda = 1$ で、関係は $VU = UV$ です。このとき $\mathcal{A}_0$ は可換なのでその閉包 $A_0$ も可換であり、ゲルファント–ナイマルクの定理から $A_0 \cong C(X)$（$X$ は指標空間）です。指標 $\chi$ は $(\chi(U), \chi(V)) \in \mathbb{T}^2$ で決まり、逆に任意の $(z, w) \in \mathbb{T}^2$ はスカラーとして関係 $wz = zw$ を満たすので、普遍性により指標を与えます。こうして得られる全単射 $X \to \mathbb{T}^2$ は連続（弱*位相の定義から）で、$X$ がコンパクト、$\mathbb{T}^2$ が Hausdorff なので同相です。したがって

$$A_0 \cong C(\mathbb{T}^2).$$

これが「$A_\theta$ はトーラスの非可換変形である」という呼び名の根拠です。

Example 3.5（θ = 1/2 の場合：2 次行列で足りる）

$\theta = 1/2$、$\lambda = -1$ とします。パウリ行列

$$U_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad V_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$

はユニタリで、

$$V_0U_0 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad U_0V_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$$

より $V_0U_0 = -U_0V_0 = \lambda U_0V_0$ です。よって $A_{1/2} \to M_2(\mathbb{C})$ という *-準同型が存在します。一般に $\theta = p/q$（$\gcd(p,q) = 1$）のときは、$q$ 次の「時計行列」$\operatorname{diag}(1, \omega, \ldots, \omega^{q-1})$（$\omega = e^{2\pi i p/q}$）と巡回シフト行列が同じ関係を満たし、$A_{p/q} \to M_q(\mathbb{C})$ が得られます。有理回転代数は行列環という「小さな」商をもつため単純ではありません（Example 4.6、演習 Exercise 8.1）。

4. 標準トレースと単純性

可換トーラス $C(\mathbb{T}^2)$ には、体積要素による積分 $f \mapsto \int_{\mathbb{T}^2} f$ という標準的な汎関数があります。$A_\theta$ にもそれに対応するものがあり、しかも $\theta$ が無理数のときはそれしかない、というのがこの節の主題です。

Proposition 4.1（ゲージ作用）

各 $(s,t) \in \mathbb{T}^2$ に対し、

$$\sigma_{(s,t)}(U) = e(s)\,U, \qquad \sigma_{(s,t)}(V) = e(t)\,V$$

を満たす自己同型 $\sigma_{(s,t)} \in \operatorname{Aut}(A_\theta)$ がただ 1 つ存在し、$\sigma : \mathbb{T}^2 \to \operatorname{Aut}(A_\theta)$ は群準同型で、各 $a \in A_\theta$ に対し $(s,t) \mapsto \sigma_{(s,t)}(a)$ はノルム連続です。

Proof（Proposition 4.1）

$e(s)U$ と $e(t)V$ はユニタリで、

$$(e(t)V)(e(s)U) = e(s+t)\,VU = \lambda\, e(s+t)\,UV = \lambda\,(e(s)U)(e(t)V)$$

なので、Definition 3.1 の関係を満たします。普遍性から *-準同型 $\sigma_{(s,t)}$ が定まり、$\sigma_{(-s,-t)}$ が両側逆写像を与えるので自己同型です。生成元での値から $\sigma_{(s,t)}\sigma_{(s',t')} = \sigma_{(s+s',t+t')}$ が従います（両辺は生成元で一致する *-準同型なので、生成される代数の稠密性から一致します）。一意性も同じ理由です。

連続性は、まず $a = U^mV^n$ のとき $\sigma_{(s,t)}(a) = e(ms + nt)\,a$ より明らかで、線形結合 $a \in \mathcal{A}_\theta$ にも従います。一般の $a \in A_\theta$ については、$\varepsilon > 0$ に対し $\|a - b\| < \varepsilon/3$ なる $b \in \mathcal{A}_\theta$ を取ると、$\sigma$ が等長であることから

$$\|\sigma_{(s,t)}(a) - \sigma_{(s',t')}(a)\| \le 2\|a-b\| + \|\sigma_{(s,t)}(b) - \sigma_{(s',t')}(b)\| < \varepsilon$$

が $(s,t)$ と $(s',t')$ が十分近ければ成り立ちます。

∎

Definition 4.2（標準トレースと条件付き期待値）

Proposition 4.1 の作用の平均として、

$$E(a) = \int_0^1 \sigma_{(0,t)}(a)\, dt, \qquad \tau(a) \cdot 1 = \int_0^1\!\!\int_0^1 \sigma_{(s,t)}(a)\, ds\, dt$$

と定めます（被積分関数はノルム連続なので Bochner 積分が定義できます）。生成元では

$$E(U^mV^n) = \delta_{n,0}\,U^m, \qquad \tau(U^mV^n) = \delta_{m,0}\,\delta_{n,0}$$

です。$\tau$ を $A_\theta$ の標準トレースと呼びます。

$\tau$ の値が本当にスカラーであること、すなわち二重平均が $\mathbb{C}\cdot 1$ に入ることは、$\mathcal{A}_\theta$ 上で上の式が成り立ち、平均操作が縮小写像（$\|E\| \le 1$）なので稠密性から $A_\theta$ 全体に延びることから従います。

Theorem 4.3（標準トレースは忠実なトレース状態）

$\tau$ は $A_\theta$ 上の状態であり、次を満たします。

1. トレース性：すべての $a, b \in A_\theta$ に対し $\tau(ab) = \tau(ba)$。
2. 忠実性：$a \ge 0$ かつ $\tau(a) = 0$ ならば $a = 0$。
3. ゲージ不変性：すべての $(s,t)$ に対し $\tau \circ \sigma_{(s,t)} = \tau$。

Proof（Theorem 4.3）

$\tau$ は正値（正の元の積分は正）で $\tau(1) = 1$ なので状態です。(3) は積分の平行移動不変性から直ちに従います。

(1) 両辺は $a, b$ について連続な双線形形式なので、$a = U^mV^n$, $b = U^pV^q$ で確かめれば十分です。Proposition 3.2 の後に示した積の公式から

$$ab = \lambda^{np}U^{m+p}V^{n+q}, \qquad ba = \lambda^{qm}U^{p+m}V^{q+n}$$

です。$\tau$ の定義よりどちらも $(m+p, n+q) \ne (0,0)$ なら $0$ で一致します。$(m+p, n+q) = (0,0)$ すなわち $p = -m$, $q = -n$ のときは $\lambda^{np} = \lambda^{-nm}$、$\lambda^{qm} = \lambda^{-nm}$ となり、やはり一致します。

(2) 2 段階に分けます。まず $E$ が忠実であることを示します。$a \in A_\theta$ が $E(a^{*}a) = 0$ を満たすとし、$\phi$ を $A_\theta$ の任意の状態とすると、

$$0 = \phi(E(a^{*}a)) = \int_0^1 \phi\big(\sigma_{(0,t)}(a^{*}a)\big)\, dt$$

です。被積分関数は $t$ の連続関数で、$\sigma_{(0,t)}(a^*a) = \sigma_{(0,t)}(a)^*\sigma_{(0,t)}(a) \ge 0$ より非負なので、恒等的に $0$ です。特に $t = 0$ で $\phi(a^{*}a) = 0$。状態は元を分離する（$b \ge 0$, $b \ne 0$ なら $\phi(b) = \|b\|$ となる状態が存在する）ので $a^{*}a = 0$、すなわち $a = 0$ です。

次に $E$ の像を調べます。$E(U^mV^n) = \delta_{n,0}U^m$ なので $E(\mathcal{A}_\theta) = \operatorname{span}\{U^m\}$、連続性から $E(A_\theta) \subseteq C^{*}(U)$ であり、$C^{*}(U)$ 上では $E$ は恒等写像です。$\operatorname{sp}(U) = \mathbb{T}$（Proposition 3.3 の証明中で示しました）なので $C^{*}(U) \cong C(\mathbb{T})$ であり、この同型のもとで $\tau|_{C^{*}(U)}$ は $U^m \mapsto \delta_{m,0}$、すなわち正規化 Lebesgue 測度による積分に対応します。連続関数の積分は忠実です（$h \ge 0$ 連続、$h(t_0) > 0$ なら近傍で $h > h(t_0)/2$ となり積分は正）。

