Möbius 関数

定義 2.5（「半順序集合と Möbius 反転」§2）

$\zeta$ は対角成分が $1$ なので補題 2.4 により可逆である。その逆元 $\mu=\zeta^{-1}$ を $P$ の Möbius 関数という。定義式は $\zeta*\mu=\mu*\zeta=\delta$ 、すなわち

\mu(x,x)=1,\qquad \sum_{x\le z\le y}\mu(z,y)=\sum_{x\le z\le y}\mu(x,z)=0\quad(x\lt y)

である。とくに $\mu(x,y)=-\sum_{x\le z\lt y}\mu(x,z)$ という漸化式で計算できる。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。