数学 › 解析学（実解析） › 古典的な不等式と関数方程式
線形でない加法的関数の存在
選択公理を仮定する。線形でない加法的関数 が存在する。さらに、線形でない任意の加法的関数 について次が成り立つ。
- のグラフ は で稠密である。
- は、どの区間でも上にも下にも有界でなく、どの点でも連続でなく、ルベーグ可測でない。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 91 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
平方根 2 の無理性✓定理 7.5・証明の技術
- 偶数と奇数定義 7.2・証明の技術
平方が偶数なら元も偶数✓補題 7.4・証明の技術
- 基底の存在（Hamel 基底）✓定理 6.3・選択公理と Zorn の補題
- 加法的関数は有理数倍と交換する✓命題 2.2・古典的な不等式と関数方程式
正則性のある加法的関数は線形✓定理 2.6・古典的な不等式と関数方程式
Steinhaus の定理✓補題 2.5・古典的な不等式と関数方程式
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- ルベーグ外測度定義 3.1・可測集合とルベーグ測度
- ルベーグ可測集合（カラテオドリの条件）定義 4.1・可測集合とルベーグ測度
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
ハイネ・カントールの定理✓定理 7.1・連続関数と一様連続性
- 一様連続性の基本性質✓命題 6.2・連続関数と一様連続性 この先をたどる →
- ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性 この先をたどる →
- 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
は で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
- のルベーグ測度は Radon でボレル正則✓命題 5.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
- Radon 測度定義 3.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
- Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
- ミンコフスキーの不等式✓定理 4.5・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入
- 本質的上限と 空間定義 3.2・L^p 空間と関数解析への導入
- チェビシェフの不等式と正定値性✓補題 3.3・L^p 空間と関数解析への導入 この先をたどる →
- ヤングの不等式✓補題 4.1・L^p 空間と関数解析への導入
区間で上に有界な加法的関数は連続✓補題 2.3・古典的な不等式と関数方程式
アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列
- 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
- 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
- 加法的関数は有理数倍と交換する✓命題 2.2・古典的な不等式と関数方程式
連続な加法的関数は線形✓命題 2.4・古典的な不等式と関数方程式
- 加法的関数は有理数倍と交換する✓命題 2.2・古典的な不等式と関数方程式
連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
- 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。