Poincaré–Bendixson の定理

定理 5.4（「安定性・力学系・特性曲線法」§5）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^2$ 上の $C^1$ 級自励系 (A) について、 $x_0$ の前方軌道がコンパクト集合 $K\subset U$ に含まれ、 $\omega(x_0)$ が平衡点を含まないなら、 $\omega(x_0)$ は周期軌道（閉軌道）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 83 件、定義なども含めて 98 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ω 極限集合の性質✓補題 5.2・安定性・力学系・特性曲線法
- 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
横断線分への到達✓補題 5.5・安定性・力学系・特性曲線法
- 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
    ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
    距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間（上で展開済み）
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 陰関数定理✓定理 5.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
    縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - 連鎖律（ヤコビ行列の積）✓定理 9.4・多変数関数の微分と偏微分
    連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    全微分可能性の基本性質（n 変数・ベクトル値）✓命題 9.2・多変数関数の微分と偏微分
横断点の単調性✓補題 5.6・安定性・力学系・特性曲線法
- Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Poincaré–Bendixson の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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