Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 1 部：適格な大場成分と N 回の予備積分

0. この記事の要点

4 次元の格子ゲージ理論で、場が大きく揺れている領域（大場）をどう扱うかを定める論文の、最初の準備の章です。大場は Wilson 作用からは十分な小ささを得られません。そこで積分を先に済ませて小場と同じ形に直す操作が必要になり、その土台を作ります。

• 4 次元では裸の結合が $g_0^{-2}\approx a+b\log\varepsilon^{-1}$ と対数でしか小さくならないため、大きなプラケット 1 枚が Wilson 作用から得る利得 $\exp(-p_0(g_0)^2/2)$ は $\varepsilon$ のどんな正の冪にも届かず、くりこみ群の全段数のごく一部しか制御できません（命題 1.4）。そこで大場の式そのものを「積分が等しい小場の式」に置き換える操作 R が必要になります。
• R の原型は $(\mathsf R\rho)(V)=\sum_Z\rho(Z'',V)\int\rho(Z,\cdot)/\int\rho(Z'',\cdot)$ で、全積分を保ちます（命題 1.6）。比を局所化・指数化すると、大場の寄与は小場の有効作用と同じ形の項 $\exp\sum_X\mathcal R(X,V)$ になります。
• 論文 §1 の前半は R の「基本段」の準備です。一辺 $100MR_k$ の立方体に入り、直前 $N$ 段に新しい大場を作らなかった成分（適格な成分）だけを選び、その中の最後の $N$ 段の積分のうち境界付近の部分を先に実行します。
• 予備積分のたびに新しい特性関数 $\chi^{(n)}_k$・$\chi'_j$ を入れると、古い 7 群の特性関数（ゲージ不変でないものを含む）はすべて 1 になります（等式 (1.29)、命題 6.6）。核心は係数 $1-\beta(1-2^{-m})$ と $L_0$ の冪の「余白」が、背景場の指数減衰で生じる誤差を吸収することで、$\alpha=1/8$ の算術で閉じます。
• 予備積分は大場領域の中に局在するので、作用には境界項 $\mathbb C^{(n)}_k$ だけが加わります。その解析延長は新しい複素配置の空間 $\tilde{\mathfrak U}^{(n)c}_k$ の上で定義され、$|\mathbb C^{(n)}_k(X)|\le C_0e^{-(1+3\beta)\kappa d_m(X)}$ を満たします（定理 8.7）。重なる $N_0=O(\log\log g_k^{-2})$ 個の寄与の累積は $4N_0^2\varepsilon_k$（原論文の書き方では $4N_0^2\delta'_k$）で抑えられます。

1. 動機

1.1. 大場プラケットの利得は 4 次元では足りない

T. Bałaban は 1984–88 年の一連の論文で、4 次元格子 Yang–Mills 理論にブロック平均型のくりこみ群を構成し、有限体積での紫外安定性を目指しました。各段で場は「小場」（プラケット変数が単位元に近い）と「大場」に分けられ、小場では有効作用を摂動的に展開し、大場では Wilson 作用の大きさから小さな因子を得て評価します。論文 [I]–[III]（CMP 109, 116, 119）で小場の側の構成（有効作用の局所化・くりこみ・クラスター展開）が済み、残った障害が大場の扱いでした。本論文 [IV] と続く [V]（CMP 122 の 175–202 と 355–392）がそれを解決します。

大場の利得を具体的に見ます。以下 $G\subset U(n_G)$ はコンパクト群、$|\cdot|$ は行列の作用素ノルム、$\operatorname{tr}$ は正規化しない跡です。

補題 1.1（Wilson 作用の項の下界）✓

$U\in U(n_G)$ に対して $\operatorname{Re}\operatorname{tr}(1-U)=\tfrac12\operatorname{tr}\bigl((1-U)^*(1-U)\bigr)\ge\tfrac12|U-1|^2$ が成り立つ。

証明（補題 1.1）

$U^*U=1$ なので $(1-U)^*(1-U)=1-U-U^*+U^*U=2-U-U^*$ です。跡をとると $\operatorname{tr}(2-U-U^*)=2\operatorname{Re}\operatorname{tr}(1-U)$ となり、等式が出ます。次に、任意の行列 $A$ と単位ベクトル $v$ について $|Av|^2=\langle v,A^*Av\rangle\le\operatorname{tr}(A^*A)$（$A^*A$ は半正定値で、その最大固有値は跡以下）なので $|A|^2\le\operatorname{tr}(A^*A)$ です。$A=1-U$ とすれば不等式が出ます。

∎

命題 1.2（大場プラケットの利得 (0.1)）✓

$0\lt g\lt1$、$A_0\gt0$、$p_0\in\mathbb N$ とし、$p_0(g)=A_0(\log g^{-2})^{p_0}$ とおく。プラケット $p$ の変数 $U(\partial p)\in G$ が $|U(\partial p)-1|\ge g\,p_0(g)$ を満たせば

$$\exp\Bigl[-\frac1{g^2}\operatorname{Re}\operatorname{tr}\bigl(1-U(\partial p)\bigr)\Bigr]\le\exp\Bigl(-\frac{p_0(g)^2}2\Bigr).$$

