数学 › 作用素環と量子統計力学 › 冨田–竹崎理論とモジュラー群有料章

竹崎の一意性定理

定理 5.4（「冨田–竹崎理論とモジュラー群」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 281 件、定義なども含めて 319 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 正規状態の特徴づけ✓定理 5.3・von Neumann 環と二重可換子定理

  • Vigier の定理（単調収束）✓補題 5.1・von Neumann 環と二重可換子定理

    • von Neumann 環の位相的特徴づけ✓系 3.4・von Neumann 環と二重可換子定理 この先をたどる →
  • 4 つの位相の関係✓命題 2.2・von Neumann 環と二重可換子定理

    • 3 つの位相の強弱✓命題 5.2・有界作用素と共役作用素
    • トレースによる双対性✓定理 7.8・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Schatten クラスの基本性質✓定理 7.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • 特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス この先をたどる →
    • Banach–Alaoglu の定理✓定理 7.3・Banach 空間の基本定理 この先をたどる →
• 竹崎の一意性定理（巡回分離ベクトルの場合）✓定理 8.3・冨田–竹崎の定理の証明

  • 周期的な境界値をもつ帯上の有界正則関数✓補題 8.1・冨田–竹崎の定理の証明

    • モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
    • グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
    • リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質 この先をたどる →
  • Stone の定理✓定理 3.1・1 径数ユニタリ群と強連続半群

    • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
    • 自己共役作用素が定めるユニタリ群✓命題 2.2・1 径数ユニタリ群と強連続半群
  • ユニタリ共役とスペクトル測度✓補題 2.2・冨田–竹崎の定理の証明

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 反線形閉作用素の極分解✓補題 2.1・冨田–竹崎の定理の証明

    • スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 閉作用素の極分解✓定理 9.2・ベクトル値解析と関数計算 この先をたどる →
    • von Neumann の定理✓定理 9.1・ベクトル値解析と関数計算 この先をたどる →
  • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 結合スペクトル測度と同時対角化✓定理 7.3・スペクトル定理と関数計算

    • 自己共役作用素の（強）可換性定義 7.1・スペクトル定理と関数計算
    • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
    • 有限加法的な関数の単調性と劣加法性✓補題 4.1・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • Carathéodory の拡張定理（一般形）✓定理 4.2・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →
    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 射影値測度（スペクトル測度）定義 3.1・スペクトル定理と関数計算
    • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    • スペクトル定理（射影値測度版）✓定理 5.5・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
    • スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算

    • 非有界関数のスペクトル積分定義 4.2・スペクトル定理と関数計算
    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 冨田–竹崎の定理（一般の場合）✓定理 7.3・冨田–竹崎の定理の証明

    • ねじれた包含✓命題 7.2・冨田–竹崎の定理の証明 この先をたどる →
    • 巡回性と分離性の双対性✓補題 2.2・冨田–竹崎理論とモジュラー群
    • 可換子のモジュラー対象✓系 3.2・冨田–竹崎の定理の証明 この先をたどる →
    • モジュラー作用素の基本関係✓命題 3.4・冨田–竹崎理論とモジュラー群 この先をたどる →
  • 帯の境界値と Gauss 関数による検定✓補題 8.2・冨田–竹崎の定理の証明

    • グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式 この先をたどる →
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• KMS 状態のモジュラー群は時間発展✓命題 4.3・KMS 状態と熱平衡
• KMS 状態の Liouvillean とモジュラー作用素✓命題 2.8・Liouvillean と熱平衡への回帰