以上より、$a \ge 0$ で $\tau(a) = 0$ とすると、$b = a^{1/2}$ として $\tau(E(b^{*}b)) = \tau(a) = 0$ と $E(b^*b) \ge 0$ から $E(b^{*}b) = 0$、$E$ の忠実性より $b = 0$、よって $a = 0$ です。

∎

Corollary 4.4（フーリエ係数は元を決める）

$a \in A_\theta$ に対し $a_{mn} = \tau\big(a\,(U^mV^n)^{*}\big)$ とおきます。すべての $(m,n)$ で $a_{mn} = 0$ ならば $a = 0$ です。また $\{U^mV^n\}$ は $\tau$ から定まる内積 $\langle x, y\rangle = \tau(y^{*}x)$ について正規直交系をなし、特に 1 次独立です。

Proof（Corollary 4.4）

正規直交性を確かめます。$(U^pV^q)^{*}U^mV^n = V^{-q}U^{m-p}V^{n} = \lambda^{-q(m-p)}U^{m-p}V^{n-q}$ なので、$\tau$ を取ると $(m,n) = (p,q)$ のとき $1$、それ以外は $0$ です。

$a_{mn} = 0$（すべての $(m,n)$）とすると、$\langle a, U^mV^n\rangle = \tau((U^mV^n)^{*}a)$ です。トレース性（Theorem 4.3）より $\tau((U^mV^n)^{*}a) = \tau(a(U^mV^n)^{*}) = a_{mn} = 0$ なので、$a$ は $\mathcal{A}_\theta$ のすべての元と直交します。$b_k \in \mathcal{A}_\theta$ を $\|a - b_k\| \to 0$ と取れば $|\tau(b_k^{*}a) - \tau(a^{*}a)| \le \|b_k - a\|\,\|a\| \to 0$、左辺の第 1 項は $0$ なので $\tau(a^{*}a) = 0$。Theorem 4.3 の忠実性から $a = 0$ です。

∎

Theorem 4.5（無理数回転代数の単純性と一意トレース）

$\theta$ を無理数とします。このとき

1. $A_\theta$ は単純です。すなわち $\{0\}$ と $A_\theta$ 以外に閉両側イデアルをもちません。
2. $A_\theta$ のトレース状態は $\tau$ ただ 1 つです。

Proof（Theorem 4.5）

$\lambda = e^{2\pi i\theta}$ は $\theta$ が無理数なので $1$ の冪根ではありません。すなわち $k \ne 0$ なら $\lambda^{k} \ne 1$ です。この 1 点だけを使います。

準備（内部自己同型による平均）。 $VU = \lambda UV$ から $UVU^{*} = \lambda^{-1}V$、$VUV^{*} = \lambda U$ が従うので、

$$U^{k}(U^mV^n)U^{-k} = \lambda^{-kn}U^mV^n, \qquad V^{k}(U^mV^n)V^{-k} = \lambda^{km}U^mV^n$$

です。そこで

$$M_N(a) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}U^{k}aU^{-k}, \qquad M'_N(a) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}V^{k}aV^{-k}$$

とおきます。$M_N, M'_N$ は縮小線形写像です。$a = U^mV^n$ に対し

$$M_N(U^mV^n) = \Big(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\lambda^{-kn}\Big)U^mV^n$$

であり、$n = 0$ なら括弧は $1$、$n \ne 0$ なら等比数列の和として

$$\Big|\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\lambda^{-kn}\Big| = \frac{1}{N}\left|\frac{1 - \lambda^{-Nn}}{1-\lambda^{-n}}\right| \le \frac{2}{N\,|1-\lambda^{-n}|} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0$$

となります（ここで $\lambda^{n} \ne 1$ を使いました）。よって $\mathcal{A}_\theta$ 上で $M_N(a) \to E(a)$（Definition 4.2）であり、$\|M_N\| \le 1$, $\|E\| \le 1$ と $\mathcal{A}_\theta$ の稠密性から、すべての $a \in A_\theta$ で $\|M_N(a) - E(a)\| \to 0$ です。同様に $M'_N(U^m) \to \delta_{m,0}\cdot 1$ なので、$b \in C^{*}(U)$ に対し $M'_N(b) \to \tau(b)\cdot 1$ です。

(1) の証明。 $J \subseteq A_\theta$ を $0$ でない閉両側イデアルとし、$a \in J$, $a \ne 0$ を取ります。$a^{*}a \in J$ は $0$ でない正の元です。$J$ は両側イデアルなので $U^{k}aU^{-k} \in J$、したがって $M_N(a^{*}a) \in J$ であり、$J$ が閉なので極限 $E(a^{*}a) \in J$ です。$E(a^{*}a) \in C^{*}(U)$ なので、同じ議論を $M'_N$ に対して行うと

$$\tau(E(a^{*}a))\cdot 1 = \tau(a^{*}a)\cdot 1 \in J$$

を得ます（$\tau \circ E = \tau$ は $\tau$ のゲージ不変性 Theorem 4.3(3) から従います）。Theorem 4.3(2) の忠実性より $\tau(a^{*}a) > 0$ なので、$1 \in J$、すなわち $J = A_\theta$ です。

(2) の証明。 $\tau'$ をトレース状態とします。$n \ne 0$ のとき、トレース性から

$$\tau'(U^mV^n) = \tau'\big(U\,(U^mV^n)\,U^{-1}\big) = \lambda^{-n}\tau'(U^mV^n)$$

であり、$\lambda^{-n} \ne 1$ なので $\tau'(U^mV^n) = 0$ です。$n = 0$, $m \ne 0$ のときは $V$ で同じことをして $\tau'(U^m) = \lambda^{m}\tau'(U^m)$ から $\tau'(U^m) = 0$。$\tau'(1) = 1$ と合わせて、$\tau'$ は $\mathcal{A}_\theta$ 上で $\tau$ と一致します。状態は連続で $\mathcal{A}_\theta$ は稠密なので $\tau' = \tau$ です。

∎

Example 4.6（有理の場合に単純性が壊れること）

$\theta = p/q$（既約分数）とすると $\lambda^{q} = e^{2\pi i p} = 1$ なので、$VU^{q} = \lambda^{q}U^{q}V = U^{q}V$、同様に $UV^{q} = V^{q}U$ となり、$U^{q}$ と $V^{q}$ は中心に属します。Example 3.5 で作った *-準同型 $\rho : A_{p/q}\to M_q(\mathbb{C})$ は全射（時計行列とシフト行列は $M_q(\mathbb{C})$ を生成します）で、$M_q(\mathbb{C})$ の次元は有限、一方 Corollary 4.4 より $A_{p/q}$ は無限次元なので $\ker\rho \ne 0$ です。よって $A_{p/q}$ は単純ではありません。さらに、時計行列を $e(\mu)$ 倍、シフト行列を $e(\nu)$ 倍しても関係は保たれるので、$(\mu,\nu) \in \mathbb{T}^2$ でパラメトライズされた $q$ 次元既約表現の族が得られます。これが「$A_{p/q}$ は $\mathbb{T}^2$ 上の $M_q$-束の切断環」という描像です。無理数の場合との違いは、$\lambda$ が $1$ の冪根かどうかという 1 点に帰着します。

5. 微分構造とスペクトル三つ組

$A_\theta$ は今のところ「位相空間」に相当する対象です。ここに微分幾何を載せるには、可換な場合の $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$ に相当する導分と、それを扱える滑らかな部分代数が要ります。Proposition 4.1 のゲージ作用が、ちょうどその生成元を供給します。

