物理学 › フォック空間と第二量子化 › pull-through 公式と基底状態の一般論有料章

有質量の場の模型の HVZ 型評価と基底状態の存在

定理 5.5（「pull-through 公式と基底状態の一般論」§5） ・ ✓公理まで証明済み

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 110 件、定義なども含めて 128 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Γ̌ の基本性質✓補題 5.3・pull-through 公式と基底状態の一般論

  • 分散関係と局所化の交換子✓補題 5.2・pull-through 公式と基底状態の一般論

    • Hille の定理（閉作用素と積分の交換）✓定理 3.7・ベクトル値解析と関数計算

      • Bochner 積分の基本性質✓命題 3.6・ベクトル値解析と関数計算 この先をたどる →
• 結合作用素の相対評価✓補題 2.4・pull-through 公式と基底状態の一般論
• 自己共役性と一様な下界✓定理 2.5・pull-through 公式と基底状態の一般論

  • A⊗1+1⊗B の自己共役性とスペクトル✓定理 4.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

    • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • テンソル積の正規直交基底✓命題 3.3・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • 不変な稠密部分空間と芯✓補題 4.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
    • 掛け算作用素のスペクトル✓補題 2.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分

      • Weyl 列による判定✓補題 2.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
  • 結合作用素の相対評価✓補題 2.4・pull-through 公式と基底状態の一般論
  • Kato–Rellich の定理✓定理 3.2・自己共役性の判定

    • 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  • dΓ(A) の自己共役性と $Γ(e^{itA})$✓定理 4.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 自己共役作用素の直和✓補題 2.3・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

      • 自己共役性の基本判定✓定理 4.3・対称作用素と自己共役拡大 この先をたどる →
      • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)（上で展開済み）
      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算

      • 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
      • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 時間発展の一意性✓補題 2.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

      • ユニタリ群とレゾルベントの表示✓定理 6.3・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 第二量子化作用素 dΓ(A)定義 4.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)
    • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
    • Γ の関手性✓命題 3.2・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

      • テンソル積の基本性質✓命題 2.2・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 可換性の同値な言い換え✓命題 7.2・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 不変な稠密部分空間と芯✓補題 4.2・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
• Weyl の判定法✓定理 5.4・スペクトルの分類

  • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算

    • スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算 この先をたどる →
  • 本質スペクトルのスペクトル射影による特徴づけ✓命題 5.2・スペクトルの分類

    • スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算（上で展開済み）
    • 射影値測度の基本性質✓命題 3.2・スペクトル定理と関数計算
• 局所コンパクト性✓補題 5.4・pull-through 公式と基底状態の一般論

  • dΓ(A) の下界と数作用素による評価✓命題 6.1・第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)

    • 1 粒子作用素の和の自己共役性と簡約✓定理 6.5・対称・反対称テンソル積と多粒子の Hilbert 空間 この先をたどる →
    • 数作用素定義 3.2・ボソン Fock 空間と生成・消滅作用素
  • 弱収束をノルム収束に変える✓命題 3.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • f(x)g(p) 型作用素のコンパクト性✓補題 2.1・多体系と HVZ 定理

    • Hilbert–Schmidt 作用素と L² 積分核✓定理 6.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  • 有界作用素のテンソル積✓命題 4.1・Hilbert 空間のテンソル積と直積分
• 弱収束をノルム収束に変える✓命題 3.3・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
• 離散スペクトルと本質スペクトル定義 5.1・スペクトルの分類

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 有質量 Nelson 模型の HVZ 型定理✓定理 4.3・Nelson 模型と spin-boson 模型
• 質量ゼロ・赤外正則な場合の基底状態の存在（Gérard）✓定理 6.4・pull-through 公式と基底状態の一般論