数学 › 解析学（実解析） › 古典的な不等式と関数方程式

正則性のある加法的関数は線形

定理 2.6（「古典的な不等式と関数方程式」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Steinhaus の定理✓補題 2.5・古典的な不等式と関数方程式

  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • ルベーグ外測度定義 3.1・可測集合とルベーグ測度
  • ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性

    • 一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性

      • 一様連続性定義 6.1・連続関数と一様連続性
      • 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
    • ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性

      • 区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
    • 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
  • $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • $ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性 この先をたどる →
      • 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
      • 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度 この先をたどる →
      • 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
  • ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入

    • 本質的上限と $L^∞$ 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
    • チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
    • ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
• 区間で上に有界な加法的関数は連続✓補題 2.3・古典的な不等式と関数方程式

  • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列

    • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
    • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
  • 加法的関数は有理数倍と交換する✓命題 2.2・古典的な不等式と関数方程式
• 連続な加法的関数は線形✓命題 2.4・古典的な不等式と関数方程式

  • 加法的関数は有理数倍と交換する✓命題 2.2・古典的な不等式と関数方程式
  • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

    • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
    • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
  • 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性

    • 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 線形でない加法的関数の存在✓定理 2.7・古典的な不等式と関数方程式