Definition 5.1（滑らかな部分代数と標準導分）

$\mathcal{S}(\mathbb{Z}^2)$ を急減少列全体、すなわち任意の $k \in \mathbb{N}$ に対し $\sup_{m,n}(1+|m|+|n|)^{k}|a_{mn}| < \infty$ を満たす複素数列 $(a_{mn})$ の空間とします。

$$A_\theta^{\infty} = \Big\{\, a = \sum_{m,n \in \mathbb{Z}} a_{mn}U^{m}V^{n} \;:\; (a_{mn}) \in \mathcal{S}(\mathbb{Z}^2) \,\Big\}$$

とおきます（$\sum|a_{mn}| < \infty$ なので級数は $A_\theta$ でノルム収束し、係数は Corollary 4.4 により一意です）。さらに $\delta_1, \delta_2 : A_\theta^{\infty}\to A_\theta^{\infty}$ を

$$\delta_1\Big(\sum a_{mn}U^mV^n\Big) = 2\pi i\sum m\, a_{mn}U^mV^n, \qquad \delta_2\Big(\sum a_{mn}U^mV^n\Big) = 2\pi i\sum n\, a_{mn}U^mV^n$$

で定めます。急減少性は $m, n$ を掛けても保たれるので、これらは $A_\theta^{\infty}$ の中で閉じています。

$\theta = 0$ の場合を見ると意味がはっきりします。Example 3.4 の同型で $U = e(x)$, $V = e(y)$ と見ると $\delta_1 = \partial/\partial x$, $\delta_2 = \partial/\partial y$ であり、$A_0^{\infty} = C^{\infty}(\mathbb{T}^2)$（フーリエ係数が急減少する関数全体）です。一般の $\theta$ でも $\delta_j$ はゲージ作用の生成元 $\delta_1 = \frac{d}{ds}\big|_{s=0}\sigma_{(s,0)}$, $\delta_2 = \frac{d}{dt}\big|_{t=0}\sigma_{(0,t)}$ です。

Proposition 5.2（導分の基本性質）

$A_\theta^{\infty}$ は $A_\theta$ の稠密な単位的 *-部分代数であり、$j = 1, 2$ について次が成り立ちます。

1. $\delta_j(ab) = \delta_j(a)b + a\,\delta_j(b)$（Leibniz 則）。
2. $\delta_j(a^{*}) = \big(\delta_j(a)\big)^{*}$（$\delta_j$ は *-導分、すなわち自己共役元を自己共役元に写します）。
3. $\tau(\delta_j(a)) = 0$。
4. $\delta_1\delta_2 = \delta_2\delta_1$。

Proof（Proposition 5.2）

まず $A_\theta^{\infty}$ が積で閉じることを見ます。$a = \sum a_{mn}U^mV^n$, $b = \sum b_{pq}U^pV^q$ の積は、Proposition 3.2 の後の積公式から係数 $(a\ast b)_{rs} = \sum_{m,n}\lambda^{n(r-m)}a_{mn}b_{r-m,\,s-n}$ をもつねじれ畳み込みです。位相因子の絶対値は $1$ なので $|(a\ast b)_{rs}| \le \sum_{m,n}|a_{mn}|\,|b_{r-m,s-n}|$ と評価でき、ここで $(1+|r|+|s|)^{k}\le 2^{k}(1+|m|+|n|)^{k}(1+|r-m|+|s-n|)^{k}$（三角不等式から従う Peetre 型不等式）を使うと

$$(1+|r|+|s|)^{k}|(a\ast b)_{rs}| \le 2^{k}\sum_{m,n}\Big[(1+|m|+|n|)^{k}|a_{mn}|\Big]\Big[(1+|r-m|+|s-n|)^{k}|b_{r-m,s-n}|\Big]$$

となり、右辺は急減少性（$k+3$ 次まで使う）から $r, s$ について一様有界です。よって $a\ast b \in \mathcal{S}(\mathbb{Z}^2)$。$*$ で閉じることは $(U^mV^n)^{*} = \lambda^{mn}U^{-m}V^{-n}$ から係数の絶対値が保たれることによります。稠密性は $\mathcal{A}_\theta \subseteq A_\theta^{\infty}$ から明らかです。

(1) 両辺は $a, b$ について連続（$\ell^1$ ノルムで）なので単項式で確かめれば十分です。$a = U^mV^n$, $b = U^pV^q$ とすると $ab = \lambda^{np}U^{m+p}V^{n+q}$ なので $\delta_1(ab) = 2\pi i(m+p)\,ab$。一方 $\delta_1(a)b + a\delta_1(b) = 2\pi i m\, ab + 2\pi i p\, ab$ で一致します。$\delta_2$ も同様（$n + q$ で分解）。

(2) $a = U^mV^n$ なら $a^{*} = \lambda^{mn}U^{-m}V^{-n}$ は指数 $(-m,-n)$ の単項式なので $\delta_1(a^{*}) = -2\pi i m\, a^{*}$、他方 $\delta_1 a = 2\pi i m\,a$ より $(\delta_1 a)^{*} = \overline{2\pi i m}\,a^{*} = -2\pi i m\, a^{*}$ であり、両者は一致します。すなわち $\delta_1(a^*) = (\delta_1 a)^{*}$。両辺は $a$ について共役線形なので、線形結合と連続性で一般の $a$ に延びます。

(3) $\tau(\delta_1(a)) = 2\pi i \sum m\,a_{mn}\tau(U^mV^n) = 2\pi i\cdot 0\cdot a_{00} = 0$。$m = 0$ の項しか残らず、その係数が $m = 0$ で消えるからです。

(4) 単項式に対しどちらも $-4\pi^2 mn$ 倍なので一致し、連続性から全体で成り立ちます。

∎

$\delta_j$ は性質 1–3 から $L^2(A_\theta,\tau)$ 上で歪対称（$\langle\delta_j x, y\rangle = -\langle x, \delta_j y\rangle$、Exercise 8.2）なので、$D_j = -i\,\delta_j$ が「自己共役な微分作用素」の役割を果たします。これを使ってスペクトル三つ組を組みます。

Theorem 5.3（非可換トーラスのスペクトル三つ組）

$L^2(A_\theta, \tau)$ を内積 $\langle x, y\rangle = \tau(y^{*}x)$ による $A_\theta$ の完備化とし、$\mathcal{H} = L^2(A_\theta,\tau)\otimes\mathbb{C}^2$ とします。$A_\theta$ は左乗法で $\mathcal{H}$ に表現され、

$$D = \begin{pmatrix} 0 & D_1 - iD_2 \\ D_1 + iD_2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D_j = -i\,\delta_j$$

は $\mathcal{A}_\theta\otimes\mathbb{C}^2$ 上で本質的自己共役です。このとき $(A_\theta^{\infty}, \mathcal{H}, D)$ はスペクトル三つ組です。すなわち

1. $D$ は自己共役でレゾルベントがコンパクト、
2. 任意の $a \in A_\theta^{\infty}$ に対し $[D, a]$ は $\mathcal{H}$ 上の有界作用素、
3. $\operatorname{Tr}\big((1+D^2)^{-s/2}\big) < \infty$ となるのは $s > 2$ のときに限る。

したがってスペクトル次元は $\theta$ に依らず $2$ です。

Proof（Theorem 5.3）

Corollary 4.4 より $\{U^mV^n\}_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2}$ は $L^2(A_\theta,\tau)$ の正規直交系で、$\mathcal{A}_\theta$ が稠密なので正規直交基底です。この基底で $D_1, D_2$ は対角で、$D_1(U^mV^n) = 2\pi m\,U^mV^n$, $D_2(U^mV^n) = 2\pi n\, U^mV^n$ です（$-i\cdot 2\pi i m = 2\pi m$）。固有値が実なので $D_1, D_2$ は対称で、対角形なので本質的自己共役です。

