準備 2：正則なゲージ場配位の空間と軸ゲージ・Landau ゲージ — Bałaban『Spaces of regular gauge field configurations on a lattice and gauge fixing conditions』(1985) の結果

0. この記事の要点

ゲージ場には、物理としては同じ配置を表す「ゲージ変換」の自由度があります。評価をするには、その中から扱いやすい代表を 1 つ選ばなければなりません。この章はその選び方（軸ゲージと Landau ゲージ）を定め、選んだ代表がスケールに見合って小さいことを示します。

• 繰り込み群の各段で使うゲージ場の配位は、プラケットの曲率 $\lvert U(\partial p)-1\rvert$ とその共変発散 $\lvert D^{*}\partial U\rvert$ が、領域 $\Omega_j$ ごとにスケール $L^j\eta$ に見合った大きさに収まる「正則配位」です。その全体 $\mathfrak U_k(\{\Omega_j\},\alpha_0)$ はゲージ不変で、領域列は最大のものが一意に取れます（命題 2.5）。
• 軸ゲージ（ブロックの中心から座標の順に伸ばした木の上で $U=1$）では、一辺 $N$ の直方体でプラケットが $\varepsilon$ 以内ならボンドは $(d-1)N\varepsilon$ 以内です（補題 3.3）。これを 1 段の平均と組み合わせたのが原論文の Lemma 1 $\lvert V'-1\rvert<4d^2\alpha_0+\alpha_1$（補題 3.6）で、反復すると $11d^2\alpha_0+\alpha_1$（(1.65)、補題 3.8）になります。
• 軸ゲージの評価はブロックの大きさとともに悪くなります。主定理（Theorem 2、定理 5.2）は、平均の条件を保つゲージ変換で背景場 $U_0$ に相対的な Landau ゲージ $\mathsf R(U_0)D^{\eta*}_{U_0}A=0$ に移すと、$A$ とその 1 階差分・Hölder ノルム・$D^*DA$・$\Delta A$ がスケールに見合った大きさ $O(\alpha_0+\alpha_1)$ で抑えられ、そのゲージ変換が一意であることを言います。
• 証明は、共変微分の基本評価 (1.54)（命題 4.2）から正則性を自己改善する Proposition 3（命題 4.4）、スケールの数 $k$ についての帰納法（Theorem 4）、ゲージ変換の方程式の不動点（Proposition 5）、平均を線形にする変数変換（Sect. E）の 4 段です。
• 逆向きの主張（Proposition 7）で二つの空間はほぼ同型に対応し、プロパゲータ論文の付加的な正則性の仮定は Proposition 6 で不要になります。可換な場合（非コンパクト $U(1)$、QED₄）には方程式が線形になり、変換は Hodge 分解の射影 1 回で書けます（例 6.5）。

1. 動機

1.1. 準備論文群の中での位置

T. Bałaban は 4 次元格子 Yang–Mills 理論の紫外安定性を目指し、1984–85 年に一連の準備論文を書きました。自由場のプロパゲータ（CMP 95, 96）、ゲージ場の平均操作（CMP 98）、本論文（CMP 99 の 75–102 頁）、背景場中のプロパゲータ（CMP 99 の 389–434 頁）、変分問題（CMP 102 の 277–309 頁）、3 次元の紫外安定性（CMP 102 の 255–275 頁）です。これらの上に、小場の有効作用（CMP 109, 116, 119）と大場の繰り込み（CMP 122）が載ります。本テーマでは前者を準備 1〜5、後者を本論として読みます。

本論文の役割は、繰り込み群の変分問題に入る前段の「ゲージの選び方」を確定させることです。各段では、平均 $\bar U^k=V$ を固定した配位の中で作用を最小にする配位を求めます。平均を固定してもゲージの自由度（平均を変えないゲージ変換）が残るので、最小点を一意に定めるにはゲージを固定しなければなりません。しかも最小点の近くの配位を $U=e^{i\eta A}U_0$ と書いたとき、$A$ が小さく滑らかでなければ摂動展開に使えません。

1.2. 軸ゲージだけでは足りない理由

軸ゲージは簡単です。木の上で $U=1$ とすれば軌道から一意に代表元が選べます。しかし木に入らないボンドの値は、木を通る閉路のホロノミーで、閉路が囲むプラケットの数だけ誤差を拾います。一辺 $L$ のブロックでは誤差が $L$ に比例し、スケール $L^k$ では使えません（補題 3.3 の評価は $N$ に比例し、それ以上は改善できません。演習 7.1）。

連続理論の直観では Landau ゲージ $\partial^\mu A_\mu=0$ が最良で、$A$ は曲率 $F$ から Hodge 分解の Green 作用素 1 回で決まり、$\lvert A\rvert\lesssim\lvert F\rvert\cdot(\text{長さ})$ とスケールに見合った評価になります。格子でこれを実現するのが本論文の主定理です。ただし 2 つの技術的な障害があります。

1. 平均の条件と群構造の不整合。 平均を保つゲージ変換は「ブロックの中心で $u=1$」という点ごとの条件ですが、Landau ゲージの線形化した方程式を可逆にするには、条件を $u$ の平均 $\bar R_0u^j=1$ に課す必要があります。後者は積で閉じず、「軌道」が定義できません。原論文は、まず軸ゲージで代表元を選び、そこから平均の条件を満たすゲージ変換で Landau ゲージの曲面に移す、という 2 段の手順でこれを回避します。
2. 非線形性。 ゲージ変換は $A\mapsto R(u^{-1})A+(\text{共変微分})$ と非線形に作用し、平均も非線形です。原論文は平均を線形にする変数変換（Sect. E）を先に作り、残りを縮小写像で解きます。

1.3. この章の読み方と記号

原論文の番号（Lemma 1、Theorem 2、Proposition 3 など）を主張の題に残し、式番号 (1.k) は本文で参照します。平均操作の性質（文献 [12] = CMP 98 の Proposition 2・4 など）は準備 1 の章で、背景場中の Green 作用素の評価（文献 [13] = CMP 99:389 の Theorems 3.1–3.3）は準備 3 の章で証明されるので、それぞれ相互参照で指します。原論文の証明が「容易」「[3] と同じ推論」とした段は、本章の補題として埋めます。

物理への含意を一言だけ述べます。可換な群（とくに非コンパクト $U(1)$、QED₄ のゲージ場）では、ゲージ変換は $A\mapsto A+D\lambda$ と線形で、平均も線形なので、本章の非線形の機構はすべて消え、主定理は Hodge 分解とプロパゲータの評価に帰着します（例 6.5）。非可換の場合の困難がどこにあるかを見るのにも、この比較は役に立ちます。

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