数学 › スペクトル・散乱理論 › 場の模型の Mourre 理論と漸近完全性有料章

弱結合での Mourre 評価

定理 4.4（「場の模型の Mourre 理論と漸近完全性」§4） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 137 件、定義なども含めて 162 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 模型の正則性✓命題 4.2・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性

  • 消滅作用素の $dΓ(T)^{1/2}$ による評価✓補題 2.2・van Hove 模型

    • スペクトル定理（掛け算作用素版）✓定理 5.7・スペクトル定理と関数計算

      • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間

      • Hilbert 空間のテンソル積定義 3.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • テンソル積上の内積✓命題 3.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
      • L²(X)⊗L²(Y) ≅ L²(X×Y)✓定理 3.5・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • dΓ(A) のスペクトル✓定理 7.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • 消滅作用素と生成作用素定義 4.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
    • 部分内積の性質✓補題 4.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • $S_n$ と $A_n$ は直交射影✓定理 3.4・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 生成・消滅作用素のノルムの関係✓系 6.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素

      • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 正準交換関係✓定理 5.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 数作用素の基本性質✓命題 3.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
      • 数作用素による相対評価✓定理 6.1・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
    • 生成・消滅作用素の閉性と共役関係✓定理 4.3・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素 この先をたどる →
  • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定

    • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  • dΓ のユニタリ共変性✓命題 4.4・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役作用素はユニタリ群で決まる✓補題 2.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • 膨張による共役✓補題 2.2・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性

    • C¹(A) の判定法✓補題 2.2・正則性クラスと抽象共役作用素法 この先をたどる →
  • 第二量子化の交換子✓補題 2.3・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性

    • dΓ(A) と生成・消滅作用素の交換関係✓定理 5.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
    • dΓ(A) の下界と数作用素による評価✓命題 6.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A) この先をたどる →
  • Mourre の条件から C¹(A) へ✓命題 2.6・正則性クラスと抽象共役作用素法

    • 交換子の積分表示✓補題 3.1・Mourre 評価と極限吸収原理
    • C¹(A) の判定法✓補題 2.2・正則性クラスと抽象共役作用素法 この先をたどる →
• Helffer–Sjöstrand 公式✓補題 3.1・正則性クラスと抽象共役作用素法

  • グリーンの定理✓定理 6.1・ベクトル解析と積分定理

    • 線積分のパラメータ不変性✓命題 3.2・ベクトル解析と積分定理 この先をたどる →
    • 縦線集合上の累次積分✓定理 5.6・重積分と累次積分 この先をたどる →
    • 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
  • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算

    • 有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
    • ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
• 結合のない系の Mourre 評価✓定理 4.3・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性

  • 有質量自由場の Mourre 評価✓定理 3.1・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性

    • 膨張による共役✓補題 2.2・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性（上で展開済み）
    • 第二量子化の交換子✓補題 2.3・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性（上で展開済み）
    • 固有値の有限性（C¹(A) 版）✓系 4.2・正則性クラスと抽象共役作用素法 この先をたどる →

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• 弱結合でのスペクトル✓系 4.5・場の模型の Mourre 理論と漸近完全性