$D_1, D_2$ は可換（Proposition 5.2(4)）なので

$$D^2 = \begin{pmatrix} (D_1 - iD_2)(D_1+iD_2) & 0 \\ 0 & (D_1+iD_2)(D_1-iD_2)\end{pmatrix} = (D_1^2 + D_2^2)\otimes I_2$$

です（$i[D_1,D_2] = 0$ が効いています）。よって $|D|$ の固有値は $2\pi\sqrt{m^2+n^2}$（$(m,n)\in\mathbb{Z}^2$、重複度 $2$）です。$m^2+n^2 \le R^2$ を満たす格子点は有限個で $R\to\infty$ のとき固有値は無限大に発散するので、$(1+D^2)^{-1}$ はコンパクトであり (1) が従います。

(2) $a \in A_\theta^{\infty}$ と $\xi \in \mathcal{A}_\theta$ に対し、$D_j$ は $L^2$ 上でも導分の延長なので Leibniz 則（Proposition 5.2(1)）から

$$D_j(a\xi) = -i\,\delta_j(a)\,\xi + a\,D_j\xi \quad\Longrightarrow\quad [D_j, a]\,\xi = \big(-i\,\delta_j(a)\big)\xi .$$

右辺は $A_\theta$ の元 $-i\delta_j(a)$ による左乗法なので、作用素ノルムは $\|\delta_j(a)\|$ 以下です。$[D,a]$ は $[D_1,a]\mp i[D_2,a]$ を成分にもつ $2\times2$ 行列なので有界です。

(3) 固有値の重複度を込めて

$$\operatorname{Tr}\big((1+D^2)^{-s/2}\big) = 2\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2}\big(1 + 4\pi^2(m^2+n^2)\big)^{-s/2}$$

です。$(m,n)\ne(0,0)$ の項は $|(m,n)|^{-s}$ と同程度なので、和の収束は $\int_{|x|\ge 1}|x|^{-s}\,dx$（2 次元）の収束と同値、すなわち $s > 2$ と同値です。

∎

Example 5.4（Weyl 漸近と体積）

Theorem 5.3 の固有値を数えます。$\Lambda > 0$ に対し

$$N(\Lambda) = \#\{\,\text{$|D|$ の固有値} \le \Lambda\,\} = 2\,\#\{(m,n)\in\mathbb{Z}^2 : 2\pi\sqrt{m^2+n^2}\le \Lambda\} \sim 2\cdot\pi\Big(\frac{\Lambda}{2\pi}\Big)^{2} = \frac{\Lambda^{2}}{2\pi}$$

（半径 $\Lambda/2\pi$ の円内の格子点数はその面積に漸近します）。これは辺の長さ $1$ の平坦トーラス上のスピノル束の Dirac 作用素の Weyl 漸近（ワイルの法則（Theorem 6.1）［スペクトル三つ組 (A, H, D)］）と完全に一致します。$\theta$ をいくら動かしても「体積」は変わらない、というのは非可換トーラスが可換トーラスの等長的な変形であることの現れです。

具体的に Dixmier トレースを計算してみます。$(1+D^2)^{-1}$ の固有値を減少列 $\mu_1 \ge \mu_2 \ge \cdots$ と並べると、$\mu_k \approx \Lambda^{-2}$ と $k \approx N(\Lambda) = \Lambda^2/2\pi$ から $\mu_k \approx \frac{1}{2\pi k}$ です。よって

$$\frac{1}{\log K}\sum_{k=1}^{K}\mu_k \;\longrightarrow\; \frac{1}{2\pi} \qquad (K\to\infty)$$

となり、$\operatorname{Tr}_\omega\big((1+D^2)^{-1}\big) = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\tau(1)$ を得ます。

Remark 5.5

Example 5.4 の計算は $a = 1$ の場合ですが、一般に $a \in A_\theta^{\infty}$ に対し $\operatorname{Tr}_\omega\big(a\,(1+D^2)^{-1}\big) = \frac{1}{2\pi}\tau(a)$ が成り立ちます。すなわち Connes の意味の「非可換積分」（可換な場合に体積と積分を復元する コンヌの跡定理（Theorem 6.3）［スペクトル三つ組 (A, H, D)］ にあたるもの）が標準トレース $\tau$ を再現します。証明は Connes『Noncommutative Geometry』第 IV 章の非可換積分の一般論（Dixmier トレースと Wodzicki 留数の関係）から従います。この事実は次章の指数定理で、指数を積分として書き直す際の要になります。

6. K-理論と Powers–Rieffel 射影

可換トーラス $C(\mathbb{T}^2)$ の射影は、$\mathbb{T}^2$ が連結なので $0$ と $1$ だけです。ところが無理数回転代数には、トレース値が $0$ でも $1$ でもない射影が存在します。これが $A_\theta$ の「非可換性が目に見える」最初の場所であり、量子ホール効果のギャップラベルの正体でもあります。

Theorem 6.1（非可換トーラスの K 群とトレースの像）

すべての $\theta \in \mathbb{R}$ に対し

$$K_0(A_\theta)\cong\mathbb{Z}^2, \qquad K_1(A_\theta)\cong\mathbb{Z}^2$$

であり、$K_1$ は $[U], [V]$ で生成されます。さらに $\theta$ が無理数のとき、標準トレースが誘導する準同型 $\tau_* : K_0(A_\theta)\to\mathbb{R}$ は単射で、その像は

$$\tau_*\big(K_0(A_\theta)\big) = \mathbb{Z} + \theta\mathbb{Z}$$

です。特に $K_0(A_\theta)$ は $[1]$ と、トレース値 $\theta$ をもつ射影の類で生成されます。

Proof（Theorem 6.1）

K 群の計算は Pimsner–Voiculescu の完全系列によります。$\alpha$ を C*-代数 $A$ の自己同型とするとき、次の 2 行は繋がって 6 項の巡回完全系列をなします。

$$\begin{aligned} K_0(A) &\xrightarrow{\ \mathrm{id}-\alpha_*\ } K_0(A) \xrightarrow{\ \iota_*\ } K_0(A\rtimes_\alpha\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \partial\ } K_1(A)\\ K_1(A) &\xrightarrow{\ \mathrm{id}-\alpha_*\ } K_1(A) \xrightarrow{\ \iota_*\ } K_1(A\rtimes_\alpha\mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \partial\ } K_0(A) \end{aligned}$$

ここで $A = C(\mathbb{T})$、$\alpha = \beta$ は Proposition 3.3 の回転です。$K_0(C(\mathbb{T})) = \mathbb{Z}[1]$、$K_1(C(\mathbb{T})) = \mathbb{Z}[z]$ です（円周上の関数環と巻き数（Example 6.3）［K-理論入門］）。回転 $\beta_t : h \mapsto h(\cdot + t\theta)$（$t\in[0,1]$）は $\beta$ と恒等写像を結ぶ自己同型の連続な族なので、K-理論のホモトピー不変性より $\beta_* = \mathrm{id}$、したがって $\mathrm{id}-\beta_* = 0$ です。完全系列は

$$0 \to K_0(C(\mathbb{T})) \xrightarrow{\ \iota_*\ } K_0(A_\theta)\xrightarrow{\ \partial\ } K_1(C(\mathbb{T}))\to 0$$

という短完全列（および $K_1$ 側の同様の列）に分解します。$K_1(C(\mathbb{T}))\cong\mathbb{Z}$ は自由アーベル群なので列は分裂し、$K_0(A_\theta)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ を得ます。$K_1$ も同様に $\mathbb{Z}^2$ で、$\iota_*[z] = [U]$ と、$\partial$ の逆像として現れる $[V]$ が生成元です。

