Dimock『Multiscale block averaging for QED₃』精読 第 1 部：フェルミオンの多尺度ブロック平均・臨界点・Dirac 伝播関数の恒等式

0. この記事の要点

3 次元の量子電磁力学で電子にあたる場（フェルミオン）を、細かい格子から粗い格子へ、ブロックごとに平均しながら積分していく操作を、代数だけで正確に書き下す章です。評価は次の部に回し、ここでは恒等式と公式の確認に徹します。

• J. Dimock の論文 “Multiscale block averaging for QED in d=3”（J. Math. Phys. 61 (2020) 032302、arXiv:1712.10029）は、3 次元の格子量子電磁力学（QED₃）の紫外安定性を Bałaban 型のくりこみ群で示す計画の技術的な土台です。本章はその §1、§2.1〜§2.4 と付録 A、すなわちフェルミオン側の代数的な部分を精読します。評価（ランダムウォーク展開）は第 2 部で扱います。
• ブロック平均を一部の領域だけで $k$ 回施した密度は、細かい格子の場 $\psi$ についての 1 回の Gauss 型の積分で閉じた形に書けます（Lemma 1）。途中で出る定数がゲージ場 $A$ によらないのは、平均作用素から作る射影 $P(A)$ のトレースが $A$ によらないためで、これを独立の補題として証明します。
• 自由な作用のもとでは、密度は臨界点 $\psi_{k,\Omega}(A)$ のまわりの展開により $N_{k,\Omega}Z_{k,\Omega}(A)\,F_{k,\Omega}\,e^{-\langle\bar\Psi,D_{k,\Omega}(A)\Psi\rangle}$ の形になり（(55) と Lemma 2）、次の段の臨界点は 1 つ前の段の臨界点の合成で書けます（Lemma 3・4）。
• 付録 A の 2 つの恒等式（Lemma 18・19）を、源つき Grassmann Gauss 積分と「母関数が等しければ作用素が等しい」という補題だけから証明します。その過程で、原論文の (391) の転置は $\bar\Psi$ に作用する作用素 $\bar H_{k,\Omega}$ の転置と読まなければならないことを指摘します。
• 番号つきの主張 6 個（Lemma 1〜4・18・19）と本文で主張される式（(18)(21)(22)(25)(27)(44)(45)(52)〜(56)(63)(72)(76)(79)〜(86)(184)(380) など）をすべて証明します。可逆性（$S_{k,\Omega}(A)$ などの存在）は仮定として明示し、その証明は第 2 部に回します。
• Berezin 測度の正規化を「Gauss 積分がちょうど行列式になる」ように選んだので、論文の明示的なスケール因子（$L^{-8(\cdots)}$）とは $A$ によらない定数だけ違います。違いは例と注意で具体的に示します。

1. 動機

1.1. 何を示そうとしている論文か

3 次元の Euclid 時空で、電子（4 成分の Dirac 場）と光子（可換ゲージ場）が結合した量子電磁力学を考えます。Dimock の一連の論文は、格子間隔 $\epsilon=L^{-N}$ の単位体積のトーラス $(L^{-N}\mathbb Z/\mathbb Z)^3$ の上で正則化した分配関数

$$\mathsf Z(N,e)=\int\exp\Bigl(-\tfrac12\|dA\|^2-\langle\bar\psi,(D_A+\bar m)\psi\rangle+(\text{対抗項})\Bigr)\,D\bar\psi\,D\psi\,DA$$

について、対抗項をうまく選べば、結合定数 $e$ が十分小さいとき $N$ によらない定数 $K_\pm$ で

$$K_-\le\frac{\mathsf Z(N,e)}{\mathsf Z(N,0)}\le K_+$$

が成り立つこと（紫外安定性）を示すことを目標にしています。ここで $D_A$ は Wilson 項つきの共変な格子 Dirac 作用素です（格子フェルミオン の 定義 4.1［格子フェルミオン］ の 3 次元・非コンパクト $\mathrm U(1)$ 版）。分配関数の比が格子間隔によらない上下界をもつことは、相関関数の一様評価と連続極限へ進むための最初の関門です。

方法は Bałaban のくりこみ群です。$L$ 個ずつの格子点からなるブロックで場を平均し、格子を $L$ 倍に縮めて単位格子に戻す、という変換を $N$ 回繰り返します（一般論は 厳密なくりこみ群 の 定義 3.1［厳密くりこみ群］）。各段で、場の強さ $dA$ が小さい「小場」の領域と、そうでない「大場」の領域に分け、平均は小場の領域だけで行います。こうして $k$ 段目には、領域の減少列 $\Omega_1\supset\Omega_2\supset\cdots\supset\Omega_k$ に応じて、場所ごとに平均の回数が違う多尺度の場が現れます。

