Cameron–Martin の定理

系 4.4（「Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\dot h\in L^2([0,T];\mathbb{R}^d)$ を決定的な関数とし、 $h(t)=\int_0^t\dot h(u)\,du$ とおきます。 $C([0,T];\mathbb{R}^d)$ 上の座標写像が生成する σ-加法族について可測な有界関数 $F$ に対し

\mathbb{E}\bigl[F(W+h)\bigr]=\mathbb{E}\Bigl[F(W)\exp\Bigl(\int_0^T\dot h(u)\cdot dW_u-\frac12\int_0^T|\dot h(u)|^2du\Bigr)\Bigr].

特に、 $W+h$ の法則は $W$ の法則（Wiener 測度）と互いに絶対連続です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 124 件、定義なども含めて 147 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Girsanov の定理✓定理 4.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
- Novikov の条件✓定理 3.3・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
  - 有界な指数のマルチンゲール性✓定理 3.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理（上で展開済み）
  - 確率収束から L¹ 収束へ✓補題 2.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
    ボレル・カンテリの補題（第一）✓補題 4.4・大数の法則と中心極限定理
    ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
    ヘルダーの不等式✓定理 4.2・L^p 空間と関数解析への導入この先をたどる →
    Scheffé の補題✓補題 4.3・特性関数と Gauss ベクトル
- d 次元 $(F_t)$ -Brown 運動定義 2.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
- 特性関数による独立性と分布の判定✓補題 6.2・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
  - 正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル
    ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
    特性関数の基本性質✓命題 2.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
  - 一意性定理と反転公式✓定理 3.3・特性関数と Gauss ベクトル
    Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
    有界連続関数は分布を決める✓補題 3.2・特性関数と Gauss ベクトルこの先をたどる →
- 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値
  - 線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
  - 条件付き単調収束定理✓補題 4.3・条件付き期待値
    線形性・単調性・絶対値✓命題 4.1・条件付き期待値（上で展開済み）
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
- 有界な指数のマルチンゲール性✓定理 3.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
  - 独立な変数の凍結✓補題 2.1・Feller 過程と Feynman–Kac
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - Gauss 分布の複素指数モーメント✓補題 2.2・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    正規分布の特性関数✓補題 2.3・特性関数と Gauss ベクトル（上で展開済み）
  - 既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
  - タワー・プロパティ✓定理 4.2・条件付き期待値
    条件付き期待値の存在と一意性✓定理 3.2・条件付き期待値この先をたどる →
  - 有界な単純過程による近似✓補題 2.3・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
    単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式この先をたどる →
  - 条件付き共分散等長性✓補題 3.1・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付け
    確率積分からの既知量の取り出し✓補題 2.4・多次元伊藤公式と Lévy の特徴付けこの先をたどる →
    伊藤積分の存在と基本性質✓定理 4.7・確率微分方程式この先をたどる →
    既知量の取り出し✓定理 4.4・条件付き期待値（上で展開済み）
    独立ならば条件づけは無意味✓命題 4.5・条件付き期待値この先をたどる →
    独立な可積分確率変数の積の期待値✓命題 7.5・確率変数と期待値この先をたどる →
    単純過程の稠密性✓補題 4.4・確率微分方程式この先をたどる →
  - 確率収束から L¹ 収束へ✓補題 2.1・Girsanov の定理とマルチンゲール表現定理（上で展開済み）
測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
- 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Cameron–Martin の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）