トレースの像について、包含 $\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z}\subseteq\tau_*(K_0)$ は $\tau_*[1] = 1$ と Theorem 6.2 の射影 $e$（$\tau(e)=\theta$）から従います。逆向きの包含と単射性は Pimsner–Voiculescu の計算（境界写像 $\partial$ とトレースの両立）から得られます。証明は Pimsner–Voiculescu の原論文、または Davidson『C*-Algebras by Example』第 VI 章にあります。単射性が分かれば、$\mathbb{Z}[1]+\mathbb{Z}[e]$ の像が $\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z} = \tau_*(K_0)$ 全体を尽くすことから $[1], [e]$ が $K_0(A_\theta)$ を生成することも従います。

∎

さて、トレース値 $\theta$ の射影を実際に作ります。$A_\theta \cong C(\mathbb{T})\rtimes_\beta\mathbb{Z}$（Proposition 3.3）の描像を使い、$C(\mathbb{T})$ の元を $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の連続関数、$V$ を $Vh = \beta(h)V$（$\beta(h) = h(\cdot+\theta)$）を満たすユニタリと見ます。この記法では $hV = V\beta^{-1}(h)$、$V^{*}h = \beta^{-1}(h)V^{*}$ です。

Theorem 6.2（Powers–Rieffel 射影）

$0 < \theta < 1$ とし、$0 < \varepsilon < \min(\theta, 1-\theta)$ を取ります。$f \in C(\mathbb{T})$ を

$$f(t) = \begin{cases} t/\varepsilon & (0\le t\le \varepsilon)\\ 1 & (\varepsilon \le t \le \theta)\\ (\theta+\varepsilon-t)/\varepsilon & (\theta \le t \le \theta+\varepsilon)\\ 0 & (\theta+\varepsilon \le t \le 1) \end{cases}$$

で定め、$g\in C(\mathbb{T})$ を $[0,\varepsilon]$ 上で $g(t) = \sqrt{f(t)-f(t)^2}$、それ以外で $0$ と定めます。このとき

$$e = V^{*}g + f + gV \;\in\; A_\theta$$

は射影（$e = e^{*} = e^{2}$）であり、

$$\tau(e) = \int_0^1 f(t)\,dt = \theta$$

が成り立ちます。

Proof（Theorem 6.2）

まず $f, g$ が連続で $0\le f\le 1$ であることを確認します。$f$ は各区間の端点で値が一致する区分 1 次関数で、$f(0) = 0 = f(1)$ なので $\mathbb{T}$ 上連続です。$g$ は $[0,\varepsilon]$ 上で $f-f^2 = f(1-f)\ge0$ の平方根、端点で $f(0) = 0$, $f(\varepsilon) = 1$ よりどちらも $0$ になるので、$0$ 拡張は連続です。$f, g$ はともに実数値です。

自己共役性。 $(V^{*}g)^{*} = g V$、$(gV)^{*} = V^{*}g$、$f^{*} = f$ より $e^{*} = e$ です。

冪等性。 $e^2$ を $V$ の冪ごとに整理します。交換規則 $Vh = \beta(h)V$, $hV = V\beta^{-1}(h)$, $V^{*}h = \beta^{-1}(h)V^{*}$, $hV^{*} = V^{*}\beta(h)$ を使うと、

$$\begin{aligned} (V^{*}g)(V^{*}g) &= V^{*2}\,\beta(g)\,g, & (gV)(gV) &= g\,\beta(g)\,V^{2},\\ (V^{*}g)f + f(V^{*}g) &= V^{*}\,g\,(f+\beta f), & (fg)V + g\,\beta(f)V &= g\,(f+\beta f)\,V,\\ (V^{*}g)(gV) &= \beta^{-1}(g^{2}), & (gV)(V^{*}g) &= g^{2}. \end{aligned}$$

（たとえば 1 番目は $V^{*}gV^{*}g = V^{*}V^{*}\beta(g)g$、5 番目は $V^{*}g^{2}V = \beta^{-1}(g^{2})V^{*}V = \beta^{-1}(g^2)$ です。）よって $e^2 = e$ は次の 3 条件と同値です。

$$\text{(i) } g(t)g(t+\theta) = 0,\qquad \text{(ii) } g\cdot\big(f + f(\cdot+\theta)\big) = g,\qquad \text{(iii) } f^2 + g(t)^2 + g(t-\theta)^2 = f(t).$$

順に確かめます。$\operatorname{supp} g\subseteq[0,\varepsilon]$ に注意します。

(i) $g(t)\ne0$ なら $t\in[0,\varepsilon]$ で、$t+\theta\in[\theta,\theta+\varepsilon]$ です。$\varepsilon<\theta$ かつ $\theta+\varepsilon<1$ なので $[\theta,\theta+\varepsilon]$ は $\mathbb{T}$ 内で $[0,\varepsilon]$ と交わりません。よって $g(t+\theta) = 0$ です。

(ii) $t\in[0,\varepsilon]$ のとき $f(t) = t/\varepsilon$、$t+\theta\in[\theta,\theta+\varepsilon]$ より $f(t+\theta) = (\theta+\varepsilon-(t+\theta))/\varepsilon = (\varepsilon-t)/\varepsilon$ なので、和は $t/\varepsilon+(\varepsilon-t)/\varepsilon = 1$ です。$\operatorname{supp} g$ の外では両辺 $0$ なので条件は成立します。

(iii) 区間ごとに計算します。

• $t\in[0,\varepsilon]$：$g(t)^2 = f-f^2$ です。$t-\theta \equiv t+1-\theta \in[1-\theta, 1-\theta+\varepsilon]$ で、$1-\theta>\varepsilon$ かつ $1-\theta+\varepsilon\le1$ なのでこれは $[0,\varepsilon]$ と交わらず $g(t-\theta) = 0$。よって左辺 $= f^2+(f-f^2)+0 = f$。
• $t\in[\varepsilon,\theta]$：$f = 1$, $g(t) = 0$。$t-\theta\in[\varepsilon-\theta,0]$、すなわち $\mathbb{T}$ では $[1+\varepsilon-\theta,1]$ で、$t = \theta$ のときの端点 $0$ を除いて $[0,\varepsilon]$ と交わりません。端点では $g(0) = 0$。よって左辺 $= 1 = f$。
• $t\in[\theta,\theta+\varepsilon]$：$f(t) = (\theta+\varepsilon-t)/\varepsilon$, $g(t) = 0$。$t-\theta\in[0,\varepsilon]$ で $f(t-\theta) = (t-\theta)/\varepsilon = 1-f(t)$ なので $$g(t-\theta)^2 = f(t-\theta) - f(t-\theta)^2 = \big(1-f(t)\big)f(t).$$ 左辺 $= f^2 + 0 + f - f^2 = f$。
• $t\in[\theta+\varepsilon,1]$：$f = 0$, $g(t) = 0$。$t-\theta\in[\varepsilon,1-\theta]$ は端点 $\varepsilon$ を除いて $[0,\varepsilon]$ と交わらず、$g(\varepsilon) = 0$。よって左辺 $= 0 = f$。

以上で (i)(ii)(iii) が成り立ち、$e^2 = e$ です。

トレース。 $\tau$ は $V$ の冪が $0$ の成分だけを拾い、$C(\mathbb{T})$ 上では正規化 Lebesgue 積分でした（Theorem 4.3 の証明）。よって

$$\tau(e) = \int_0^1 f(t)\,dt = \underbrace{\frac{\varepsilon}{2}}_{[0,\varepsilon]} + \underbrace{(\theta-\varepsilon)}_{[\varepsilon,\theta]} + \underbrace{\frac{\varepsilon}{2}}_{[\theta,\theta+\varepsilon]} + 0 = \theta .$$∎

Powers–Rieffel 射影を作る関数 f（台形）と g（半楕円）。f の下の面積がちょうど θ で、これが射影のトレース値になる。

Corollary 6.3（無理数回転代数の分類）

$\theta, \theta'$ を無理数とすると、

$$A_\theta \cong A_{\theta'} \iff \theta' \equiv \theta \ \text{または}\ \theta'\equiv-\theta \pmod{\mathbb{Z}} .$$

