数学 › 作用素環と量子統計力学 › 状態の凸分解有料章

中心分解（中心が原子的な場合）

定理 7.2（「状態の凸分解」§7） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 88 件、定義なども含めて 100 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 可換子と射影による縮小✓補題 7.1・状態の凸分解
• 射影の線形包の稠密性✓系 4.2・von Neumann 環と二重可換子定理

  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算

      • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算

      • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算

      • Fejér–Riesz の定理✓定理 4.1・Toeplitz 作用素と Szegő の極限定理
      • Stone–Weierstrass の定理（複素数値）✓定理 4.7・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
      • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
      • 単位円上の測度は連続関数の積分で決まる✓補題 5.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • リースの表現定理✓定理 4.2・Hilbert 空間の基礎 この先をたどる →
      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
  • 関数計算で閉じていること✓命題 4.1・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
• GNS 表現の一意性✓定理 4.2・C* 環の状態と GNS 構成

  • GNS 構成✓定理 4.1・C* 環の状態と GNS 構成

    • 正値汎関数の基本性質✓命題 3.2・C* 環の状態と GNS 構成

      • コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式✓命題 2.2・Hilbert 空間の基礎
      • 正錐の基本性質✓命題 2.2・C* 環の状態と GNS 構成 この先をたどる →
• 重心と表現測度定義 2.1・状態の凸分解
• Bauer 単体の特徴づけ✓命題 5.9・状態の凸分解

  • 可換 C* 環の状態と確率測度✓補題 3.9・C* 環の状態と GNS 構成

    • 連続関数のスペクトルは値域✓補題 3.5・C*-代数の基礎
    • 正元と順序定義 2.1・C* 環の状態と GNS 構成
    • 正値汎関数の基本性質✓命題 3.2・C* 環の状態と GNS 構成（上で展開済み）
    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

      • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
      • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
      • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • Urysohn の補題（台がコンパクトな版）✓定理 4.1・局所コンパクト空間 この先をたどる →
    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • GNS 表現の一意性✓定理 4.2・C* 環の状態と GNS 構成（上で展開済み）
  • 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
  • Stone–Weierstrass の定理（実数値）✓定理 4.3・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass

    • 絶対値関数の多項式による一様近似✓補題 4.1・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass この先をたどる →
  • Choquet の定理（距離化可能な場合）✓定理 4.4・状態の凸分解

    • 狭義凸関数の存在✓補題 4.2・状態の凸分解 この先をたどる →
    • Hahn–Banach の拡張定理（実）✓定理 3.2・Banach 空間の基本定理
    • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理（上で展開済み）
    • 端点の集合は $G_δ$✓補題 4.1・状態の凸分解

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。