特に $p_0(g)\ge2$ ならば右辺は $\exp(-p_0(g))=(g^2)^{A_0(\log g^{-2})^{p_0-1}}$ 以下である。

証明（命題 1.2）

補題 1.1 により $g^{-2}\operatorname{Re}\operatorname{tr}(1-U(\partial p))\ge|U(\partial p)-1|^2/(2g^2)\ge p_0(g)^2/2$ です。指数関数は単調なので第 1 の不等式が出ます。$p_0(g)\ge2$ なら $p_0(g)^2/2\ge p_0(g)$ です。最後に $y=\log g^{-2}$ とおくと $\exp(-A_0y^{p_0})=(e^{-y})^{A_0y^{p_0-1}}=(g^2)^{A_0y^{p_0-1}}$ です。

∎

注意 1.3（原論文の (0.1) の書き方）

原論文の (0.1) は右辺を $g_0^{A_0(\log g_0^{-2})^{p_0-1}}$ と書いていますが、$\exp(-p_0(g_0))$ に等しいのは $g_0^{2}$ の冪 $(g_0^2)^{A_0(\log g_0^{-2})^{p_0-1}}$ です（指数が 2 倍違う）。結論には影響しません。また原論文の Wilson 項 $1-\operatorname{Re}\operatorname{tr}U$ は跡の正規化を明示していないので、本記事では正規化しない跡 $\operatorname{tr}(1-U)$ で書きました。正規化した跡 $\frac1{n_G}\operatorname{tr}$ を使うと、命題 1.2 の右辺の $p_0^2/2$ は $p_0^2/(2n_G)$ になります。

この利得が「何段ぶん」の費用を払えるかが問題です。

命題 1.4（3 次元以下と 4 次元の違い）✓

$\varepsilon\in(0,1)$ を格子間隔、$g_0$ を裸の結合とし、利得を $\Gamma(\varepsilon)=\exp(-p_0(g_0)^2/2)$ とおく。

1. $d\lt4$ で $g_0=g\,\varepsilon^{(4-d)/2}$（$0\lt g\lt1$ 固定）ならば、任意の $q\gt0$ に対し $\varepsilon\to0$ で $\Gamma(\varepsilon)\le\varepsilon^q$ が成り立つ。
2. $d=4$ で $g_0^{-2}=a+b\log\varepsilon^{-1}$（$a,b\gt0$）ならば、任意の $q\gt0$ に対し $\varepsilon\to0$ で $\Gamma(\varepsilon)\ge\varepsilon^q$ となる。さらに 1 段ごとの費用が因子 $e^{c_1}$（$c_1\gt0$ 定数）だとすると、$\Gamma$ が払える段数 $n_*=p_0(g_0)^2/(2c_1)$ と全段数 $n_{\rm tot}=\log\varepsilon^{-1}/\log L$ の比は $0$ に収束する。

証明（命題 1.4）

(1) $\log g_0^{-2}=\log g^{-2}+(4-d)\log\varepsilon^{-1}\ge(4-d)\log\varepsilon^{-1}$ なので $p_0(g_0)^2/2\ge\frac{A_0^2}2(4-d)^{2p_0}(\log\varepsilon^{-1})^{2p_0}$ です。$2p_0\ge2$ なので、$\varepsilon$ が小さければ右辺は $q\log\varepsilon^{-1}$ 以上になり、$\Gamma(\varepsilon)\le e^{-q\log\varepsilon^{-1}}=\varepsilon^q$ です。

(2) $x=\log\varepsilon^{-1}$ とおくと $p_0(g_0)^2/2=\frac{A_0^2}2(\log(a+bx))^{2p_0}$ です。$(\log(a+bx))^{2p_0}/x\to0$（$x\to\infty$）なので、十分大きな $x$ で $p_0(g_0)^2/2\le qx$、すなわち $\Gamma\ge\varepsilon^q$ です。同じ極限から $n_*/n_{\rm tot}=\frac{A_0^2\log L}{2c_1}(\log(a+bx))^{2p_0}/x\to0$ が従います。

∎

つまり 4 次元では、大場の成分が生まれてから「大場の因子で払える段数」を過ぎると、その成分のまわりの式を次の段に運ぶための小さな因子が尽きます。Bałaban の解決は、そのような成分の式をくりこむことでした。

1.2. R 操作の原型

ある段の密度が大場領域 $Z$ についての和 $\rho(V)=\sum_Z\rho(Z,V)$ で表されているとします。各 $Z$ を、大場の因子がまだ次の何段かを払える成分の和 $Z''$ と、くりこみが必要な成分の和 $Z'$ に分けます（$Z=Z'\cup Z''$、この分け方は $Z$ の関数）。