Proof（Corollary 6.3）

($\Leftarrow$) $\theta'=\theta+n$ なら $\lambda$ が同じなので定義から同じ代数です。$\theta' = -\theta$ の場合、$A_{-\theta}$ の生成元を $U', V'$ とすると $V'U' = \lambda^{-1}U'V'$ です。$A_\theta$ の中で $U'\mapsto V$, $V'\mapsto U$ と置くと、

$$\phi(V')\phi(U') = UV, \qquad \lambda^{-1}\phi(U')\phi(V') = \lambda^{-1}VU = \lambda^{-1}\lambda\,UV = UV$$

なので関係が保たれ、普遍性から *-準同型 $\phi : A_{-\theta}\to A_\theta$ が定まります。同じ構成で逆向きの *-準同型ができ、合成は生成元を固定するので恒等写像です。よって $A_{-\theta}\cong A_\theta$。

($\Rightarrow$) $\Psi : A_\theta\to A_{\theta'}$ を *-同型とします。$\tau'\circ\Psi$ は $A_\theta$ のトレース状態なので、Theorem 4.5(2) の一意性より $\tau'\circ\Psi = \tau$ です。$\Psi$ は $K_0$ の同型を誘導するので、Theorem 6.1 より

$$\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z} = \tau_*\big(K_0(A_\theta)\big) = \tau'_*\big(K_0(A_{\theta'})\big) = \mathbb{Z}+\theta'\mathbb{Z}$$

です。ここから数論的な結論を出します。$\theta' \in \mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z}$ より $\theta' = a + b\theta$、$\theta\in\mathbb{Z}+\theta'\mathbb{Z}$ より $\theta = c + d\theta'$（$a,b,c,d\in\mathbb{Z}$）と書けます。代入して $\theta = c + da + db\,\theta$、すなわち $(1-db)\theta = c+da$。$\theta$ は無理数なので $1-db = 0$ かつ $c+da = 0$、したがって $db = 1$、つまり $b = d = \pm1$ です。ゆえに $\theta' = a\pm\theta$ となります。

∎

Remark 6.4

同型よりも粗い同値として、強森田同値（可分な場合は $A\otimes\mathcal{K}\cong B\otimes\mathcal{K}$ と同値）があります。無理数 $\theta,\theta'$ に対し $A_\theta$ と $A_{\theta'}$ が強森田同値であるための必要十分条件は、ある $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in GL_2(\mathbb{Z})$ によって $\theta' = \dfrac{a\theta+b}{c\theta+d}$ と書けることです。これは Rieffel と Connes による結果で、証明は Rieffel の論文「C*-algebras associated with irrational rotations」にあります。$\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z}$ が $GL_2(\mathbb{Z})$ 作用のもとでスケール倍を除いて不変であることが背景にあります。同型の分類（Corollary 6.3）が $\theta\mapsto\pm\theta+n$ に限られるのに対し、森田同値では連分数展開の尾部が一致するだけの $\theta,\theta'$ が同一視されます。

7. 応用：葉層構造と磁場中の電子

7.1. Kronecker 葉層の葉空間

Proposition 1.1 で見たように、Kronecker 葉層 $(\mathbb{T}^2,\mathcal{F}_\theta)$ の葉空間は可換な意味では 1 点に潰れます。Connes の処方では、葉空間の座標環として葉層のホロノミー亜群の畳み込み C*-代数 $C^{*}(\mathbb{T}^2,\mathcal{F}_\theta)$ を採用します。

Remark 7.1

$\theta$ を無理数とすると

$$C^{*}(\mathbb{T}^2,\mathcal{F}_\theta)\;\cong\; A_\theta\otimes\mathcal{K}\big(L^2(\mathbb{R})\big)$$

が成り立ちます。理由は次のとおりです。図の横断切断 $T = \{x = 0\}\cong\mathbb{T}$ は各葉と交わり、葉に沿って 1 周して $T$ に戻る写像（ホロノミー）はちょうど回転 $t\mapsto t+\theta$ です。したがって $T$ に制限したホロノミー亜群は変換亜群 $\mathbb{T}\rtimes\mathbb{Z}$ であり、その C*-代数は Proposition 3.3 により $A_\theta$ です。切断への制限は「完全横断切断による簡約」であり、コンパクト作用素の分だけ安定化した同型を与えます。詳しい構成は Connes『Noncommutative Geometry』第 II 章（葉層の C*-代数）にあります。

この事実は、非可換幾何学の主張を具体的に検証できる形にします。葉空間には可換な意味での点も関数もありませんが、$A_\theta$ には $K$ 群があり（Theorem 6.1）、トレース（横断測度）があり、微分構造があります（Theorem 5.3）。特に $\tau_*(K_0) = \mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z}$ という「無理数を含む離散群」は、葉層の横断測度と K-理論の対の値であり、次章で扱う葉層に対する指数定理では、指数がこの群に値を取ることが積分公式として説明されます（指数定理への応用、とくに クロネッカー葉層と有理独立な指数値（Example 6.4）［指数定理への応用］）。

7.2. 磁気平行移動と Harper 作用素

2 次元格子 $\mathbb{Z}^2$ 上を動く電子に、面に垂直な一様磁場をかけます。Peierls 置換により、隣接格子点への移動演算子はベクトルポテンシャルの線積分による位相を伴い、$x$ 方向と $y$ 方向の移動演算子 $T_1, T_2$ は可換でなくなります。単位格子（プラケット）を貫く磁束を $\Phi$、磁束量子を $\Phi_0 = h/e$ とし

$$\theta = \frac{\Phi}{\Phi_0}$$

とおくと、$T_1$ と $T_2$ を交換すると閉じた 1 プラケットを回ることになり、Aharonov–Bohm 位相 $e^{2\pi i\theta}$ が現れます。すなわち

$$T_2T_1 = e^{2\pi i\theta}\,T_1T_2 .$$

これは Definition 3.1 の関係そのものです。したがって一様磁場中の格子電子の観測量の代数は非可換トーラス $A_\theta$ であり、$\theta$ は磁束量子あたりの磁束という物理量です。最近接ホッピングのハミルトニアンは

$$H = U + U^{*} + V + V^{*} \;\in\; A_\theta$$

（Harper 作用素）で、$H = H^{*}$ です。

Example 7.2（Harper 作用素は概 Mathieu 作用素）

Proposition 3.2 の表現 $\pi_\varphi$ で $H$ を書き下します。$\xi = \sum_n \psi(n)e_n$ とすると $\pi_\varphi(V)\xi = \sum_n\psi(n)e_{n-1} = \sum_n \psi(n+1)e_n$ なので、$V$ は $\psi$ の平行移動 $(\psi \mapsto \psi(\cdot+1))$ として作用します。また $\pi_\varphi(U) + \pi_\varphi(U)^{*}$ は $e_n$ を $2\cos(2\pi(n\theta+\varphi))e_n$ 倍します。よって

$$(H\psi)(n) = \psi(n+1) + \psi(n-1) + 2\cos\big(2\pi(n\theta+\varphi)\big)\psi(n)$$

となり、これは結合定数 $1$（臨界点）の概 Mathieu 作用素です。$\theta$ が有理数 $p/q$ なら Bloch の定理から $H$ のスペクトルは高々 $q$ 本の帯になり、$\theta$ を横軸、スペクトルを縦軸に描いたものが Hofstadter が 1976 年に数値計算で見出した「Hofstadter の蝶」です。$\theta$ が無理数のときスペクトルは測度 $0$ の Cantor 集合になります（「Ten Martini 問題」、Avila–Jitomirskaya により全ての無理数 $\theta$ で解決）。

7.3. ギャップラベル定理

Cantor 集合のスペクトルには無数のギャップが開きます。そのギャップに「整数の組」というラベルが付く、というのが次の主張です。まず、$\tau$ が物理的に何であるかを確認します。

