ハミルトン流はシンプレクティック

補題 7.4（「正準変換とポアソン括弧」§7）・ ✓公理まで証明済み

$H(\xi, t)$ を、 $\xi$ について 2 階までの偏導関数が $(\xi,t)$ の連続関数であるハミルトニアンとし、 $\Phi_t$ を時刻 $0$ の状態 $\xi_0$ をハミルトン方程式 $\dot\xi = J\nabla_\xi H$ の時刻 $t$ の解 $\xi(t)$ に写す写像（ハミルトン流）とする。 $\Phi_s(\xi_0)$ が $0\le s\le t$ （または $t\le s\le0$ ）で定義される点 $\xi_0$ のまわりで、 $\Phi_t$ は $C^1$ 級であり、そのヤコビ行列 $M(t) = \partial\Phi_t/\partial\xi_0$ は $M(t)JM(t)^{\mathsf{T}} = J$ かつ $\det M(t) = 1$ を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 61 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
- 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
- コンパクト集合上の連続関数の一様連続性✓補題 2.3・常微分方程式の初等解法
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
    閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
    部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間
    ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
  - 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
- 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
  - 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
  - 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分
    向き付き積分の加法性✓命題 4.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    定積分の基本性質✓命題 4.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 1 件

相空間の体積の保存（リウヴィルの定理）✓系 7.5・正準変換とポアソン括弧

ハミルトン流はシンプレクティック

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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