Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 1 部：揺らぎ場の作用の局所化（§1、Lemma 1・2）

0. この記事の要点

格子の上のゲージ場の理論を、細かい格子から粗い格子へ一段ずつ移していく（くりこみ群の）とき、各段で生まれる新しい作用の項は、最初は格子全体の場に絡み合った形で出てきます。本章は、それを「小さな領域ごとの項の和」に分け直し、各項が領域の大きさについて指数的に小さいことを示す手順を、原論文に沿って確かめます。

• T. Bałaban, “Renormalization group approach to lattice gauge field theories. II. Cluster expansions”（Commun. Math. Phys. 116 (1988) 1–22）は、論文 I で作った揺らぎ場の積分を局所化し、指数化したクラスター展開（小さな領域の重みの和として対数を展開する方法）で新しい有効作用の項を作って、I の Theorem 3（帰納的仮定の保存）の証明を完成させた論文です。本章はその Introduction と §1（pp.1–11）、すなわち局所化の段階と Lemma 1・2 を精読します。
• 揺らぎ場の作用は、背景場の最小配位 $\mathbf H_k(B')$ を通じて格子全体の場に依存します。非局所性の源はプロパゲータだけなので、プロパゲータ（二次形式の逆作用素）を一般化ランダムウォーク展開（局所的な因子の積の和）に分け、歩みが通る大きさ $M$ の立方体ごとに補間パラメータ $s(\Delta)$ を掛けます。微積分の基本定理で $s$ を $0$ と $1$ の間で動かすと、作用は「核を含む連結な領域 $Y_0$」ごとの項の和になります。
• 各項の大きさは、$s$ を複素数 $\lvert s(\Delta)\rvert\le e^{\kappa_1}$ まで延ばしたときの解析性と、Cauchy の積分公式から出ます。$Y_0$ の立方体 1 個あたり $e^{-(\kappa_1-1)}$ の因子が得られ、これが局所化領域についての和を収束させる指数減衰 $e^{-\frac1{16}\kappa_1d_k(Y)}$ になります。
• 原論文が「同じ評価をもつ任意の作用素に置き換えてよい」と一言で済ませた (1.5) を、作用素の組についての命題として述べ、変分問題の準備章の証明が使うのは作用素の評価だけであることを確かめます。成分の分離 (1.10) は、局所的な縮小写像の反復が成分を越えて情報を運ばないことから証明します。
• 原論文は、プロパゲータと局所化した項が、背景場 $\mathbf U$ とそれとは無関係な変数 $\mathbf J$（Wilson 作用の勾配の代わり）について、$\mathbf U$ に 1 階の条件だけを課した領域で解析的だと述べます。本章はその領域（定義 3.3）で定理を述べ、準備章の「流れを独立な変数にしたプロパゲータ」を使って証明します。プロパゲータのゲージ固定の項 $GDRD^*G$ は最も細かい格子の差分を 2 つ含み、その局所化された展開（性質 (GF)、定義 3.5）は Hölder 評価を使って証明します（準備章の定理による。注意 3.8）。
• 幾何の補題（立方体の数え上げ、木の長さの劣加法性、線形サイズのスケーリング不等式 (1.31)）をすべて証明します。$1/g_k^2$ の因子をもつ項は、積分剰余つきの 2 次 Taylor 公式と 2 変数の Cauchy 評価で局所化された二次形式に書き直します（Lemma 2）。

1. 動機

1.1. 何を示した論文か

論文 I（第 1 部〜第 3 部）は、$k$ 段目のくりこみ変換を小さい場の領域に制限したとき、新しい有効作用が

$$A_{k+1}=-\frac1{g_{k+1}^2}A(U_{k+1})+\mathbf E_k(U_{k+1})+\log\int d\mu_{C^{(k)}}(B)\,\chi_k\exp\bigl[\mathbf P^{(k)}(g_k,U_{k+1},B)+\lbrace\cdots\rbrace\bigr]+\cdots$$

と書けること（命題 6.8［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）、そして被積分関数の指数がガウス測度の二次形式の小さな摂動であることを示しました。I の Theorem 3（定理 7.1［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］）が主張するのは、積分の対数 $\mathbf E^{(k+1)}$ が局所化表示 $\sum_{X\in\mathbf D_{k+1}}\mathbf E^{(k+1)}(X,\cdot)$ をもち、各項が帰納的仮定の評価 $\lvert\mathbf E^{(k+1)}(X,\cdot)\rvert\le E_0e^{-\kappa d_{k+1}(X)}$ を満たすことです。