定義 1.5（R 操作の原型 (0.3)）↗

ゲージ場の配置空間に Haar 測度の積 $dV$ を入れる。各 $Z$ について $\rho(Z,\cdot)\ge0$ は可積分で、$Z'$ の上の変数だけで積分した

$$D_Z(V):=\int dV_{Z'}\,\rho(Z'',V),\qquad N_Z(V):=\int dV_{Z'}\,\rho(Z,V)$$

（$dV_{Z'}$ は $Z'$ に属するボンドの変数についての積分。$D_Z$・$N_Z$ は $Z'$ の外の変数の関数）について $D_Z\gt0$ が成り立つとする。このとき

$$(\mathsf R\rho)(V):=\sum_Z\rho(Z'',V)\,\frac{N_Z(V)}{D_Z(V)}$$

と定める。

命題 1.6（正規化 (0.4)）✓

定義 1.5 の仮定の下で、和が有限なら $\int dV\,(\mathsf R\rho)(V)=\int dV\,\rho(V)$。

証明（命題 1.6）

$Z$ を 1 つ固定します。$dV=dV_{Z'}\,dV_{Z'^c}$ と変数を分けると、Haar 測度の積なので Tonelli の定理（被積分関数は非負）で積分の順序を交換できます。$N_Z/D_Z$ は $Z'^c$ の変数だけの関数なので

$$\int dV\,\rho(Z'',V)\frac{N_Z}{D_Z}=\int dV_{Z'^c}\,\frac{N_Z}{D_Z}\int dV_{Z'}\,\rho(Z'',V)=\int dV_{Z'^c}\,\frac{N_Z}{D_Z}D_Z=\int dV_{Z'^c}\,N_Z=\int dV\,\rho(Z,V)$$

です。$Z$ について和をとれば主張が出ます。

∎

命題 1.7（指数化した形 (0.5)(0.6)）✓

定義 1.5 で $Z\mapsto(Z',Z'')$ は単射（$Z=Z'\cup Z''$ から復元できる）とする。各 $Z''$ について、$Z'\subset Z''^c$ で $Z'\cup Z''$ の分解がちょうど $(Z',Z'')$ になるものについての和が

$$\sum_{Z'}\frac{N_{Z'\cup Z''}(V)}{D_{Z'\cup Z''}(V)}=\exp\sum_X\mathcal R(X,V)$$

と表されているならば、$(\mathsf R\rho)(V)=\sum_{Z''}\rho(Z'',V)\exp\sum_X\mathcal R(X,V)$ である。

証明（命題 1.7）

単射性から、$Z$ についての和は「$Z''$ を選び、次に分解が $(Z',Z'')$ になる $Z'$ を選ぶ」二重和に一対一に書き直せます。$\rho(Z'',V)$ は内側の和の変数 $Z'$ に依らないので外に出せ、内側の和に仮定の表示を代入すれば主張が出ます。

∎

右辺の $\rho(Z'',V)$ はまだ十分な小さな因子をもち、$\exp\sum_X\mathcal R(X,V)$ は小場の有効作用と同じ扱い（局所化・くりこみ）ができます。これが「大場の式のくりこみ」です。

注意 1.8（実際の構成との違い）

論文の実際の R は原型と 2 点で違います。(a) 分母は密度全体の積分でなく、$Z'$ の近傍に局在した部分（小場の有効作用だけで決まる部分）の積分にとる。これで分母は他の大場領域 $Z''$ に依存しなくなります。(b) 積分領域は成分全体でなく、成分の芯に $M$ 立方体を 1 層足した直方体 $\Lambda$（式 (1.73)、第 2 部）にとる。本記事はその手前、$\Lambda$ を定義できる形まで密度を書き直す段（式 (1.1)–(1.70)）を扱います。分母の正値性と正規化の実際の形 (1.102) は第 2 部、局所化・指数化・評価は続く論文 [V] で示されます。

1.3. この記事の範囲と論文の位置づけ

本論文に番号付きの定理は Proposition 1（第 2 部）だけで、本体は「構成の段」と番号付きの等式・不等式の列です。本記事はそれらを定義・補題・命題に切り出し、論文が「同様に」「[III] の §3 のとおり」で済ませた箇所も含めて証明を書きます。論文の外の結果（背景場の存在と指数減衰、ブロック平均の評価など）は、このテーマの準備章と [I]–[III] の章の定理として <Ref> で指し、各証明の中でどの入力を使ったかを明示します。

物理的な含意として、R 操作は「大場の成分を、その成分のまわりの小場の式と同じ積分値をもつ式に置き換える」ことで、大場の利得が尽きた後も帰納法を続けられるようにします。フェルミオンを含む理論（QED₄ など）に同じ方針を移すときに保つべき性質は、正規化 (0.4) と、分母が成分の近傍の小場の作用だけで決まることの 2 点です。

適格な成分 Z の中の領域。最後の N 段の大場領域 Z_h ⊂ … ⊂ Z_k = Z はすべて直方体。新しい大場の列 Z''_j は Z_j の内側に取り直したもので、Z''_k は Ω_{k_0+1} に M 立方体を 5 層足した集合の補集合（芯）。予備積分は Z_{j+1} \ Z''_{j+1} の変数について j = h, …, k−1 の順に行う。k_0 = k − N_0 より後の積分領域は共通部分 Ω^c_{k_0+1} \ Z''_k をもつ（重なり）。

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