数学 › 有限体と符号 › 有限体の構造

既約多項式は必ず存在し、ほぼ qⁿ/n 個ある

系 5.6（「有限体の構造」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 49 件、定義なども含めて 59 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 既約多項式の個数（Gauss）✓定理 5.5・有限体の構造

  • $x^{q^n} − x$ の既約分解✓定理 5.2・有限体の構造

    • 拡大体の存在と一意性✓命題 2.7・有限体の構造

      • 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
      • 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 次数の連鎖律✓命題 6.1・多項式環と体の拡大
      • q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造 この先をたどる →
      • フロベニウス写像✓補題 7.1・多項式環と体の拡大
    • 既約多項式の根✓定理 5.1・有限体の構造

      • 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造（上で展開済み）
      • 有限体の拡大の Galois 群✓定理 4.4・有限体の構造 この先をたどる →
      • q 乗で動かない元は部分体をなす✓補題 2.5・有限体の構造 この先をたどる →
      • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
      • 既約多項式による構成✓命題 2.6・有限体の構造 この先をたどる →
      • $x^m − 1$ が $x^n − 1$ を割り切る条件✓補題 4.1・有限体の構造
    • 有限体の元は $x^q − x$ の根全体✓命題 2.4・有限体の構造

      • 有限体の存在と一意性✓定理 7.2・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
      • 元の位数は群の位数を割る✓系 7.1・部分群と剰余類 この先をたどる →
      • 因数定理と根の個数✓補題 2.2・有限体の構造
  • Möbius 反転公式✓定理 3.1・半順序集合と Möbius 反転
  • ブール束と約数の束の Möbius 関数✓命題 3.3・半順序集合と Möbius 反転

    • Möbius 関数定義 2.5・半順序集合と Möbius 反転
    • 直積の Möbius 関数✓命題 3.2・半順序集合と Möbius 反転

      • 接続代数は環で、可逆性は対角成分で決まる✓補題 2.4・半順序集合と Möbius 反転

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。