論文 II はこれを 2 段で示します。

1. §1（本章）: 指数の中の関数 $\mathbf P^{(k)}+\lbrace\cdots\rbrace$ を、局所化領域 $Y\in\mathbf D_k$ ごとの関数の和 $\sum_Y\mathbf V_k(Y,B)$ に書き直し、各項に指数減衰の評価をつける（Lemma 1・2）。
2. §2（第 2 部）: Mayer 展開と、ガウス測度の共分散を同じ方法で局所化したクラスター展開で積分の対数をとり、帰納的仮定を確かめる（定理 8.2［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories II』精読 第 2 部］）。

1.2. 局所化の考え方

被積分関数は、局所的な解析関数 $\mathbf E(\square_0,\mathbf A)$ に非局所な場 $\mathbf A=(t\tilde\zeta_\square+t_\square\zeta_\square)\mathbf H_k(B')$ を代入した形をしています。$\mathbf H_k(B')$ は格子全体の $B$ に依存しますが、その非局所性はプロパゲータ $H$、$H_0$、$\tilde G$ からしか来ません。そこでクラスター展開と同じ発想をとります。

• プロパゲータを一般化ランダムウォーク展開 $\sum_\omega R_0(X_0)R_{\alpha_1}(X_1)\cdots R_{\alpha_n}(X_n)$ に分け、歩み $\omega$ の項に、それが通る立方体 $\Delta$ ごとに変数 $s(\Delta)$ を掛ける。$s\equiv1$ で元に戻り、$s(\Delta)=0$ の立方体を歩みは横切れない。
• 微積分の基本定理で $s$ を展開すると、$s=0$ の立方体で区切られた成分ごとに方程式が分離し、核を含まない成分の $s$ による微分は $0$ になる。残るのは「核 $Z$ を含む連結な $Y_0$」ごとの項。
• 項の大きさは、$s$ を複素数に延ばして Cauchy の公式で微分を積分に変えれば分かる。半径 $e^{\kappa_1}$ の円の上の積分は、立方体 1 個あたり $e^{\kappa_1}/(e^{\kappa_1}-1)^2\le e^{-(\kappa_1-1)}$ の因子を生む。

この手順は、プロパゲータが非局所な任意の多スケール展開に使える汎用の局所化法です。原論文も「他の多くの状況（より一般のプロパゲータ、部分領域に制限した積分）に使う」と述べ、論文 III と Large field renormalization I・II で、境界層つきの形に一般化して使われます（命題 8.1［Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部］）。

1.3. 物理への含意

局所化は、くりこみ群の帰納法を「有限個の局所的な量の評価」に閉じさせるための技術です。結合定数が $0$ に近づくときに発散する $1/g_k^2$ の因子は、作用の中で $B'\approx g_kB$ の 3 次以上の項にしか掛からないので、$B'$ について 2 次まで展開すれば打ち消せます。その代償として、局所化した項は絶対値の評価ではなく「$B$ の二次形式 + 小さい剰余」の形になります（Lemma 2）。この二次形式はガウス測度の共分散の小さな摂動として第 2 部で扱われます。

QED₄ のような可換ゲージ理論では、ゲージ場のプロパゲータの構造は同じなので、本章の局所化はそのまま通ります。フェルミオンを入れると、行列式（あるいは Grassmann 積分）の局所化に同じ「補間パラメータ + Cauchy 評価」の型が使えます。困難は局所化ではなく、β 関数の符号のために結合定数が小さく保たれないことにあります（定理 4.8［Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部］ の前後の議論）。

1.4. 本章の範囲と原論文との対応

原論文	本章
(1.1)–(1.5)	定義 4.1、命題 4.2
(1.6)(1.7)	定義 3.1、定理 3.6、補題 3.9
(1.18) の後の「条件 (i)–(iii) の領域での解析性」	定義 3.3、補題 3.4、注意 3.7
(1.8)–(1.10)	定義 2.6、補題 4.3、補題 4.5
(1.11)–(1.22)	補題 3.10、補題 5.1、補題 5.2、補題 5.3、命題 5.4
(1.23)–(1.29)	補題 6.1、補題 6.2、補題 6.3、命題 6.4
(1.30)–(1.32)	補題 2.5、補題 6.6、命題 6.7
Lemma 1 (1.33)–(1.36)	定理 7.1
(1.37)–(1.40)	命題 8.2
Lemma 2 (1.41)–(1.43)	定理 8.3

原論文の式は (1.x)、論文 I の式は (I.x.y) で引きます。原論文の参照 [13][15] は論文 I の文献表の番号で、それぞれ背景場中のプロパゲータ（CMP 99）と変分問題（CMP 102）です。本テーマでは準備章 定理 4.7［準備 3］ と 命題 5.1［準備 4］ などに対応します。

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