結び目の補空間のホモロジーは結び目によらない

命題 4.8（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§4）・ ✓公理まで証明済み

$K\subset S^3$ を結び目とする。 $\tilde H_k(S^3\setminus K)$ は $k=1$ で $\mathbb{Z}$ 、ほかで $0$ である。 $H_1(S^3\setminus K)$ は、 $K$ の管状近傍の境界の上で $K$ を 1 回まわる閉曲線（メリディアン）の類で生成される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 126 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - 変位レトラクト定義 2.6・基本群と被覆空間
- 特異鎖のコンパクト性✓補題 2.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー（上で展開済み）
  - ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー（上で展開済み）
可縮な底空間上の束は自明✓系 2.5・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
  - 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性この先をたどる →
  - 引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
GL⁺ の弧状連結性✓補題 3.1・Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理
管状近傍の存在✓定理 3.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性この先をたどる →
  - 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性この先をたどる →
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
- ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
  - 法束は多様体✓補題 7.2・横断性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 部分集合の近くでの単射性✓補題 3.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジー
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジー
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間この先をたどる →
  - 重心細分の鎖ホモトピー✓補題 5.1・特異ホモロジー

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

結び目の補空間のホモロジーは結び目によらない

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）