Proposition 7.3（標準トレースは単位体積あたりのトレース）

$\theta$ を無理数、$\pi_\varphi$ を Proposition 3.2 の表現とすると、すべての $a\in A_\theta$ に対し

$$\tau(a) = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{|n|\le N}\big\langle e_n,\ \pi_\varphi(a)\,e_n\big\rangle$$

が成り立ちます。

Proof（Proposition 7.3）

$\varphi_N(a)$ を右辺の $N$ 番目の項とすると、$\varphi_N$ は状態（正値・単位的・ノルム $1$）です。$a = U^mV^k$ で計算します。$\pi_\varphi(U^mV^k)e_n = \pi_\varphi(U^m)e_{n-k} = e^{2\pi i m((n-k)\theta+\varphi)}e_{n-k}$ なので、$k\ne0$ なら $e_n$ と直交し $\varphi_N(U^mV^k) = 0$ です。$k = 0$ のときは

$$\varphi_N(U^m) = \frac{1}{2N+1}\sum_{|n|\le N}e^{2\pi i m(n\theta+\varphi)} .$$

$m = 0$ ならこれは $1$。$m\ne0$ なら $\theta$ が無理数なので $e^{2\pi i m\theta}\ne1$ であり、等比数列の和として絶対値が $\dfrac{2}{(2N+1)\,|1-e^{2\pi i m\theta}|}$ 以下、よって $0$ に収束します。したがって $\mathcal{A}_\theta$ 上で $\varphi_N\to\tau$ です。$\|\varphi_N\| = 1 = \|\tau\|$ と $\mathcal{A}_\theta$ の稠密性から、一般の $a\in A_\theta$ でも $\varphi_N(a)\to\tau(a)$ が従います。

∎

右辺は「単位長さあたりのトレース」、固体物理の言葉では状態密度の積分そのものです。したがって射影 $P$ に対する $\tau(P)$ は、$P$ が張る状態の単位体積あたりの個数を意味します。

Corollary 7.4（ギャップラベル定理（非可換トーラスの場合））

$\theta$ を無理数、$H = H^{*}\in A_\theta$ を自己共役元とし、$E\in\mathbb{R}$ が $H$ のスペクトルのギャップに入っている（$E\notin\operatorname{sp}(H)$）とします。このとき積分状態密度

$$\mathcal{N}(E) = \tau\big(\chi_{(-\infty,E]}(H)\big)$$

は $(\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z})\cap[0,1]$ に属します。すなわち、ある整数 $m, n$ が存在して $\mathcal{N}(E) = m + n\theta$ です。

Proof（Corollary 7.4）

$K = \operatorname{sp}(H)\subseteq\mathbb{R}$ はコンパクトで $E\notin K$ なので、$K$ は $K_- = K\cap(-\infty,E)$ と $K_+ = K\cap(E,\infty)$ という互いに素な 2 つのコンパクト集合に分かれます。関数 $\chi_{(-\infty,E]}$ を $K$ に制限すると、$K_-$ 上で $1$、$K_+$ 上で $0$ という連続関数になります（不連続点 $E$ が $K$ に属さないため）。よって連続関数計算により $P_E = \chi_{(-\infty,E]}(H)$ は $C^{*}(H, 1)\subseteq A_\theta$ の元として定まります。実数値かつ $\chi^2 = \chi$ なので $P_E$ は射影です。

したがって $[P_E]\in K_0(A_\theta)$ であり、Theorem 6.1 より $\tau(P_E) = \tau_*[P_E]\in\mathbb{Z}+\theta\mathbb{Z}$ です。$0\le P_E\le 1$ と $\tau$ が状態であることから $0\le\tau(P_E)\le1$ です。

∎

Remark 7.5

Corollary 7.4 の整数 $n$（$\mathcal{N}(E) = m+n\theta$ における $\theta$ の係数）には物理的な意味があります。Connes の巡回コホモロジーを使うと、$A_\theta^{\infty}$ 上の巡回 2-コサイクル

$$\varphi(a_0,a_1,a_2) = \frac{1}{2\pi i}\,\tau\Big(a_0\big(\delta_1(a_1)\delta_2(a_2)-\delta_2(a_1)\delta_1(a_2)\big)\Big)$$

と $K_0$ との対 $\langle\varphi,[P]\rangle$ が定義でき、これが整数値を取ります（非可換 Chern 数）。$P = P_E$ に対するこの整数がちょうど $n$ であり、同時に Kubo 公式から計算される Hall 伝導度の $e^2/h$ 単位での値になります。これが TKNN（Thouless–Kohmoto–Nightingale–den Nijs）による Hall 伝導度の整数量子化の非可換幾何学的な説明です。証明は Bellissard–van Elst–Schulz-Baldes の総説論文にあり、対の整数性は指数定理の一形態として理解されます（指数定理への応用の 非可換トーラスと整数量子ホール効果（Example 4.10）［指数定理への応用］）。

Note

ここで起きたことを整理します。無理数 $\theta$ という「連続パラメータ」が、$K$ 群という離散不変量を通じて $\mathcal{N}(E) = m+n\theta$ という形で観測量に現れ、$m, n$ は整数なので摂動に対して安定です。実験で見える Hall 伝導度のプラトーの精度は、この整数性に由来します。可換な位相空間では射影の連続族は自明になってしまうため、この現象は非可換な座標環がなければ記述できません。

8. 演習

Exercise 8.1標準

$\theta = p/q$（$\gcd(p,q)=1$, $q\ge1$）とします。$A_{p/q}$ の中心が $U^{q}, V^{q}$ で生成される部分代数（$\cong C(\mathbb{T}^2)$）に一致することを示してください。

Solution

$z\in A_{p/q}$ を中心の元とします。特に $UzU^{*} = z$ かつ $VzV^{*} = z$ です。Theorem 4.5 の証明中の計算より $U(U^mV^n)U^{*} = \lambda^{-n}U^mV^n$、$V(U^mV^n)V^{*} = \lambda^{m}U^mV^n$ でした（この計算は $\theta$ の有理性に依りません）。$z$ のフーリエ係数を $z_{mn} = \tau(z(U^mV^n)^{*})$ とします。$U^{*}(U^mV^n)^{*}U = \big(U^{*}(U^mV^n)U\big)^{*} = \big(\lambda^{n}U^mV^n\big)^{*} = \lambda^{-n}(U^mV^n)^{*}$ なので、$\tau$ のトレース性から

$$z_{mn} = \tau\big(UzU^{*}(U^mV^n)^{*}\big) = \tau\big(z\,U^{*}(U^mV^n)^{*}U\big) = \lambda^{-n}\,z_{mn}$$

です。$\lambda^{n} = e^{2\pi i np/q}$ が $1$ になるのは $q \mid n$ のときに限る（$\gcd(p,q)=1$ による）ので、$q\nmid n$ なら $z_{mn} = 0$。$V$ による同じ議論から $q\nmid m$ でも $z_{mn} = 0$ です。よって $z$ のフーリエ係数は $q\mathbb{Z}\times q\mathbb{Z}$ 上にしか台をもちません。

逆に、$U^{q}$ と $V^{q}$ は中心に属します。実際 $VU^{q} = \lambda^{q}U^{q}V = U^{q}V$（$\lambda^q = e^{2\pi i p}=1$）であり、$U$ とは自明に可換なので、生成元と可換、したがって $A_{p/q}$ 全体と可換です。$U^{q}, V^{q}$ は可換なユニタリなので、Example 3.4 と同じ議論で $C^{*}(U^q,V^q)\cong C(\mathbb{T}^2)$ です。

最後に、係数の台が $q\mathbb{Z}\times q\mathbb{Z}$ に入る元が $B = C^{*}(U^q,V^q)$ に属することを見ます。有限部分群 $\frac{1}{q}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ 上のゲージ平均

$$F(a) = \frac{1}{q^{2}}\sum_{j,k=0}^{q-1}\sigma_{(j/q,\,k/q)}(a)$$

を考えます（Proposition 4.1）。$\sigma$ が $U^mV^n$ を $e(mj/q+nk/q)$ 倍することと 1 の冪根の和の公式から、$F$ は $q\mid m$ かつ $q\mid n$ の項をそのまま残し、他を消します。よって $F(A_{p/q}) = B$ であり、$F(z)$ と $z$ のフーリエ係数は一致するので Corollary 4.4 から $z = F(z)\in B$ です。以上より $Z(A_{p/q}) = B\cong C(\mathbb{T}^2)$ で、中心が $\mathbb{C}$ より大きいので $A_{p/q}$ は単純ではありません。

