Dimock『Ultraviolet regularity for QED₃』(2018) 第 1 部：模型と対称性・フェルミオンとゲージ場のブロック平均繰り込み群・伝播関数のランダムウォーク展開（大域版）

0. この記事の要点

電子と光の理論を、3 次元の細かい格子の上で考えます。格子の目を少しずつ粗くしていく操作を何度も繰り返しても、計算が制御できたまま最後まで進むことを示すのが、この論文の目標です。この章はその下準備として、模型の対称性と、粗くする操作に出てくる作用素がどれも「近くの点どうしだけを強く結ぶ」ことを、一つずつ確かめます。

• J. Dimock の論文 “Ultraviolet regularity for QED in d=3”（J. Math. Phys. 59 (2018) 012301、arXiv:1512.04373）は、3 次元の格子量子電磁力学（QED₃）を Bałaban 型のくりこみ群で扱う 3 部作の第 1 篇です。「場がトーラス全体で小さい」という有界場近似のもとで、裸の真空エネルギー密度と裸のフェルミオン質量を格子間隔に依存させて選べば、巨視的な尺度で指定した値をとらせられることを示しました。本章はその準備にあたる §1〜§3 と付録 C・D を精読します。
• 作用の格子対称性・ゲージ不変性・荷電共役不変性を、Clifford 代数の具体的な表現と反転の持ち上げ $S=\not n\gamma_3$ から証明します。原論文が根拠なしに述べる「分配関数は 0 でない」は、裸質量と対抗項の和が正のとき Wilson 項つき Dirac 作用素の行列式が正になる、という形に正確化して証明します。
• フェルミオンとゲージ場のくりこみ変換の代数（合成平均の核 (58)(59)、積分の保存 (49)〜(55)、臨界点の恒等式、伝播関数のゲージ共変性・荷電共役・背景場の付け替え・境界条件の像の和）を証明します。多尺度の第 1 篇（Multiscale block averaging）と同じ主張は「領域をすべてトーラス全体にとった場合」として系にまとめます。
• Landau ゲージと軸ゲージ（ブロックの中の決まった道に沿った和を 0 にするゲージ固定）の同等性（原論文の Faddeev–Popov の議論）を、ゲージ軌道の 2 つの切断のあいだの線形な写像の Jacobian が定数であるという有限次元の事実として証明します。付録 C の恒等式 (682) は、2 次形式の変分表示 $\langle J,T^{-1}J\rangle=\sup_x\{2\langle x,J\rangle-\langle x,Tx\rangle\}$ で両辺を比べて示し、形式的なデルタ関数の操作を使いません。
• 原論文が Bałaban を引いて概略だけを示すランダムウォーク展開（Lemma 10〜12 の $\tilde G_k$、$C_k$、$C_k^{1/2}$、$C_k(Y)$）は、「トーラス全体の作用素と局所トーラスの作用素は立方体の近くで $e^{-cM}$ の誤差で一致する」という比較の補題から、先頭項 $\sum h_\boxdot T_\boxdot h_\boxdot$ と $O(M^{-1})$ の局所化された残りへの分解として証明します。

1. 動機

1.1. 何を示した論文か

3 次元 Euclid 時空の QED は、4 成分の Dirac 場 $\psi$（格子では Grassmann 代数の生成元）と可換ゲージ場 $A$ が電荷 $e$ で結合した理論です。結合定数の 2 乗 $e^2$ は質量次元 1 をもつので、理論は超くりこみ可能で、摂動論では有限個の発散（真空エネルギーと、場合によっては質量）しか現れません。しかし摂動論の各項が有限であることは、理論が数学的に存在することを意味しません。構成的場の量子論が求めるのは、格子間隔 $\epsilon=L^{-N}$ で正則化した理論について、$N$ によらない評価を得て $N\to\infty$ の極限をとることです。

Dimock の第 1 篇は、その最初の段階としてくりこみの問題を解きました。くりこみ群の変換を $k=0,1,\dots$ と施していくと、有効作用の中の真空エネルギー密度 $\varepsilon_k$ と質量 $m_k$ は変換ごとに複雑に変化します（流れ）。裸のパラメータ $\varepsilon_N$、$m_N$ を「巨視的な尺度で $\varepsilon_K=m_K=0$ となる」ように選べるか、が問題です。論文はこれを、流れの方程式を混合境界値問題（始点で $E_0=0$、終点で $m_K=\varepsilon_K=0$）として縮小写像で解くことで示しました。この方法は、くりこみが有限か無限か（$m_N$ が $N\to\infty$ で収束するか）を決めずに済む非摂動的なものです。

1.2. 3 部作の中での位置

論文	内容	本テーマの章
Ultraviolet regularity for QED in d=3（JMP 2018）	全域で小場とする有界場近似、くりこみの問題の解決	本章〜第 4 部
Multiscale block averaging for QED in d=3（JMP 2020）	大場と小場の分割から生じる多尺度の平均、伝播関数と最小化元の正則性	第 1 篇の第 1〜4 部
Ultraviolet stability for QED in d=3（2022）	大場の領域を含む完全な解析、紫外安定性の評価	後篇

出版の順と論理の順は逆で、多尺度版の第 1 篇は、本論文の大域版の構成を領域の列 $\Omega=(\Omega_1\supset\cdots\supset\Omega_k)$ に一般化したものです。本テーマでは第 1 篇を先に精読したので、本論文の主張のうち第 1 篇の「$\Omega_1=\cdots=\Omega_k=$ トーラス全体」の場合になっているものは、系として短く証明します。本論文に固有の内容（対称性、荷電共役、境界条件、局所トーラスとの比較、付録 C・D）は完全に証明します。

1.3. 物理への含意

QED₃ では各段の有効結合定数 $e_k=L^{-(N-k)/2}e$ が紫外側で小さく、Bałaban の小場の展開が効きます。4 次元の QED は結合定数が無次元で、紫外で大きくなるので同じ構成は使えないと考えられています。それでも本章の大部分（フェルミオンのブロック平均の代数、Landau ゲージと軸ゲージの切り替え、伝播関数の局所化）は次元に依存せず、ゲージ場とフェルミオンが結合した系の小場の解析の標準の段取りになっています。とくに、裸の質量と真空エネルギーを境界値問題で決めるという考え方は、次元によらず持ち込める形をしています（第 4 部の抽象定理）。

1.4. 原論文との違い

箇所	原論文	本章
(22) の後	分配関数は「実で 0 でない」	実であることを証明し、0 でないことは $\bar m+m>0$ のときの $\det>0$ として証明（命題 3.8）
Clifford 代数	$\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=\delta_{\mu\nu}$	$2\delta_{\mu\nu}$（誤記）。$C^{\mathsf T}=C^{-1}=-C$ を満たす具体的な表現を与える
Lemma 4 の (128)	$\tilde\square$ 上で $T(A)S(\square,A)f=f$	第 1 篇の $h_\square$ をはさんだ形で述べる（展開で使うのはこの形だけ）
(133) の後	$\lvert dA\rvert$ だけで足りる（証明なし）	補題 5.6 で証明
(169)	「$\rho_N$ は定数」	$\rho_N$ の積分が軸ゲージ固定した元の積分の定数倍、として述べる
§3.2	Faddeev–Popov の形式的な議論	切断の取り替えの Jacobian として証明（命題 6.6）
付録 C	デルタ関数の形式的な操作	変分表示で証明（定理 7.11）
Lemma 10〜12	⊡ の 3 重拡大の小トーラス、展開の概略	一辺 $L^5M$ の局所トーラスとの比較で、先頭項と局所化された残りを証明（§8）

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