QED の 1 ループのβ関数

定理 5.2（「QED の 1 ループ」§5）・ ✓公理まで証明済み

質量 $m$ の Dirac フェルミオン 1 種類の QED を最小引き算（MS）でくりこみ、 $e_0=\mu^{\varepsilon/2}Z_1Z_2^{-1}Z_3^{-1/2}e(\mu)$ でくりこまれた結合 $e(\mu)$ を定めると

\beta(e)=\mu\frac{de}{d\mu}=\frac{e^3}{12\pi^2}+O(e^5),\qquad \mu\frac{d\alpha}{d\mu}=\frac{2\alpha^2}{3\pi}+O(\alpha^3)

です。 $n_f$ 種類のフェルミオン（電荷 $Q_ie$ ）があれば係数は $\sum_iQ_i^2$ 倍になります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Ward–高橋恒等式（1 ループ）✓定理 3.2・QED の 1 ループ
- 湯川理論と QED のファインマン則✓定理 4.5・摂動論とファインマン則
  - φ⁴ 理論のファインマン則✓定理 4.4・摂動論とファインマン則
    Gell-Mann–Low の公式✓定理 2.3・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
    真空期待値の対分割公式✓系 3.4・摂動論とファインマン則この先をたどる →
    ファインマン図と対称因子定義 4.1・摂動論とファインマン則
    真空泡の因子化と相殺✓命題 4.2・摂動論とファインマン則
  - 散乱振幅は切り取った連結図の和である✓系 5.4・摂動論とファインマン則
    φ⁴ 理論のファインマン則✓定理 4.4・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
    LSZ 簡約公式✓定理 5.2・摂動論とファインマン則（上で展開済み）
    Källén–Lehmann 表示✓定理 5.1・Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式この先をたどる →
  - Gell-Mann–Low の公式✓定理 2.3・摂動論とファインマン則
    ダイソン級数✓命題 2.2・摂動論とファインマン則
    相互作用描像定義 2.1・摂動論とファインマン則
  - 縮約はファインマン伝播関数である✓補題 3.2・摂動論とファインマン則
    正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化この先をたどる →
    自由場の生成汎関数✓定理 5.2・経路積分量子化この先をたどる →
  - フェルミオンの Wick の定理✓命題 3.6・摂動論とファインマン則
    Wick の定理✓定理 3.3・摂動論とファインマン則この先をたどる →
  - ファインマンゲージの光子の伝播関数✓命題 6.1・電磁場の量子化とゲージ固定
  - LSZ 簡約公式✓定理 5.2・摂動論とファインマン則
    Haag–Ruelle の漸近状態の存在✓定理 4.1・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
    Haag–Ruelle 形の LSZ 公式✓定理 7.1・Haag–Ruelle の散乱理論この先をたどる →
    S 行列と不変振幅定義 5.1・摂動論とファインマン則
  - スピン和の公式✓定理 3.3・ディラック場の量子化
- 次元正則化の平行移動不変性✓補題 2.3・QED の 1 ループ
  - 次元正則化定義 2.2・QED の 1 ループ
  - ファインマン・パラメータの公式✓補題 2.1・QED の 1 ループ
Z₁ = Z₂✓系 3.4・QED の 1 ループ
- Ward–高橋恒等式（1 ループ）✓定理 3.2・QED の 1 ループ（上で展開済み）
- Gordon 恒等式✓補題 6.1・QED の 1 ループ
1 ループの真空偏極✓定理 4.2・QED の 1 ループ
- Ward–高橋恒等式（1 ループ）✓定理 3.2・QED の 1 ループ（上で展開済み）
- γ 行列のトレース✓補題 7.1・摂動論とファインマン則
- ファインマン・パラメータの公式✓補題 2.1・QED の 1 ループ
- 対称積分と d 次元の γ 行列✓補題 2.6・QED の 1 ループ
- 基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループ
  - 次元正則化定義 2.2・QED の 1 ループ

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

QED の 1 ループのβ関数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）