Kato クラスのポテンシャルの Feynman–Kac 半群

定理 4.6（「Feller 過程と Feynman–Kac」§4）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を Kato クラスの関数とする。

定数 $C,c$ があって $\sup_xE_x\bigl[e^{\int_0^t|V(X_s)|ds}\bigr]\le Ce^{ct}$ （すべての $t\ge0$ ）。特に $P_x$ -ほとんど確実に $\int_0^t|V(X_s)|ds<\infty$ 。
有界可測な $f$ について $T^V_tf$ は well-defined で $\|T^V_tf\|_\infty\le Ce^{ct}\|f\|_\infty$ 、かつ $T^V_{t+s}=T^V_tT^V_s$ 。
$V_n$ が可測で $|V_n|\le|V|$ 、ルベーグ測度についてほとんど至るところ $V_n\to V$ ならば、すべての $t>0$ 、 $x$ と有界可測な $f$ について $T^{V_n}_tf(x)\to T^V_tf(x)$ 。特に $V$ の切断 $V_n=\max(-n,\min(V,n))$ について成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 152 件、定義なども含めて 178 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Khasminskii の補題✓補題 4.5・Feller 過程と Feynman–Kac
- Brown 運動の Markov 性✓定理 2.2・Feller 過程と Feynman–Kac
  - Brown 運動と Wiener 測度の存在✓定理 7.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
    Gauss 過程の存在✓定理 5.3・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
    Kolmogorov の連続性定理✓定理 6.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
    ブラウン運動のガウス過程による特徴づけ✓命題 5.5・マルチンゲールとブラウン運動この先をたどる →
    連続関数の空間✓補題 7.1・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理この先をたどる →
    直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
    測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 有限直積のボレル集合族✓補題 2.2・Kolmogorov の拡張定理と連続性定理
  - 独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
Feynman–Kac 半群の半群性✓補題 4.1・Feller 過程と Feynman–Kac
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
  - 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
- Brown 運動の Markov 性✓定理 2.2・Feller 過程と Feynman–Kac（上で展開済み）

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基底状態変換✓定理 5.4・Feller 過程と Feynman–Kac

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