数学 › 作用素環と量子統計力学 › 状態の凸分解有料章

Bauer 単体の特徴づけ

命題 5.9（「状態の凸分解」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 70 件、定義なども含めて 80 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 可換 C* 環の状態と確率測度✓補題 3.9・C* 環の状態と GNS 構成

  • 連続関数のスペクトルは値域✓補題 3.5・C*-代数の基礎
  • 正元と順序定義 2.1・C* 環の状態と GNS 構成
  • 正値汎関数の基本性質✓命題 3.2・C* 環の状態と GNS 構成

    • コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
    • 正錐の基本性質✓命題 2.2・C* 環の状態と GNS 構成

      • 連続関数計算✓系 6.3・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • 指標の基本性質✓補題 5.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
      • C*-等式から従うこと✓命題 4.2・C*-代数の基礎 この先をたどる →
  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • Carathéodory の定理（外測度から測度へ）✓定理 3.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
  • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間

    • コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間

      • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 一点コンパクト化の性質✓定理 3.2・局所コンパクト空間

      • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性

      • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性 この先をたどる →
    • ウリゾーンの補題✓補題 6.1・分離公理と距離づけ可能性 この先をたどる →
  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • GNS 表現の一意性✓定理 4.2・C* 環の状態と GNS 構成

    • GNS 構成✓定理 4.1・C* 環の状態と GNS 構成 この先をたどる →
• 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

  • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • ディニの定理✓定理 4.3・関数列と一様収束 この先をたどる →
• Choquet の定理（距離化可能な場合）✓定理 4.4・状態の凸分解

  • 狭義凸関数の存在✓補題 4.2・状態の凸分解

    • 双対空間は点を分離する✓系 4.4・局所凸空間と弱位相 この先をたどる →
  • Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
  • 端点の集合は $G_δ$✓補題 4.1・状態の凸分解

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• KMS 状態の単体✓系 6.6・状態の凸分解
• 中心分解（中心が原子的な場合）✓定理 7.2・状態の凸分解