Exercise 8.2易

$a, b\in A_\theta^{\infty}$ に対し部分積分の公式

$$\tau\big(\delta_j(a)\,b\big) = -\,\tau\big(a\,\delta_j(b)\big)\qquad (j = 1,2)$$

を示し、これを使って $\delta_j$ が $L^2(A_\theta,\tau)$ 上で歪対称（$\langle\delta_j x, y\rangle = -\langle x,\delta_j y\rangle$）であること、したがって $D_j = -i\delta_j$ が対称であることを確かめてください。

Solution

Proposition 5.2(3) より $\tau(\delta_j(ab)) = 0$ です。$\delta_j$ は導分（同(1)）なので $\delta_j(ab) = \delta_j(a)b + a\delta_j(b)$、両辺に $\tau$ を施して

$$0 = \tau(\delta_j(a)b) + \tau(a\,\delta_j(b))$$

となり、部分積分の公式が出ます。

歪対称性を見ます。$x, y\in A_\theta^{\infty}$ に対し $\langle\delta_j x, y\rangle = \tau(y^{*}\delta_j(x))$ です。部分積分の公式を $a = x$, $b = y^{*}$ に対して使うと

$$\tau\big(\delta_j(x)\,y^{*}\big) = -\tau\big(x\,\delta_j(y^{*})\big)$$

が得られます。 左辺はトレース性から $\tau(y^{*}\delta_j(x)) = \langle\delta_j x, y\rangle$ です。右辺は Proposition 5.2(2) の $\delta_j(y^{*}) = (\delta_j y)^{*}$ より $-\tau\big(x(\delta_j y)^{*}\big) = -\tau\big((\delta_j y)^{*}x\big) = -\langle x, \delta_j y\rangle$ です。すなわち

$$\langle \delta_j x, y\rangle = -\langle x, \delta_j y\rangle$$

です。よって $D_j = -i\delta_j$ に対しては

$$\langle D_j x, y\rangle = \langle -i\delta_j x, y\rangle = -i\langle\delta_j x,y\rangle = i\langle x,\delta_j y\rangle = \langle x, -i\delta_j y\rangle = \langle x, D_jy\rangle$$

となり（内積は第 2 変数について共役線形とする規約）、$D_j$ は対称です。

Exercise 8.3標準

$\theta$ を無理数とし、Example 7.2 の概 Mathieu 作用素 $H_{\theta,\varphi}$ を考えます。$\operatorname{sp}(H_{\theta,\varphi})$ が位相 $\varphi$ に依らないことを示してください。

Solution

$H = U+U^{*}+V+V^{*}\in A_\theta$ とおくと $H_{\theta,\varphi} = \pi_\varphi(H)$ です。Theorem 4.5(1) より $A_\theta$ は単純で、$\pi_\varphi$ は単位的なので $\pi_\varphi \ne 0$、したがって $\ker\pi_\varphi$ は $A_\theta$ 全体ではない閉両側イデアル、すなわち $\ker\pi_\varphi = \{0\}$ です。単射な *-準同型は等長で、像 $\pi_\varphi(A_\theta)$ は $B(\ell^2(\mathbb{Z}))$ の単位的 C*-部分代数です。

C*-代数のスペクトル置換不変性（単位的 C*-部分代数 $B\subseteq C$ と $b\in B$ に対し $\operatorname{sp}_B(b) = \operatorname{sp}_C(b)$）より

$$\operatorname{sp}_{B(\ell^2)}\big(\pi_\varphi(H)\big) = \operatorname{sp}_{\pi_\varphi(A_\theta)}\big(\pi_\varphi(H)\big) = \operatorname{sp}_{A_\theta}(H)$$

です。最後の等号は $\pi_\varphi$ が単位的な *-同型 $A_\theta\to\pi_\varphi(A_\theta)$ を与えることによります。右端は $\varphi$ を含まないので、スペクトルは $\varphi$ に依りません。

（物理的には、格子の原点をどこに取るかでハミルトニアンの見かけは変わるが、エネルギースペクトルは変わらない、という主張です。$\theta$ が有理数のときはこの議論は使えず、実際スペクトルは $\varphi$ に依存し得ます。単純性という代数的性質が物理的な帰結を持つ好例です。）

Exercise 8.4難

$\theta$ を無理数とすると、$A_\theta$ から $0$ でない有限次元 C*-代数への *-準同型は存在しないことを示してください。これを使って $A_\theta\not\cong A_{p/q}$（$p/q$ は有理数）を導いてください。

Solution

$\rho : A_\theta\to B$ を $0$ でない *-準同型、$B$ を有限次元 C*-代数とします。$\ker\rho$ は $A_\theta$ の閉両側イデアルで $A_\theta$ 自身ではないので、Theorem 4.5(1) より $\ker\rho = 0$、すなわち $\rho$ は単射です。よって $A_\theta$ は $B$ の部分代数と同型になり、有限次元でなければなりません。ところが Corollary 4.4 より $\{U^mV^n\}_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2}$ は 1 次独立な無限集合なので、$A_\theta$ は無限次元です。矛盾なので、そのような $\rho$ は存在しません。

（別証明。$B\ne0$ が有限次元なら $B$ は行列環の直和なので正規化トレース $\mathrm{tr}$ をもち、$\mathrm{tr}\circ\rho$ は $A_\theta$ のトレース状態です。Theorem 4.5(2) よりこれは $\tau$ に一致します。一方 $\mathrm{tr}$ は射影上で $\frac{1}{d}\mathbb{Z}$（$d$ は行列サイズの最小公倍数）に値を取りますが、Theorem 6.2 の射影 $e$ に対しては $\tau(e) = \theta\notin\mathbb{Q}$ となり矛盾します。）

$A_{p/q}$ は Example 3.5 より $M_q(\mathbb{C})$ への全射 *-準同型をもちます。もし $A_\theta\cong A_{p/q}$ なら、合成により $A_\theta$ から $M_q(\mathbb{C})$ への $0$ でない *-準同型ができ、上に矛盾します。よって $A_\theta\not\cong A_{p/q}$ です。

参考文献

• A. Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, 1994 — 第 II 章（葉層構造と C*-代数、Kronecker 葉層と非可換トーラス）、第 IV 章（非可換積分と Dixmier トレース）。本章の内容の原典にあたる部分です。
• K. R. Davidson, C*-Algebras by Example, Fields Institute Monographs 6, American Mathematical Society, 1996 — 第 VI 章「Irrational Rotation Algebras」。単純性・一意トレース・Powers–Rieffel 射影の詳細な証明が読めます。
• M. A. Rieffel, “C*-algebras associated with irrational rotations”, Pacific Journal of Mathematics 93 (1981) — 射影の構成と強森田同値による分類。
• M. Pimsner and D. Voiculescu, “Exact sequences for K-groups and Ext-groups of certain cross-product C*-algebras”, Journal of Operator Theory 4 (1980) — Theorem 6.1 で用いた 6 項完全系列の原論文。
• J. Bellissard, A. van Elst, H. Schulz-Baldes, “The noncommutative geometry of the quantum Hall effect”, Journal of Mathematical Physics 35 (1994) — ギャップラベル定理と Hall 伝導度の整数量子化の非可換幾何学的定式化。
• A. Avila and S. Jitomirskaya, “The Ten Martini Problem”, Annals of Mathematics 170 (2009) — 概 Mathieu 作用素のスペクトルが無理数 $\theta$ で Cantor 集合になることの証明。