ω 極限集合の性質

補題 5.2（「安定性・力学系・特性曲線法」§5）・ ✓公理まで証明済み

前方軌道 $\{\varphi_t(x_0):t\ge0\}$ がコンパクト集合 $K\subset U$ に含まれるなら、 $\omega(x_0)$ は空でないコンパクト連結集合で、不変である： $y\in\omega(x_0)$ なら $\varphi_t(y)\in\omega(x_0)$ （すべての $t\in\mathbb{R}$ ）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 36 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）

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Poincaré–Bendixson の定理✓定理 5.4・安定性・力学系・特性曲線法

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閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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