数学 › 確率論 › Feller 過程と Feynman–Kac

基底状態変換

定理 5.4（「Feller 過程と Feynman–Kac」§5） ・ ✓公理まで証明済み

VV を Rd\mathbb{R}^d 上の有界かつ一様連続な関数とし、ψ∈C2(Rd)\psi\in C^2(\mathbb{R}^d) は ψ>0\psi>0 で、ψ\psi と 2 階までの偏導関数が有界であり、ある E∈RE\in\mathbb{R} について

−12Δψ+Vψ=Eψ-\tfrac12\Delta\psi+V\psi=E\psi

を満たすとする。このとき

  1. すべての t≥0t\ge0 で TtVψ=e−EtψT^V_t\psi=e^{-Et}\psi。
  2. Ptψf=eEtψ−1TtV(ψf)P^\psi_tf=e^{Et}\psi^{-1}T^V_t(\psi f) は Markov 半群である。
  3. f∈Cc2(Rd)f\in C^2_c(\mathbb{R}^d) なら、各点 xx で lim⁡t↓0Ptψf(x)−f(x)t=12Δf(x)+∇log⁡ψ(x)⋅∇f(x)\displaystyle\lim_{t\downarrow0}\frac{P^\psi_tf(x)-f(x)}{t}=\frac12\Delta f(x)+\nabla\log\psi(x)\cdot\nabla f(x)。
  4. さらに ψ∈L2(Rd)\psi\in L^2(\mathbb{R}^d) なら、測度 ψ(x)2dx\psi(x)^2dx は (Ptψ)(P^\psi_t) の不変測度である：有界可測な ff について ∫Ptψf ψ2dx=∫fψ2dx\int P^\psi_tf\,\psi^2dx=\int f\psi^2dx。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 189 件、定義なども含めて 215 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

関連するノック 2 問