既約多項式の個数（Gauss）
すべての について
が成り立つ。ここで和は の正の約数 をわたり、 は数論の Möbius 関数（ が相異なる 個の素数の積なら 、平方因子をもてば 、）である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 58 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
の既約分解✓定理 5.2・有限体の構造
拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 体からの環準同型は単射✓定理 7.5・環と体の基礎 この先をたどる →
- 同型の拡張✓補題 6.5・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造
- フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
- 有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- 巡回群の構造✓命題 6.5・群論入門 この先をたどる →
- 体の乗法群の有限部分群は巡回群✓定理 7.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造（上で展開済み）
- 部分体の束✓定理 4.2・有限体の構造 この先をたどる →
- 有限巡回群の元の位数と部分群✓補題 2.3・有限体の構造 この先をたどる →
- q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造（上で展開済み）
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- が を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
有限体の元は の根全体✓命題 2.4・有限体の構造
- 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類
- 元の位数と巡回部分群の大きさ✓命題 4.2・部分群と剰余類
- 生成される巡回部分群と元の位数定義 4.1・部分群と剰余類
- ラグランジュの定理✓定理 6.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
- 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
- Möbius 反転公式✓定理 3.1・半順序集合と Möbius 反転
ブール束と約数の束の Möbius 関数✓命題 3.3・半順序集合と Möbius 反転
- Möbius 関数定義 2.5・半順序集合と Möbius 反転
直積の Möbius 関数✓命題 3.2・半順序集合と Möbius 反転
- 接続代数は環で、可逆性は対角成分で決まる✓補題 2.4・半順序集合と Möbius 反転
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 既約多項式は必ず存在し、ほぼ qⁿ/n 個ある✓系 5.6・有限体の構造