1.2. 臨界点の代数がなぜ要るのか

ブロック平均は、Gauss 型に広げたデルタ関数

$$\delta_G(\Psi_{k+1}-Q(A)\Psi_k)\propto\exp\bigl(-bL^{-1}\langle\bar\Psi_{k+1}-Q(-A)\bar\Psi_k,\ \Psi_{k+1}-Q(A)\Psi_k\rangle\bigr)$$

を掛けて古い場 $\Psi_k$ で積分することで定義されます。フェルミオンの作用は 2 次形式なので、$k$ 回の変換の合成も 2 次形式の積分で、その積分は臨界点のまわりで平方完成すれば実行できます。結果として、有効作用の主要部は

$$\langle\bar\Psi_{k,\Omega},D_{k,\Omega}(A)\Psi_{k,\Omega}\rangle,\qquad D_{k,\Omega}(A)=b^{(k)}-b^{(k)}Q_{k,\Omega}(A)S_{k,\Omega}(A)Q^{\mathsf T}_{k,\Omega}(-A)b^{(k)}$$

という形の作用素で書け、ゆらぎの共分散は多尺度の Dirac 伝播関数 $S_{k,\Omega}(A)=[D_A+\bar m_k+P_{k,\Omega}(A)]^{-1}_{\Omega_1}$ で表されます。くりこみ群の各段の評価はすべて $S_{k,\Omega}(A)$ とその変形の評価に帰着するので、まずこれらの作用素のあいだの正確な恒等式を整えておくことが要ります。それが本章の内容です。

とくに付録 A の 2 つの恒等式は、フェルミオン行列式 $\det[D_{k,\Omega}(A)+bL^{-1}P(A)]_{\Omega_{k+1}}$ を局所的な項の和の指数に書き直すとき（第 2 部の Lemma 10）の出発点になります。行列式の対数を積分表示すると、レゾルベント型の作用素 $\Gamma_{k,\Omega^+,y}(A)$ が現れ、Lemma 18 がそれを多尺度伝播関数 $S_{k,\Omega^+,y}(A)$ で書き直し、後者はランダムウォーク展開で局所化できる、という流れです。

1.3. 前後の論文と物理への含意

この論文の前段は Dimock の “Ultraviolet regularity for QED in d=3”（J. Math. Phys. 59 (2018) 012301）で、場の強さが全域で有界であるという近似のもとで、全域で平均した場合（本章 §9 の大域版）を扱いました。本論文はそれを、大場と小場の分割から生じる多尺度の設定に拡張し、さらにゲージ場側の多尺度 Green 関数と最小化元の局所正則性（第 3・4 部）を整えます。これらを使って紫外安定性そのものを示すのが続く論文で、本テーマの後半の章で扱います。フェルミオン側の多尺度伝播関数の評価は Bałaban–O’Carroll–Schor（Commun. Math. Phys. 122 (1989)、J. Math. Phys. 32 (1991)）にさかのぼります。

物理的な位置づけを一言で言えば、QED₃ は結合定数 $e^2$ が質量次元 1 をもつ超くりこみ可能な理論で、各段の有効結合定数 $e_k=L^{-(N-k)/2}e$ は紫外側（$k$ が小さい側）で小さくなります。このため Bałaban の小場の展開が使えます。4 次元の QED では結合定数が無次元で、しかも紫外で大きくなる（漸近自由でない）ので、同じ構成をそのまま使うことはできないと考えられています。ただし本章で扱うフェルミオン側の代数（ブロック平均・臨界点・伝播関数の恒等式）は次元を使っていません。次元が入るのは場のスケール因子（$\psi$ は $L^{-1}$、$A$ は $L^{-1/2}$）と、それに伴う結合定数・質量の走り方だけです。

1.4. 本章の範囲と規約

本章は有限次元の Grassmann 代数と線形代数だけを使い、主張をすべて証明します。原論文が「[33] のように」「容易に」で済ませた段（大域版 (18)〜(27)、臨界点の値の計算 (45)、定数が $A$ によらないこと、スケール則、Lemma 18・19 の積分の交換）も埋めます。

規約について 2 点断っておきます。第一に、内積は格子の体積要素で重みをつけた双線形形式（複素共役をとらない）で、転置 $T^{\mathsf T}$ はこの内積に関するものです。$Q(A)Q^{\mathsf T}(-A)=I$ のような論文の式は、この重みをつけて初めて正確に成り立ちます。第二に、Berezin 測度 $D\Psi$ は、重みつき内積で書いた Gauss 積分 $\int e^{-\langle\bar\Psi,M\Psi\rangle}D\Psi$ がちょうど $\det M$ になるように正規化します。論文の (14)(30) のスケール因子 $L^{-8(\cdots)}$ は論文自身の測度の規約に合わせた値で、本章の規約では別の $L$ の冪になります（例 4.4 で比較します）。どちらの規約でも違いは $A$ と場によらない定数で、くりこみ群の解析には影響しません。

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